BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HUÊ RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
VÀ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN Khóa luận này của em hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây
Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo,
Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin. Phòng KH&QHQT, Trung tâm thông tin
thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Huyện
Điện Biên, tỉnh Điện Biên, các em học sinh lớp 12C1, 12C2, 10A1, 10A2
(trường THPT Huyện Điện Biên) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán.
Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo,
các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Với khóa luận này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2014
Ngƣời thực hiện

Vũ Thị Huê


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Đối tượng nghiên cứu 2
4. Phạm vi nghiên cứu 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc khóa luận 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3
1.1. Khái niệm phương pháp 3
1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán 3
1.2.1. Các mức độ của kỹ năng 3
1.2.2. Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh 4
1.2.3. Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập 4
1.3. Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 5
1.4. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian trong
chương trình toán THPT 7
1.4.1. Mục đích 7
1.4.2. Yêu cầu 7
1.4.3. Nội dung 7
1.4.3.1. Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 7
1.4.3.2. Phương trình đường thẳng trong không gian 9
1.5. Thực trạng việc dạy và học phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong không gian ở một số trường THPT 10
1.5.1. Điều tra đối với giáo viên 10
1.5.2. Điều tra đối với học sinh 11
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khóa luận
Chúng ta đang sống trong thế kỷ XXI, thế kỷ của khoa học, công nghệ và
hội nhập. Tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong
sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri
thức cho con người.
Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối
với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Trong chương trình toán THPT lớp 10, học sinh bước đầu được làm quen với
phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và đến lớp 12 học sinh được tiếp cận
và nghiên cứu mở rộng của phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là
phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là hai nội dung quan trọng
trong chương trình toán THPT. Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi
tốt nghiệp THPT và trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung học
chuyên nghiệp.
Hơn nữa, do số tiết dạy về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong
không gian không đủ để giáo viên có thể đưa ra nhiều dạng toán và rèn luyện kỹ
năng cho học sinh mà chỉ có thể dừng lại ở một số dạng toán và kỹ năng cơ bản. Vì
vậy học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán tổng hợp và phức tạp.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân đang là sinh viên năm cuối, tương lai là một
giáo viên THPT với mong muốn giúp học sinh có được một số kỹ năng giải bài
tập toán. Đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng giải bài tập, từ đó
tạo hứng thú học tập và giúp học sinh thấy được sự giống nhau, khác nhau giữa
phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian. Chính từ các lý
do trên khóa luận chọn hướng nghiên cứu là “ Rèn luyện một số kỹ năng giải bài

luận gồm ba chương với những nội dung sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán viết phương trình đường
thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh THPT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 3
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Khái niệm phƣơng pháp
Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để chủ thể đạt được mục
đích đã đề ra.
Theo Nguyễn Bá Kim trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán, NXB
giáo dục, năm 2008” thì phương pháp dạy học là cách thức tổ chức hoạt động và
giao lưu của thầy gây lên nhưng hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt
được mục tiêu dạy học.
1.2. Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng có
mục đích, sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Một số học sinh có kỹ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán từ
đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách lôgic, chính xác
trong một thời gian nhất định.
1.2.1. Các mức độ của kỹ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản
- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp

năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép biến
đổi, mà các kỹ năng này là một thể thống nhất.
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống các kỹ năng đều có
mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược
lại, hình thành kỹ năng sau lại góp phần củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
1.2.3. Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán tương tự bài tập mẫu.
Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác qua
một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán theo sơ đồ

5
định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập
toán học cụ thể.
Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu
cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp.
Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các
kỹ năng bậc cao.
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau, giải
bằng lời, giải dưới dạng viết, giải bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh
thực hiện thành thạo, vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rèn luyện kỹ năng
trong tiết học, trong hoạt động học ở nhà.
1.3. Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học
Ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn
bản là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của học sinh. Các bài toán ở
trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình
thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Thông qua việc giải

về phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là
phương pháp đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập
và trình độ phát triển của học sinh. Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay
nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi
- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình bốn
bước của G.pôlia

7
1.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng và trong không gian
trong chƣơng trình toán THPT
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian được trình
bày ở chương III của hình học lớp 10 và lớp 12 nhằm:
1.4.1. Mục đích
Giới thiệu về vtcp và vtpt của đường thẳng trong mặt phẳng và vtcp của
đường thẳng trong không gian. Trên cơ sở đó trình bày pttq, ptts, phương trình
chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
1.4.2. Yêu cầu
Hiểu được khái niệm vtcp, vtpt của đường thẳng trong mặt phẳng, vtcp của
đường thẳng trong không gian và biết cách xác định chúng.
Viết được ptts, pttq, phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt
phẳng và trong không gian.
Xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng, từ đó viết được pttq của

cũng là một vtcp của

.
Do đó đường thẳng

có vô số vtcp.

