Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một trong những nội dung cơ
bản và quan trọng của bộ môn Hình học lớp 10. Nó cho phép ta giải quyết nhiều
vấn đề của hình học bằng phương pháp đại số và giải tích. Song trong quá trình
học tập, khi giải quyết các bài toán về “phương pháp tọa độ”, học sinh chỉ chú ý
đến các phép biến đổi đại số và giải tích mà ít để ý đến các tính chất hình học
vốn có của nó.
Các phép biến đổi đại số và giải tích có ưu điểm là dễ định hướng, có thể
giải quyết được phần lớn các bài toán về “phương pháp tọa độ”. Nhưng nó cũng
có nhược điểm là nhiều bài toán dẫn đến các biểu thức cồng kềnh, phức tạp đòi
hỏi biến đổi dài dòng hoặc dẫn đến các vấn đề khó của đại số và giải tích.
Trong một số các bài toán về “phương pháp tọa độ” nói chung và “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng” nói riêng, nếu chú ý đến các tính chất hình học của
các đối tượng thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn. Vấn đề là học sinh cần phải
linh hoạt trong quá trình vận dụng, khi nào thì dùng các phép biến đổi đại số và
giải tích đơn thuần, khi nào thì phải chú ý đến các tính chất hình học. Khó khăn
chủ yếu của các em là trong một số bài toán đặc biệt, các em không khai thác
được các tính chất hình học đó.
Câu hỏi được đặt ra là: “ Làm thế nào để rèn luyện cho học sinh có kĩ
năng giải một số bài toán về “phương pháp tọa độ” mà đòi hỏi chú ý đến các tính
chất hình học ?”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đề cập tới nội dung
này ở phần Hình học phẳng nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo; rèn luyện thói quen và khả năng tự học, học tập suốt đời; có
tinh thần hợp tác, có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt vào những tình huống
khác nhau trong học tập và trong thực tiễn. Qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi
đồng nghiệp, qua quá trình tự học, tự bồi dưỡng, tôi xin nêu ra vấn đề : “Rèn
luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các tính chất hình học để giải một số bài
toán về “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ”.
1

và
C
.
2.Cho điểm
A
không thuộc đường thẳng
∆
,
H
là hình chiếu của
A
trên
∆
. Với
mọi điểm
M
∈∆
ta có
AM AH
≥
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
M H
≡
.
3. Cho tia
Ot
là phân giác trong góc
·
xOy
,

M
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
của các góc
· · ·
3 1 2 1 2 3 2 3 1
, ,H H H H H H H H H
và
, ,BC CA AB
lần lượt là các đường
phân giác ngoài của các góc
· · ·
3 1 2 1 2 3 2 3 1
, ,H H H H H H H H H
.
Thật vậy, chẳng hạn
·
·
1 3 3
AH H ACH=
(vì
1 3
ACH H
là tứ giác nội tiếp),
·
·
3 2
ACH ABH=
(cùng phụ với góc
·

1 2
,e e
ur uur
lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục
,AB AC
(
1
e
ur
cùng hướng với
AB
uuur
,
2
e
uur
cùng hướng với
AC
uuur
. Khi đó đường phân
giác trong góc
A
có vectơ chỉ phương là
1 2
e e+
ur uur
và đường phân giác ngoài góc
A
có vectơ chỉ phương là
1 2

điểm chia ngoài đoạn thẳng
AB
. Đường tròn này được gọi là đường tròn
Apollonius tỉ số
k
dựng trên đoạn
.AB

2.THỰC TRẠNG
Trong quá trình giảng dạy Chương III- Hình học 10 hoặc Chương III-
Hình học 10 nâng cao tôi nhận thấy rằng học sinh rất hứng thú khi học phần
này. Phần lớn học sinh đều ngại học bộ môn Hình học nhưng ở phần này, các
kiến thức về hình học được nhìn dưới lăng kính đại số nên các em tiếp nhận dễ
3
B
A
C
H
1
H
2
H
3
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
dàng hơn. Các khái niệm, các quan hệ hình học đều được đại số hóa, và việc giải
quyết các vấn đề của hình học được chuyển về giải quyết các vấn đề về đại số.
Nhưng cũng chính việc thuận lợi này làm cho học sinh phụ thuộc quá
nhiều vào phương pháp đại số. Khi giải các bài tập về loại này, học sinh thường
nghĩ ngay đến việc chuyển về các phương trình, các biểu thức đại số. Ở một số

