“RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY CỦA HỌC
SINH QUA CHUỖI BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN”
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
A) NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG:
Trong xu thế đổi mới phương pháp dạy và học của Bộ Giáo dục và đào tạo trong
những năm vừa qua thì phương pháp tạo cho học sinh có khả năng tư duy từ một số bài
toán cơ bản để từ đó học sinh có thể tự nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo “Biến lạ thành
quen” được các giáo viên chú ý và được Bộ khuyến khích nhất. Vì thế hầu hết các giáo
viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào
đó trong trường phổ thông.
B) NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1) Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh:
− Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế.
− Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn
lúng túng, bỡ ngỡ.
2) Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng:
Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận
dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học trong việc hình
thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu
quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.
C) CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I. HIỆU QUẢ CỦA VIỆC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC
1. Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh
2. Giúp học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức
1
3. Hệ thống toán kiến thức đã học: một số đáng kể bài tập đòi hỏi học sinh phải vận
dụng tổng hợp kiến thức của nhiều nội dung trong bài. Dạng bài tập tổng hợp học
sinh phải huy động vốn hiểu biết trong nhiều chương.

dạng bài tập. Chú ý các bài:
- Có trọng tâm kiến thức toán học cần khắc sâu
- Có phương pháp giải mới.
- Dạng bài quan trọng, phổ biến, hay được ra thi
3. Phải nghiên cứu chuẩn bị trước thật kỹ càng:
-Tính trước kết quả
-Giải bằng nhiều cách khác nhau
-Dự kiến trước những sai lầm học sinh hay mắc phải
4. Giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải bài tập cơ bản:
- Chữa bài mẫu thật kỹ
- Cho bài tập tương tự về nhà làm (sẽ chữa vào giờ sau)
- Khi chữa bài tập tương tự có thể:
+ Cho học sinh lên giải trên bảng
+ Chỉ nói hướng giải, các bước đi và đáp số
+ Chỉ nói những điểm mới cần chú ý
- Ôn luyện thường xuyên
5. Dùng hình vẽ và sơ đồ trong giải bài tập có tác dụng:
- Cụ thể hoá các vấn đề, quá trình trừu tượng
- Trình bày bảng ngắn gọn
- Học sinh dễ hiểu bài
- Giải được nhiều bài tập khó
6. Dùng phấn màu khi cần làm bật các chi tiết đáng chú ý:
- Phần tóm tắt đề
- Viết kết quả bài toán…
7. Tiết kiệm thời gian:
- Đề bài có thể photo phát cho học sinh, hoặc viết trước ra bảng, bìa cứng.
- Tận dụng các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập
- Không sa đà vào giải đáp những thắc mắc không cần thiết
8. Gọi học sinh lên bảng
3

cấp cho học sinh.Tránh bỏ sót, trùng lặp, phần thì qua loa, phần thì quá kỹ.
4
2. Bài tập trong một học kỳ,một năm học phải kế thừa nhau, bổ sung lẫn nhau
3. Đảm bảo tính phân hoá, tính vừa sức với ba loại trình độ học sinh.
4. Đảm bảo sự cân đối về thời gian học lý thuyết và làm bài tập.
E) ĐỐI TƯỢNG VÀ CƠ SỞ NGHIÊN CỨU:
1) Đối tượng: Học sinh khối 12.
2) Cơ sở nghiên cứu: TRƯỜNG THPT PHƯỚC THIỀN.
5
PHẦN II: NỘI DUNG
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

0u ≠
ur
r
là véctơ chỉ phương của đường thẳng
∆
nếu giá của
u
ur
song song hoặc
trùng với đường thẳng
∆
.
 Nếu
u
ur
là véctơ chỉ phương của đường thẳng
∆
thì

= +


= + ∈


= +

¡
.
 Đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
và có véctơ chỉ phương
( )
; ;u a b c=
r
( )
. . 0a b c ≠
có phương trình chính tắc là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

