BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TẠ THỊ XINH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TẠ THỊ XINH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2
6. Giả thiết khoa học ............................................................................................. 2
7. Đóng góp của đề tài........................................................................................... 3
8. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4
1.1. Một số khái niệm ............................................................................................ 4
1.1.1. Quan niệm về bài toán................................................................................. 4
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học ........................................ 4
1.1.3. Vị trí của bài tập toán học ........................................................................... 6
1.1.4. Các chức năng của bài tập toán học: ........................................................... 7
1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán. ........ 7
1.1.6. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán ......................................................... 8
1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán ................................................ 9
1.2.1. Một số cách thức khai thác bài toán .......................................................... 14
1.2.2. Các năng lực tư duy cần có khi giải toán. ................................................. 14
1.3. Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian. ......................... 18
1.3.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12 THPT. ... 18
1.3.2. Một số kiến thức cơ bản về PP tọa độ trong không gian. ......................... 19
1.3.3. Thực trạng việc dạy học giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong
không gian ở một số trường THPT ..................................................................... 22
CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. .............. 24
2.1. Dạng1: Viết phương trình mặt phẳng. ......................................................... 24


2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng. ..................................................... 32
2.3.Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng. ................................ 39

môn toán tại các trường THPT người giáo viên chỉ bước đầu hướng dẫn học sinh
giải bài tập toán mà thường bỏ qua công đoạn cuối cùng của giải một bài toán đó
là khai thác bài toán. Bởi vậy mà việc giải toán chưa thực sự phát huy hết tính tự
giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Chưa đáp ứng được yêu cầu về
mục tiêu giáo dục đặt ra hiện hành.
Với các lí do trên em đã chọn để thực hiện nghiên cứu khóa luận: “Hướng
dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa
độ trong không gian” .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng
toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
1


2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận liên quan đến việc hướng dẫn học sinh
giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
- Điều tra khảo sát việc dạy học giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian ở một số trường THPT.
- Đề xuất một số giải pháp dạy học giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh THPT.
- Tiến hành thử nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho việc
nghiên cứu.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên
quan đến việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về phương
pháp tọa độ trong không gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra – quan sát.
- Thử nghiệm sư phạm: Bước đầu có được kết luận cần thiết cho việc nghiên

3


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích, đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở
người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra.
Định nghĩa này gồm 3 ý chính:
- Chỉ có bài toán đối với người nào đó hay chính xác hơn là trạng thái phát
triển nào đó của người giải.
- Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán.
- Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống mà
người giải đã quen thuộc.
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Trong quá trình dạy học môn toán, giải một bài tập toán học chiếm một vai
trò vô cùng quan trọng. Đây là hoạt động quan trọng được thực hiện thường
xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên lớp của giáo viên, mặt khác có thể
thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập là hoạt động có nhiều tác dụng trong
rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực và phát triển trí tuệ cho học sinh. Bài tập
toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa hoạt động
học của học sinh và hoạt động dạy của giáo viên với mục tiêu, nội dung và phương
pháp dạy học. Tức là thông qua bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán người
học sinh thể hiện được mức độ thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy
học của người giáo viên. Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh
phải thực hiện những hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận
dạng và thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những
hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học,
những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Chính vì vậy mà theo
quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động” của học

cho học sinh khả năng thực hiện,vận dụng bốn bước theo phương pháp tìm lời
giải bài toán của Polya. Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề theo xu hướng đổi mới phương pháp dạy học của nền
giáo dục ở nước ta hiện nay.

5


Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viên cần hình
thành cho học sinh kỹ năng giải toán. Tức là người giáo viên cần phải :
+ Giúp cho học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài tập
toán, cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán.
Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm
được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề
theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực
tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất,
đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy
học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục).
1.1.3. Vị trí của bài tập toán học
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập
toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay
thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy , hình
thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập
toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông.
Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định

+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức
và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc
khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết
sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm
vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán.
a) Phân loại bài toán theo hình thức bài toán:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
7


- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa được đưa ra rõ
ràng trong đề bài toán.
b) Phân loại bài toán theo phương pháp giải toán:
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một
angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó.
c) Phân loại bài toán theo nội dung bài toán:
- Bài toán số học
- Bài toán hình học
- Bài toán đại số
d) Phân loại bài toán theo ý nghĩa giải toán:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi
học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến
thức cũng như các kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy

Cần khuyến khích học sinh tìm tòi giải một bài toán bằng nhiều cách, cho
học sinh phân tích, so sánh các cách giải khác nhau để lựa chọn được cách giải
ngắn gọn và hợp lý nhất nhằm củng cố và rèn luyện tư duy độc lập suy nghĩ, tự
giác, phát triển khả năng tổng hợp hóa,khái quát hóa và so sánh cho học sinh.
Bảy là: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Cho học sinh làm quen với việc nghiên cứu giải những bài toán tương tự
bằng cách mở rộng hay lật ngược vấn đề sẽ giúp cho học sinh có một cách nhìn
tổng quát đối với một vấn đề. Giúp củng cố, khắc sâu thêm kiến thức cho học sinh.
Sau khi cho học sinh giải xong những dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương
pháp đưa ra ở dạng ẩn tàng thì người giáo viên cần phải cho học sinh khái quát
lại tri thức phương pháp để học sinh có khả năng tự giải quyết những dạng bài
tập tương tự, còn nếu người giáo viên không cho học sinh khái quát lại tri thức
phương pháp sau khi đã giải xong bài tập thì việc giải bài tập này là vô nghĩa vì
học sinh không thể giải được những bài toán tương tự.
1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có
thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài
9


toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà
dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm
tòi lời giải cho mỗi bài toán cụ thể.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh
lời giải của một bài toán. Biết lời giải của một bài toán không quan trọng bằng
việc làm thế nào để có thể giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập
của học sinh, phát triển tư duy, người giáo viên phải hình thành cho học sinh
một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Đối với những dạng bài tập toán đã có thuật giải và những bài toán có quy
tắc tựa thuật giải thì người giáo viên cần dạy cho học sinh nắm bắt và biết cách

Bước 2: Tìm cách giải
Trong cuốn Đại số sơ cấp và thực hành giải toán của tác giả Hoàng Kỳ đã
viết về phần tìm tòi lời giải của một bài toán như sau: “Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất - trong việc giải bài toán. Không có một thuật
toán tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những lời
khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng
hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công
hơn.”
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan. Sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
- Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí
nhất.
Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng
nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được
tích lũy để tìm ra cách giải bài toán. Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp
đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Việc định hướng tìm
lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên
quan đến bài toán. Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết
của các bước giải bài toán. Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho
11


lời giải được thể hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu
không định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ không
thể đi đến lời giải bài toán dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác. Nhờ
việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các
cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài toán

giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất. Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả
các lời giải khác nhau của bài toán học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài
toán. Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung
những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập. Khả năng trình bày lời giải
thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung của một lời giải: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng,
chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước suy luận hợp lôgic, cách trình bày
ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước
trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận
chứng phải hợp lôgic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm
bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất,
nghiên cứu trình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu sâu lời giải của một bài toán chính là ta đi kiểm tra, đánh giá và
khai thác lời giải của một bài toán. Trong đó, kiểm tra, đánh giá lời giải của bài
toán chính là ta đi thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải
đã tìm được của bài toán. Còn việc khai thác lời giải của một bài toán chính là ta
đi tìm các cách giải khác (nếu có) của bài toán và nghiên cứu các bài toán có
liên quan.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ với
nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài toán liên quan cần
vận dụng thường xuyên khi giải bài tập. Vì khi giải một bài toán nào đó thì một
câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp với kiến thức
nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy bài toán đã cho về
bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng những kiến thức liên
quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn luyện kỹ năng định
13