A
sao cho khoảng cách từ
∆
đến
B
là lớn nhất.
Cách giải:
Cách 1: Gọi
( ; )n a b
r
là vectơ pháp tuyến của
2 2
( 0)a b∆ + ≠
. Phương trình đường
thẳng
∆
là:
( ) ( ) 0
A A
a x x b y y− + − =
.
4
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
Ta có
2 2
( ) ( )
( , )
B A B A
a x x b y y

0
B A B A
a b
x x y y
a b

=

− −


+ ≠

suy ra phương trình đường thẳng
∆
.
Cách 2: Gọi
H
là hình chiếu của B trên
∆
, ta có
( , )d B BH BA∆ = ≤
. Dấu bằng xảy
ra
H A⇔ ≡
. Khi đó
∆
là đường thẳng qua
A
và vuông góc với

Giải:
Gọi
H
là hình chiếu của B trên
∆
, ta có
( , )d B BH BA∆ = ≤
. Dấu bằng xảy ra
H A⇔ ≡
. Khi đó
∆
là đường thẳng qua
A
và vuông góc với
AB
tức là đường
thẳng đi qua
A
và nhận
( 4; 1)AB − −
uuur
làm vectơ pháp tuyến. Do đó
∆
có phương
trình là:
4( 1) 1( 2) 0x y− − − − =
hay
4 6 0x y+ − =
.
5

H
là hình chiếu
của
M
trên
∆
, ta có
( , )d M MH MA∆ = ≤
. Dấu bằng xảy ra
H A⇔ ≡
. Khi đó
AM
∆ ⊥
( ;1 2 )n m m⇔ −
r
và
(2;3)AM
uuuur
cùng phương
1 2 2
2 3 7
m m
m
−
⇔ = ⇔ =
.
Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho đường thẳng
: 2 1 0mx y m∆ + − − =

. Đường
tròn
( )C
có tâm
(1;2)I
bán kính
2R =
. Gọi
H
là hình chiếu của
I
trên
∆
, ta có
2MN HM=
2 2
2 IM IH= −
mà
IH IA
≤
nên
2 2
2 2 2MN IM IA≥ − =
. Dấu bằng xảy ra
H A⇔ ≡
. Khi đó
AI
∆ ⊥
( ;1)n m⇔
r

Cách giải:
- Đặt
1 2
1 1
. , .e AB e AC
AB AC
= =
ur uuur uur uuur
.
6
I
A
H
∆
M
N
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
- Đường phân giác trong góc
A
đi qua
A
và nhận vectơ
3 1 2
e e e= +
ur ur uur
làm vectơ
chỉ phương.
- Đường phân giác ngoài góc
A

 
= + =
 ÷
 
r uuur uuur
Do đó nó có vectơ pháp tuyến là
(2;1)n
r
.
Suy ra nó có phương trình:
2( 2) ( 14) 0 2 10 0x y x y− + + = ⇔ + + =
.
Tương tự, đường phân giác trong góc
B
có phương trình
2 0x + =
.
Tâm
I
của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
là giao điểm của hai đường phân
giác trong các góc A,B nên có tọa độ I(-2;-6).
Bài toán 3: Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
nhọn có tọa độ chân ba
đường cao hạ từ các đỉnh
, ,A B C

chính là phân giác trong của
góc
·
3 1 2
H H H
và cạnh
BC
chính là
phân giác ngoài của góc
·
3 1 2
H H H
.
Từ đó ta lập các đường phân giác
trong và phân giác ngoài của góc
·
3 1 2
H H H
ta suy ra phương trình
đường cao
1
AH
và cạnh
BC
. Tương
tự cho các đường cao còn lại và các
cạnh còn lại.
Nhận xét: Nếu không lưu ý đến tính chất của chân các đường cao thì bài toán
này rất khó.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ

CP
là phân giác trong góc
·
MPN
nên ta tìm được phương trình
CP
là
4 0x y− − =
. Trực tâm
H
của tam giác
ABC
là giao điểm của
AM
và
CP
nên có tọa độ
(2; 2)H −
.
Bài toán 4: Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
không cân tại
A
có
( , ), ( , )
B B C C
B x y C x y
và phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong

-Gọi
'B
đối xứng với
B
qua
∆
thì
'B AC∈
. Cạnh
AC
đi qua
C
và nhận
'B C
uuuur
là vectơ chỉ phương.
-
A
là giao điểm của
AC
và
∆
. Cạnh AB đi qua
B
và nhận
AB
uuur
là vectơ chỉ
phương.
Chú ý: Nếu