8
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtcp
của nó.

Phương trình tham số của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho đường thẳng

đi qua điểm
 
00
;M x y
và
nhận
 
12
;u u u
làm vtcp. Khi đó hệ phương trình
01
02




là
01
02





x x tu
y y tu


Chú ý: Nếu
12
,uu
đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình
đường thẳng

dưới dạng chính tắc như sau:
00
12


x x y y
uu

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng



00
;M x y
và có vtpt
 
;n a b
là:
   
00
0   a x x b y y
.

9
Phương trình
0  ax by c
, với a và b không đồng thời bằng 0 gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng.
Đường thẳng

cắt trục Ox và Oy lần lượt tại
   
;0 , 0;A a B b
có phương
trình theo đoạn chắn là
1
xy
ab
 
0, 0ab
.
Nhận xét: Nếu đường thẳng



Viết pttq của


theo công thức
   
00
0   a x x b y y

+ Biến đổi về dạng
0  ax by c

1.4.3.2. Phương trình đường thẳng trong không gian
Nội dung phương trình đường thẳng trong không gian được trình bày ở
chương III hình học 12 gồm 16 tiết với những nội dung sau:
§1: Hệ tọa độ trong không gian (4 tiết)
§2: Phương trình mặt phẳng (5 tiết)
§3: Phương trình đường thẳng (5 tiết)
Ôn tập chương (2 tiết)
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm
 
0 0 0
;;M x y z
và có vectơ chỉ phương
 

  

x x y y z z
a a a10
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt
phẳng
 
1 1 1 1
:A 0   x B y C z D


và
 
2 2 2 2
:0   A x B y C z D


có dạng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
   


   


và
m
là một
vtpt của
 

thì
a n m

1.5. Thực trạng việc dạy và học phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt
phẳng và trong không gian ở một số trƣờng THPT
1.5.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải
toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường
THPT Huyện Điện Biên.
Bảng 1: Đội ngũ giáo viên
Số
lượng
giáo
viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Trình độ chuyên môn
Dưới
10
10-
20
Trên

8(66,7%)
B
0(0%)
5(41,7%)
2(16,7%)
1(8,3%)
C
0(0%)
4(33,3%)
3(40%)
2(16,7%)
D
12(100%)
2(16,7%)
1(8,3%)
1(8,3%) 11
Nhận xét: Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn giáo viên có tuổi nghề
còn rất trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao.
Các thầy, cô chủ yếu rèn luyện giải toán cho học sinh ở mức độ biết làm, mặc dù
mong muốn rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh ở cả ba mức độ
nhưng do nhiều nguyên nhân như: thiếu thời gian, thiếu phương tiện dạy học….
nên việc làm đó diễn ra với tần số ít.
1.5.2. Điều tra đối với học sinh
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải
toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian.
-Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 10A1(38 HS), 10A2 (37HS), 12C1(38HS),
12C2(35HS) thuộc trường THPT Huyện Điện Biên.

CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VIẾT PHƢƠNG TRÌNH
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN
CHO HỌC SINH THPT

2.1. Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng viết phƣơng trình đƣờng thẳng
trong mặt phẳng và trong không gian
Để rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong không gian cần dựa vào mức độ và trình độ, kỹ năng giải bài tập toán học
cụ thể là:
- Cần rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và
trong không gian ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình
tổng quát.
- Mỗi loại trên bao gồm nhiều bài toán khác nhau và cần rèn luyện ở ba mức
độ: mức độ biết làm, mức độ thành thạo và mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
2.2. Rèn luyện kỹ năng viết phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng
2.2.1. Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng
Bài toán 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và
biết vectơ chỉ phương của nó

Mức độ biết làm
Ví dụ: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
 
1;2M

và có vectơ chỉ phương là
 
1;4u
.
Giải

13
Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts của d ta phải xác định một điểm thuộc d và vtcp của nó.
Từ phương trình chính tắc của d suy ra điểm
 
3;1 Md
và vectơ
 
2;3u

là vtcp của d
Vậy phương trình tham số của d là
32
13





xt
yt
,
tR


Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm
 
4; 1I
và

 
12
;u u u
là
vtcp của nó. A B
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là
 
2; 1v C D
Ta có:
 
cos ; cos45  u AB u v
12
2 2 2 2
12
2
2
2
21


  
uu
uu

 
 
2

3u
và
 
1; 3u

Vậy ptts hai đường chéo của hình vuông là
1
1
43
13



  

xt
yt
và
2
2
4
13



  

xt
yt
,

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là
15
,
2






xt
tR
yt


Mức độ thành thạo
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
12
,dd
có phương
trình tham số lần lượt là
,
22




  

xt

Giả sử
   
; , ;y
A A B B
A x y B x

Theo giả thiết
1
Ad
suy ra
22



  

A
A
xt
yt
và
22
AA
yx

2
Bd
suy ra
1
1

Giải hệ phương trình này ta được
11
3

A
x
suy ra
16
3

A
y
. Vậy
11 16
;
33



A15
Đường thẳng d đi qua điểm A và có vtcp là
2 16
;
33




. Viết ptts của đường thẳng chứa
cạnh AC biết A thuộc đường thẳng
1
d
có phương trình tham số là
12
,
2
  





xt
tR
yt
và B thuộc đường thẳng
2
d
có phương trình tham số là
1
1
1
2
,
3







   


tt
t
t
tt


A(1;3)
Vì G là trọng tâm của
ABC
và I là trung điểm của AB nên
2
3
CG GI
.
Giả sử
 
;
CC
C x y
thì
 
 
2
22

.
Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vtcp là
 
1;2AC

Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC là
1
,
32






xt
tR
yt
. 16

Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
12
,dd
có
phương trình lần lượt là
2

5;0M
sao cho d cắt
12
,dd
lần lượt tại B, C với M
thuộc BC, đồng thời
2


BAM CAM
SS
.
Hướng dẫn - Giải
Ta thấy đường thẳng d đi qua hai điểm B, C nên để viết ptts của d phải xác
định tọa độ hai điểm B, C.
Do
12
,B d C d
nên giả sử
   
11
2 ; 1 9 , 11 4 ;2 3    B t t C t t

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC
Do
M BC
nên
1
2







    



tt
t
t
tt

Suy ra
   
1; 10 , 7;5BC
. Đường thẳng d đi qua B và có vtcp là
 
6;15BC

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là
16
,
10 15




  


b.Viết ptts của đường thẳng MN với
,M AB N BC
và đường thẳng MN
đồng thời chia đôi chu vi, chia đôi diện tích của tam giác ABC. 17
Hướng dẫn - Giải
Để viết ptts đường thẳng chứa các cạnh AC, BC phải xác định tọa độ các
điểm A, B, C. Tương tự, để viết ptts đường thẳng MN cần xác định tọa độ hai
điểm M, N.
a. Do
A AB
nên giả sử
 
1 ;3 7A t t
, do
B AB
và
B Ox
nên
 
1;0B

C Ox
và
ABC
cân tại A nên
 

,
3 7 3 7








xt
tR
yt
và
1
1
12
,
0






xt
tR
y

b.

x8
thì
MA
và N(2 ;0) là trung điểm của BC
Suy ra đường thẳng MN chính là đường trung tuyến AN của tam giác ABC,
nó đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là
 
0; 3 7AN

Vậy phương trình của đường thẳng MN là
2
,
3 7 3 7








x
tR
yt18
Bài toán 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm
và song song với một đường thẳng cho trước


 
1;1

u

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là
4
,
1




  

xt
tR
yt

Ví dụ 2 : Viết ptts của đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết
trung điểm các cạnh AB, BC, AC lần lượt là P(9 ;1), M(-1 ;-1), N(1 ;9).
Hướng dẫn - Giải
Ta có
P AB,M BC,N AC  
nên để viết ptts của đường thẳng chứa các
cạnh AB, BC, AC ta còn phải xác định các vtcp của chúng
Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB nên
AB/ /MN
,
AC//PM, BC//PN

x t x t
xt
t t t R
y t y t y t
Mức độ thành thạo
Ví dụ 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng

song song với

19
đường thẳng d có phương trình tham số là
22
,
33
  





xt
tR
yt
và cắt
,Ox Oy
lần
lượt tại điểm A, B sao cho

;AB a b
cũng là một vectơ chỉ phương của

, suy ra
 
0AB ku k
2
3






ak
bk

Theo giả thiết thì
2 2 2 2
13 13 4 9 13 1         AB a b k k k

Vậy
 
1;0A
hoặc
 
1;0A

Ptts của


1
1
12
,
3






xt
tR
yt

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
cho hình bình hành ABCD biết
phương trình tham số của đường thẳng chứa các cạnh AB, AD lần lượt là
1
,
22






xt
tR

1
2 2 4 4
  






  


tt
t
t
tt
 
A 0;0

Trích đoạn Kết quả thử nghiệm

---