tổng quát hóa (khái quát hóa), đặc biệt hóa, tương tự hóa, trừu tượng hóa và cụ
thể hóa.
a) Năng lực phân tích và tổng hợp.
Để rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy phân tích và tổng hợp thì trước
tiên ta phải hiểu năng lực tư duy phân tích và tổng hợp là gì?
Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Ngược lại với phân
tích là tổng hợp. Tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại các thuộc tính hay khía
cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất trong tư
duy, tuy đó là những thao tác trái ngược nhau.
Phương pháp tổng hợp còn được gọi là phương pháp suy xuôi còn phương
pháp phân tích còn được gọi là phương pháp suy ngược lùi. Phân tích có 2 loại
gồm: phân tích đi lên và phân tích đi xuống hay còn gọi là suy ngược tiến. Trong
đó, phân tích đi xuống (suy ngược tiến) chỉ là khâu suy đoán không là phép
chứng minh còn phân tích đi lên thì ngược lại.
Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận bài toán một cách tổng
hợp để xem bài toán thuộc loại gì, hay cần huy động những kiến thức nào, sử
dụng phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc
phân tích bài toán ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ giữa các yếu
tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm được lời giải của các bài toán bộ
phận, phati tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đang xét. Thông thường,
khi tìm tòi lời giải (bước 2 theo bản gợi ý bốn bước để giải bài toán của polya),
ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời
giải (bước 3 theo bản gợi ý bốn bước để giải bài toán của polya), ta lại sử dụng
phương pháp tổng hợp cho ngắn gọn. Như vậy trong quá trình thực hiện giải bài
toán chúng ta phải biết cách vận dụng hai năng lực tư duy phân tích và tổng hợp
một cách phù hợp để góp phần phát triển trí tuệ cho người học.

để tránh việc lặp đi lặp lại dài dòng không cần thiết, khi gặp trường hợp trình tự
lôgic tương tự và không có gì mới khác thì ta viết gọn là “tương tự như trên ta
có...”, hoặc “chứng minh tương tự ta được...”.
16


Để nâng cao trình độ tin cậy của các kết luận bằng phương pháp tương tự,
cần lưu ý những điểm sau đây:
+ Cần cố gắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho các đối
tượng được so sánh.
+ Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được so sánh là
điển hình nhất đối với các đối tượng đó. Nói khác đi các dấu hiệu chung của các
đối tượng so sánh cần được liên hệ càng mật thiết càng tốt đối với các thuộc tính
khác của các đối tượng đang xét.
+ Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung xác lập giữa các đối tượng so sánh là
càng cùng kiểu càng tốt với dấu hiệu được chuyển từ đối tượng này sang đối
tượng kia, tức là với dấu hiệu mà kết luận bằng tương tự đã xác nhận là vốn có
của đối tượng này hay đối tượng khác.
+ Cần cố gắng sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng so sánh là đặc
trưng, riêng biệt đối với chúng (trong mọi trường hợp là những dấu hiệu thuộc
về một nhóm đối tượng càng hẹp càng hay).
d) Trừu tượng hóa, cụ thể hóa
Cùng với tính chính xác, tính lôgic, người ta xem khả năng trừu tượng hóa là
một trong những mặt mạnh nhất của Toán học. Quá trình trừu tượng hóa được
nâng dần lên, tùy thuộc vào trình độ của từng người. Toán học giúp ta làm việc
trên những ký hiệu từ các “hình dạng không gian” và các “quan hệ số lượng”
người ta tiến hành trừu tượng hóa từng cấp độ, không những chỉ dùng những
con số, các chữ, các ký hiệu lôgic mà còn dùng các phương trình, bất phương
trình, các hàm số để càng ngày càng biểu thị được trung thực hơn các mối quan
hệ số lượng và không gian của thực tiễn. Việc dạy toán cho học sinh (trong đó

dụng vào làm những bài tập nâng cao hơn. Vì vậy trong quá trình dạy học
Chương III: PP tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12 cho học sinh THPT,
người giáo viên không những phải làm cho học sinh hiểu và nắm được cách giải
những dạng toán về PP tọa độ trong không gian mà còn phải cho học sinh làm
quen với việc khai thác những dạng toán về PP tọa độ trong không gian để góp
phần vào việc phát triển tư duy cũng như làm tăng tính tích cực, tự giác cho
người học.

18


1.3.2. Một số kiến thức cơ bản về PP tọa độ trong không gian.
a) Hệ tọa độ trong không gian.
Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , ta có:
 Tọa độ của điểm và của vectơ
Ta có: u   x; y; z   u  x.i  y. j  z.k

M   x; y; z   OM  x.i  y. j  z.k
Nếu A a; b;c  và B  a '; b '; c ' thì AB   a  a '; b  b ';c c'
 Tích vô hướng của hai vectơ: u =  a; b;c  và v   a '; b '; c '

 

u.v  u . v .cos u.v  a.a ' b.b ' c.c '
2

u  u  a 2  b2  c 2

 


Một số tính chất của tích có hướng:
+ uv  u, uv  v

 

+ u  v  u . v .sin u, v

+ u , v cùng phương  u  v  0
+ u , v , w cùng phương  u  v . w = 0
 Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm I  a; b;c  , bán kính R có phương trình:
19