( 1; 1)H − −
, đường phân giác trong của góc
A
có phương trình
2 0x y− + =
và đường cao kẻ từ
B
có phương trình
4 3 1 0x y+ − =
.
Giải:
Gọi
'H
là điểm đối xứng với
H
qua đường
phân giác trong góc
A
. Đường thẳng ∆ đi
qua
H
và vuông góc với đường phân giác
trong góc A có phương trình
: 2 0x y∆ + + =
. ∆ cắt đường phân giác
trong góc
A
tại
( 2;0)I −
. Vì

.
C
là giao điểm
của
AC
và
CH
nên
10 3
;
3 4
C
 
−
 ÷
 
. Thử lại thấy
, 'AC AH
uuur uuuur
cùng hướng nên thỏa
mãn.
Ví dụ 7: Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh
( 4;1)B −
, trọng tâm
(1;1)G
và đường thẳng chứa phân giác trong của góc

. Gọi
E
là điểm đối xứng với
B
qua phân giác trong
góc
A
, ta tìm được
(2; 5)E −
. Đường thẳng
AC
đi qua
A
và
E
nên có phương trình
4 13 0x y− − =
.
A
là giao điểm của
AC
và
đường phân giác trong góc
A
nên có tọa độ
(4;3)A
.
C
đối xứng với
A

Giải:
Gọi
D
là điểm đối xứng với điểm
C
qua đường
thẳng
d
, ta tìm được
(4;9)D
.
A
là giao điểm của d và đường tròn đường kính
CD
đồng thời có hoành độ dương nên ta tìm
được
(4;1)A
.
Cạnh
AB
đi qua
A
và
D
nên có phương trình
4 0x − =
.
Ta có
2.
8; 6

và đường
thẳng
2 2
: 0( 0)ax by c a b∆ + + = + ≠
không đi qua
,A B
. Tìm tọa độ điểm
M
trên đường thẳng
∆
sao cho
MA MB
+
nhỏ nhất.
Cách giải:
10
A
B
C
D
d
B
A
C
G
D
E
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
- Nếu

M
là giao điểm của
∆
và
'A B
.
Nhận xét: Bằng cách tương tự ta có thể giải bài toán sau: “Trong hệ tọa độ
Oxy
,
cho hai điểm
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
và đường thẳng
: 0ax by c∆ + + =
2 2
( 0)a b+ ≠
không đi qua
,A B
. Tìm tọa độ điểm
M
trên đường thẳng
∆
sao
cho
MA MB−
lớn nhất.
Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
(1;2)A
và đường thẳng

đối xứng với
A
qua
d
, ta tìm được
'(9; 4)A −
. Ta có chu vi tam giác
ABC
là
5AB BC CA CD CA+ + = + +
' 5 ' 5CD CA DA= + + ≥ +
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
C
là giao điểm của
d
và
'DA
. Từ đó tìm được
13
( ;1)
2
C
và
7
( ; 3)
2
BC AD B= ⇒ −
uuur uuur
.
-Nếu

( ) : 1
25 16
x y
E + =
,
2 2
2
2 2
( ) : 1 ( 0)
x y
E a b
a b
+ = > >
có cùng tiêu điểm. Biết rằng
2
( )E
đi qua điểm M thuộc đường thẳng
.
∆
Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp
2
( )E
có độ dài trục lớn nhỏ nhất.
(trích đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2010-2011)
Giải
Điểm
2 1 2
( ) 2M E MF MF a∈ ⇒ + =
. Vậy
2

 
−
 ÷
 
Ví dụ 11: Trên mặt phẳng toạ độ
,Oxy
cho hai đường thẳng
1
: 1 0;x y∆ − + =
2
: 1 0y∆ − =
và điểm
(5;2)C
. Tìm các điểm
1 2
,A B∈∆ ∈∆
sao cho chu vi tam
giác
ABC
nhỏ nhất.
Giải
Nhận xét:
C
thuộc góc nhọn tạo bởi hai đường
thẳng
1 2
,∆ ∆
. Gọi
,M N
lần lượt là các điểm đối

 ÷  ÷
   
.
Bài toán 5: Trong hệ tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( , ), ( , )
A A B B
A x y B x y
nằm ngoài
đường tròn
2 2 2
0 0
( ) : ( ) ( )C x x y y R− + − =
và số thực
k
với
1k >
và
(2 1)IA k R< +
. Tìm tọa độ điểm
M
trên đường tròn
( )C
sao cho
.MA k MB+
nhỏ nhất.
12
C
A

trong đó
D
nằm giữa
A
và
I
.
Lấy
J
sao cho
1
DJ DA
k
= −
uuur uuur
tức là
DA kDJ= −
uuur uuur
. Vậy
D
là điểm chia trong đoạn
AJ
. Hơn nữa,
( )
1 1 1
( ) 2 1 2DJ DA IA R k R R R
k k k
= = − < + − =
 