II. NỘI DUNG:

( )
A 2 ; 3 ; -1
và có một vectơ chỉ phương là
( )
AB = -1 ;- 1 ; 5
uuuur
.
3) Từ đó ta thấy ngoài việc có thể lập được phương trình của đường thẳng (∆) khi
biết nó đi qua một điểm A và một vectơ chỉ phương
u
ur
ta có thể thay đổi các điều
kiện ở mục 1 và mục 2 để được bài toán mới.
a) Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua
( )
A 1 ; 2 ; -1
và song song với đường
thẳng
1
(Δ ):
x-3 y+8 z+2
= =
4 -7 -3
* Nhận xét: Trong bài toán này đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương chính là véctơ
chỉ phương của đường thẳng
1
∆
. Từ đó học sinh tiếp thu và vận dụng vào bài tập.

(Δ ):
1
x y-1 z
= =
1 -1 -2
và
( )

=

∆ = −


=

2
2
: 3
x
y
z t
,
t ∈¡

* Nhận xét: Trong bài toán này đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương chính là véctơ
1 2
,u u
 

(Δ )
1
và mặt phẳng
( )
β
qua A và qua đường thẳng
(Δ )
1
.
2
∆
u
ur
1
∆
∆
1
u
uur
2
u
uur
A
8
* Nhận xét: Trong trường hợp này đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương chính là
véctơ
1 2
,u u

véctơ
AB
uuur
• Hoặc ta xác định hình chiếu vuông góc B của điểm A trên đường thẳng
(Δ )
1
thì
(∆) là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
* Nhận xét: Trong trường hợp này đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương chính là
véctơ
AB
uuur

b) Lập phương trình đường thẳng (∆) đi qua
( )
A 0 ; 1 ; 1
, vuông góc với đường
thẳng
y + 2
x -1 z
(Δ ): = =
1
3 1 1
và cắt đường thẳng
(Δ ):
2
x-4 y z-1
= =

 
ur uur
(với
1 2
,u u
ur uur
lần lượt là véctơ pháp tuyến của (α) và
( )
β
)
•
Ngoài ra ta có thể giải bài toán theo 2 cách khác như sau:
 Viết phương trình mp(
α
) đi qua
( )
A 0 ; 1 ; 1
và vuông góc với đường thẳng
(Δ )
1
cắt đường thẳng
2
(Δ )
tại B. Khi đó đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương
là
AB
uuur
.

A 1 ; 1 ; -2
, vuông góc với đường
thẳng
y-1
x +1 z-2
(Δ ): = =
1
2 1 3
và song song với mặt phẳng
(α):x - y-z -1= 0
.
B
2
∆
A
1
∆
α
β
∆
10
* Nhận xét: Trong bài toán này đường thẳng
∆
có véctơ chỉ phương chính là véctơ
1 2
,u u
 
 
ur uur
(với

x y z
= =
-1 1 2
* Nhận xét: Thông thường để giải bài toán này ta viết phương trình 2 mặt phẳng
(α) và
( )
β
((α) là mặt phẳng qua A và đường thẳng
(Δ )
1
,
( )
β
là mặt phẳng qua A và
đường thẳng
( )
2
∆
). Từ đó ta suy ra véc tơ chỉ phương của đường thẳng (∆) và viết
phương trình đường thẳng (∆).
Việc giải bài toán như trên có nhiều sai sót và thông thường ta không kiểm tra lại
kết quả của bài toán. Vì nếu (α) song song với đường thẳng
( )
2
∆
hoặc mặt phẳng
( )
β
song song với đường thẳng
( )

A 3 ; -1 ; -4
, cắt đường thẳng
(Δ ):
1
x-1 y+2 y-3
= =
2 -2 1
và song song với mặt phẳng
(α):2x + y = 0
.
*Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải theo 2 cách:
• C1: Viết phương trình mặt phẳng qua A song song với mặt phẳng
( )
α
cắt
( )
1
∆
tại B. Đường thẳng
( )
∆
là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
• C2: Gọi B thuộc
( )
1
∆

( )
1 2 ; 2 2 ;3B b b b⇒ + − − +
. Tìm điều kiện để AB song song

y + 2
x -1 z-2
(Δ ): = =
1
1 4 3
và cắt đường thẳng
(Δ ):
2
x+2 y-3 z+1
= =
2 -2 1

*Nhaän xeùt:
Theo phương pháp cũ ta thường viết phương trình 2 mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
lần lượt
chứa 2 đường thẳng
( )
1
∆
,
( )
2
∆
và song song với đường thẳng
( )

( )
1 ; 2 4 ;2 3 , 2 2 ;3 2 ; 1A a a a B b b b+ − + + − + − − +
. Tìm điều kiện để đường thẳng AB song
song với đường thẳng
( )
3
∆
từ đó ta suy ra tọa độ 2 điểm A, B. Đường thẳng
( )
∆
là đường
thẳng đi qua 2 điểm A, B.
Từ cách giải bài toán này ta phát triển cách giải cho các bài toán sau:
b) Lập phương trình đường thẳng (∆) nằm trong mặt phẳng
(α): y +2z = 0
, cắt
đường thẳng
x = 4+ t
(Δ ): y = -2t
1
z =1







và cắt đường thẳng
(Δ ):


d) Lập phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng
x = -5+2t
(Δ ): y = -5+3t
1
x = t







, vuông góc với
(Δ ):
2
x-2 y-3 z-1
= =
-2 3 -1
, cắt đường thẳng
(Δ )
1
và cắt
đường thẳng
2
(Δ )
.
13
III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung

− + −

∆ = = ∆ =


= +

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường (D) biết:
a. Đường thẳng (D) đi qua điểm
( )
1;2;4E −
và vuông góc với 2 đường thẳng:
1 2
3 2 4 1 1
: ; :
2 3 5 2 1 2
x y z x y z+ − + − +
∆ = = ∆ = =
b. Đường thẳng (D) đi qua gốc tọa độ O, cắt và vuông góc với đường thẳng:
2 1
:
2 3 2
x y z
d
− −
= =
c. Đường thẳng (D) đi qua điểm
( )
5;2;4M −
và cắt cả 2 đường thẳng:

−
và cắt cả 2 đường thẳng
1 2
1 1 1 2 3
: ; :
3 1 2 2 4 1
x y z x y z− + − + −
∆ = = ∆ = =
b. (D) nằm trong mặt phẳng
( )
: 2 4 0P x y z+ + − =
và cắt cả 2 đường thẳng:
1 2
3 2 6 6 1
: ; :
2 1 5 3 2 1
x y z x y z− − − − −
∆ = = ∆ = =
c. (D) vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 5 3 0P x y z− − + =
và cắt cả 2 đường thẳng:
1 2
1 1 2 1
: ; :
2 1 2 1 1 2
x y z x y z− + − −
∆ = = ∆ = =
−
Bài 4: (Đề thi TSĐH khối A năm 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường

x t
x y z
d y t
z t
= +

− +

= = = − −

−

= +

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với
1 2
, d d
.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc
1
d
và N thuộc
2
d
sao cho A, M, N thẳng hàng.
Bài 6: (Đề thi TSĐH khối D năm 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường
thẳng
2 2
:
1 1 1

Qua đó ta thấy để tư duy của học sinh phát triển một cách có hệ thống thì ta phải
hướng dẫn cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các bài toán với nhau thông qua việc
thay đổi một hay một vài điều kiện của bài toán mà các em đã biết.
Trên đây là những kinh nghiệm mà bản thân tôi đã rút ra được trong thời gian công
tác và dạy học sinh lớp 12 cách lập phương trình đường thẳng trong không gian. Tất
nhiên sẽ còn những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của quý
thầy cô đồng nghiệp giúp cho chất lượng dạy và học môn Toán theo định hướng phát
triển tư duy của học sinh ngày một đạt hiệu quả cao hơn.
Cảm ơn thầy Trương Ngọc Dũng tổ trưởng tổ toán Trường THPT Nguyễn Trãi và
thầy Lê Thanh Hoàn tổ trưởng tổ toán Trường THPT Thống Nhất B đã tận tình hướng
dẫn cùng tổ toán Trường THPT Phước Thiền đã hổ trợ tôi hoàn thành đề tài.
Xin chân thành cảm ơn.
Người viết đề tài
Phạm Phú Hoàng
17
18