 

uuur uuur
(
D
là giao điểm của
BI
và
đường tròn
( )C
trong đó
D
nằm giữa
B
và
I
) và cũng phải có điều kiện đối
với
k
và
IB
để
J
nằm trong đường trong
( ).C
- Nếu
,A B
cùng nằm trong đường tròn thì luôn tồn tại
J
nằm ngoài đường tròn
( )C
để đường tròn

Đường tròn
( )C
có tâm
(1;1)I
và bán kính
5R =
. Gọi
5
( ;3)
2
J
. Ta chứng minh
với mọi điểm
M
thuộc
( )C
ta có
2MA MJ=
. Thật vậy
2MA MJ=
13
I
J
D
A
B
M
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
2 2

BJ.
BJ có phương trình
2 8 0x y+ − =
.
Tọa độ giao điểm của BJ và (C) là nghiệm của
hệ
( ) ( )
2 2
2 8 0
1
6
1 1 25
x y
x
y
x y
+ − =

=


⇔
 
=
− + − =



hoặc
5

và đường thẳng
∆
có phương
trình
( 2) (1 ) 3 5 0m x m y m− + − + − =
với
m
là tham số. Tìm
m
để khoảng cách
từ
M
đến
∆
lớn nhất
Bài 3.Trong hệ tọa độ
Oxy
, viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua điểm
( 1;0)E −
và cắt đường tròn
2 2
( ) : 8 4 16 0C x y x y+ − − − =
tại hai điểm
,A B
sao cho độ dài
AB
nhỏ nhất.
Bài 4.Tìm

Tuấn
Bài 6.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác nhọn
ABC
có chân các
đường cao hạ từ
, ,A B C
theo thứ tự là
( )
( 1; 2), 2;2 , ( 1;2).M N P− − −
Lập phương
trình các cạnh của tam giác
ABC
.
Bài 7.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có
(3;5)B
,
(4; 3)C −
và đường phân giác trong góc
A
có phương trình
2 8 0x y+ − =
. Lập
phương trình các cạnh của tam giác
ABC

. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Bài 10. Trong hệ tọa độ
Oxy
, hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác nhọn
ABC
biết chân đường cao lần lượt hạ từ các đỉnh
, ,A B C
lần lượt là H
1
(4;-1),
H
2
(1;5), H
3
(-4;-5).
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các vuông góc
( )
Oxy
cho tam giác
ABC
và đường thẳng
∆
có phương trình
: 3 1 0x y∆ − − =
. Giả sử
( ) ( )
4;2 , 1;1 ,D E


Bài 13. Tìm trên trục đường thẳng
2 2 0x y− + =
điểm
M
sao cho
MA MB−
lớn nhất với
(4;1), (5;7)A B
.
Bài 14. Cho hai đường thẳng song song
1 2
: 2 9 0; : 2 4 0d x y d x y+ − = + − =
và
hai điểm
(6;4), (2; 1)M N −
. Lập phương trình đường thẳng
∆
vuông góc với
1 2
,d d
và cắt hai đường thẳng này lần lượt tại
,A B
sao cho
MA NB+
nhỏ nhất.
Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho các điểm
( 4;4), (0;6)A B−
và đường

C- KẾT LUẬN
Trên đây là những kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra từ quá trình giảng
dạy. Vì kinh nghiệm của bản thân còn ít, thời gian công tác chưa nhiều nên chắc
16
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng
nghiệp.
Trong các năm học tiếp theo, tôi sẽ triển khai sâu rộng hơn trong quá trình
giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, rút kinh nghiệm từ thực tế để nội dung sáng
kiến kinh nghiệm này được hoàn thiện hơn và tiếp tục tìm tòi, học hỏi để nghiên
cứu về vấn đề “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng sử dụng các tính chất hình
học để giải một số bài toán về “Phương pháp tọa độ trong không gian” ”.
Tài liệu tham khảo
1.Sách giáo khoa, sách bài tập Hình học 10, Hình học 10 nâng cao, NXB giáo
dục.
17
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
2. Tài liệu chuyên toán Hình học 10, Tài liệu chuyên toán Bài tập Hình học 10,
NXB giáo dục.
3. Tạp chí Toán học tuổi trẻ.
4. Các đề thi chọn học sinh giỏi của các tỉnh, các đề thi tuyển sinh Đại học khối
A,B,D.
MỤC LỤC
18
Trần Văn Hưng THPT Mai Anh
Tuấn
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình