SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TOÁN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN"

1


ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo
tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm
gương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao
chất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích
cực”
Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và
đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học,
từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”.
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập,
không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học,
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học
sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải
quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học
sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, không để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú
trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì
vậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ

2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó,
dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học,
vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng
toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn
trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của
đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều
kiện khác của bài toán
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc
học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.

3


Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng
cách giai khi đứng trước một bài toán.
Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý
đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai
điều kiện xác định đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình
thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.

t  R 

Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng  là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:

4


 x  y  2 z  5  0

2 x  y  z  1  0

+) Điểm đi qua: Với

z 1

 
 

I 

thay vào hệ (I) ta có:

x  y  3
x  1


2 x  y  0
 y  2


cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo
khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin
được trình bày nội dung đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài
toán đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
5


+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ
trong bài toán.
Ví dụ 1
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm
M 1; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng   : 2 x  3 y  z  2  0
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

M 1; 2;3 .

+) Mặt phẳng ()  có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:
n  2; 3;1

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Các cách giải:
Cách 1:
Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng () nên song song hoặc trùng với giá của



Ví dụ 2
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng  qua
M  1;2;5  và song song với hai mặt phẳng:  P  :3x  y  5 z  8  0 và
 Q :2 x  y  z  1  0 .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
M  1; 2;5  .

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Hai mặt phẳng :
(P)  có véctơ pháp tuyến: nP  3;1; 5 .
(Q)  có véctơ pháp tuyến: nQ  2; 1;1 .

+) Quan hệ: Đường thẳng  song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có
phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Từ mối qua hệ giữa đường thẳng  với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng 
có một chỉ phương u   nP ; nQ    4; 13; 5 
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:
:

x 1 y  2 z  5


4
13
5

A  2;1;3 .

và có véctơ chỉ phương u1 1; 1;1 .


+) Đường thẳng

2

đi qua điểm

N  2;3; 1

và có véctơ chỉ phương u2  1; 2;1 .

+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng 1 và

2 .

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Định hướng 1:
+) Đường thẳng  cắt đường thẳng 1 nên xác định một mặt phẳng   .
+) Đường thẳng  cắt đường thẳng

2

nên xác định một mặt phẳng    .

Vậy đường thẳng  là giao của hai mặt phẳng   và    .



8

u   n ; n    2; 34;58 


Cách 2:
Gọi P là giao điểm của  và 1 .
Gọi Q là giao điểm của  và

P  1  P 1  t ; 2  t ; 1  t 

 2 . Q   2  Q  2  t ';3  2t '; 1  t ' 

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng  nên thẳng hàng hay:
QA  t '; 2  2t '; 4  t '

, PA  3  t; 1  t;4  t  .

2

t '  15
t '  3k  tk
t ' 3k  tk  0

8




17
29

ta có :

 có chỉ phương: u 1; 17; 29 và đi
1

P

Cách 3:
Ta có:



 AM ; u1    3; 7; 4  ,  AN ; u2   10; 4; 2 





Gọi u  a; b; c 

a

2

 b2  c2  0

 là chỉ phương của đường


5a  2b  c  0

3a  7b  20a  8b  0


c  5a  2b

b  17 a

c  29a

Vì a2  b2  c2  0  a  0 véctơ u  a; 17a;29a  hay đường thẳng cần tìm có chỉ phương
u 1; 17; 29  và

đi qua A nên có phương trình:

9


:

x  2 y 1 z  3


1
17
29

Ví dụ 4

M  6;1; 4 

đi qua điểm

+) Đường thẳng d 2 đi qua điểm

và có véctơ chỉ phương u1  2; 4; 1 .

N 1; 2;3

và có véctơ chỉ phương u2  2;1; 1 .

+) Quan hệ: Đường thẳng  cắt d 2 .
Đường thẳng  vuông góc với

d1 (có

thể cắt hoặc không cắt).

2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Không thể dựa vào điều kiện  cắt

d1

vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra.

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
+)Đường thẳng  cắt đường thẳng d 2 tại P.
+)Đường thẳng  vuông góc với

hay P 1  2t; 2  t;3  t 

Véctơ AP  2t; t  4; t 
Mặt khác  vuông góc với

nên:

d1

AP  u1  AP.u1  0  4t  4t  16  t  0  t  16 .

Suy ra AP  32;12; 16 , hay

:

x 1 y  2 z  3


.
8
3
4

Cách 2: Gọi   là mặt phẳng xác định bởi  và d 2 .
n   NA, u2    4;0; 8 

Mặt khác   chứa  nên đi qua A.   : x  2 z  7  0
Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với
tuyến.


 NA, u2  .u  0  4a  8c  0  a  2c 1



Mặt khác  

d1

Từ (1) và (2) ta có:

 u.u1  0  2a  4b  c  0
3c  4b  0  3c  4b

11

 2

a 2  b2  c 2  0 .


Chọn

b  3
c  4  
a  8

Vậy  có phương trình:
Cách 4: Gọi

K  x; y; z  .


2 x  4 y  z  3  0
2  x  1  4  y  2    z  3  0

Đặt z = t:
 x  7  2t
 x  7  2t



17 3
14  4t  4 y  t  3  0  y   t
4 4


Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình

 x  7  2t

17 3

 : y   t
4 4

t
 z 

t  R  .

Ví dụ 5

AM  0;6;0 

Gọi   là mặt phẳng qua A và chứa d.

n   AM , u   12;0; 6 

Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. n  u 1; 5;2
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương:
Phương trình của đường thẳng

:

u1   n ; n    30; 30; 60 

x  3 y  2 z 1


.
1
1
2

Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với
mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách
giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán.
Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối
với bài toán khác. Như ví dụ sau:
Ví dụ 6
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2 x  y  2 z  17  0 và mặt cầu
2

 / /  

a 2  b2  c 2  0 .

nên ta có:

1

u.n  0  2a  b  2c  0  b  2a  2c

+) IM  0;5; 4 , u  a; b; c  ,

 IM , u    5c  4b; 4a; 5a 



Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi
 IM , u 


d  I ,   R 
R
u

 5c  4b    4a    5a 
2

2

2


2

 105a 2  48ac  9c 2  45a 2  72ac  45c 2

a
c 1
a  c


5a  3c
a   3
 c
5

 5a 2  2ac  3c 2  0

Vì

a 2  b2  c 2  0

Nếu

ac

chọn

suy ra a  0 .

b  4

1
4
1

và

2 :

x 1 y  8 z  2


.
3
4
5

14

2 :

x 1 y  8 z  2


3
4
5


Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách
khácthì vẫn giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm

+) Đường thẳng

1

đi qua

M 1  1;1; 2 

+) Đường thẳng

2

đi qua

M 2  2;1;0 

+) Quan hệ: Đường thẳng

có chỉ phương u1  2;3;1 .

có chỉ phương u1  3; 1;1 .

   P

Đường thẳng  cắt cả

1

và


3t ' t  k
3t ' t  k  0
t '  2



MN  knP  2  t ' t  k  t ' t  k  2  t  3
1  t ' 2t   k
t ' 2t  k  1
k  3




Vậy

1

P

M  1;6; 5 , MN  3; 3;3 .

Đường thẳng có phương trình:

x 1 y  6 z  5


1
1
1

y  z 1  0

Vậy đường thẳng  là tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
4 x  3 y  z  9  0

y  z 1  0


Đặt z = t:  x  

Đường thẳng có phương trình:

3
 t ; y  1  t.
2

3

x   2  t

y  1 t
z 
t



16

t  R 


M

thẳng qua M và vuông góc với (P).
Vây đường thẳng cần tìm  là đường thẳng qua M và
vuông góc với mặt phẳng (P).

P



2



Ta đi tìm M.
Mặt phẳng () đi qua M1 và có pháp tuyến
n  u1 , nP    4;3; 1

suy ra:

4x  3 y  z  5  0

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
 x  2  3t '
 y  1 t '
3

 4  2  3t '   3 1  t '    t '   5  0  t ' 

4

Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường vuông góc chung của
hai đường thẳng:
1 :

x  6 y  1 z  10


1
2
1

và

2 :

x  4 y 3 z 4


7
2
3

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

17


1) Đề cho:
1


Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng  với
+)

1

và

2

M  1  M  6  t ;1  2t ;10  t  .

+) N   2  N  4  7t ';3  2t '; 4  3t '  .
+) MN  10  7t ' t;2  2t ' 2t; 6  3t ' t 
 MN  u1
 MN .u1  0
 10  7t ' t   2  2  2t ' 2t    6  3t ' t   0



 MN .u2  0
7  10  7t ' t   2  2  2t ' 2t   3  6  3t ' t   0
 MN  u2
 10  7t ' t   2  2  2t ' 2t    6  3t ' t   0
t ' t  0
t '  1



56  62t ' 6t  0

M1  6;1;10 

và có véctơ


Gọi () là mặt phẳng xác định bởi  và  2 . Vậy () đi qua điểm
pháp tuyến: n  u; u2    5; 34;11 nên có phương trình:

M 2  4;3; 4 

và có véctơ

5x  34 y  11z  38  0

Vậy đường vuông góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:
3x  2 y  z  6  0

5 x  34 y  11z  38  0

Đặt: z  1  4t thay vào hệ ta có:

3x  2 y  4t  7
 x  3  2t


5 x  34 y  44t  49
 y  1 t

Vậy đương vuông góc chung cần tìm có phương trình:
x  3 y 1 z 1


Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP 1;3; 5 .
+) Đường thẳng

d

đi qua

+) Quan hệ: Đường thẳng

M  2;1;7 

có chỉ phương ud 1; 2;1 .

   P

Đường thẳng  cắt cả

d

và

d  .

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
 Điểm đi qua:
Vì đường thẳng  cắt d và nằm trong mặt phẳng (P) nên đi qu agiao điểm của d va

nên có chỉ phương:
u   nP ; ud   13; 6; 1

Suy ra  có phương trình:
Cách 2: Gọi
Ta có:
Mặt khác:

N  x; y; z 

 x  14  13t

 y  25  6t
 z  19  t


là điểm thuộc đường thẳng  cần tìm, khi đó:

MN  x  14; y  25; z  19 

d

 MN .n p  0

 MN   P  




 MN  d

(Trong cách 2, đường thẳng  chính là giao tuyến của mặt phẳng () với mặt phẳng
(P), trong đó () chứa d và vông góc với (P). )
Ví dụ 10

20


Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường phân giác của hai
đường thẳng:
x  2 y 1 z  3
1 :


1
2
2

và

 x  1  4t

 2 :  y  3
 z  5  3t


Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:

bởi



và

2 .

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:
 x  1  4t
 x  1  4t
x  1
 y  3
 y  3
 y  3





 A 1; 3;5 
 z  5  3t
 z  5  3t

z

5



 x  2  y 1  z  3
 4t  1  2  3t  2
t  0

 7 2 19 
v1  v2   ; ;   , v1  v2    ; ;  
 15 3 15 
 15 3 15 

Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác

d1

21

và d 2


+) Phân giác
phương trình:

d1

có chỉ phương cùng phương với

có tọa độ: 17;10; 1 nên có

x 1 y  3 z  5


.
17
10
1

14

.

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP  1;1;2 .
+) Đường thẳng d đi qua

M  2;3; 3

+) Quan hệ: Đường thẳng

có chỉ phương u  4;2;1 .

   P

Đường thẳng  / /d .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Đường thẳng  có cùng chỉ phương u  4;2;1 với d .
Điểm đi qua:
Gọi A  x0 ; y0 ; z0  là hình chiếu của M trên đường thẳng , suy ra:
 x0  2 2   y0  32   z0  32  14
 AM  14
 AM  14



 AM  d   AM .u  0  4  x0  2   2  y0  3   z0  3  0



 4 x0  2 y0  2t  0
  y0  2 x0  t
 x  y  22  4t  5  0
3x  3t  27  0
0
0
 0

 x0  2 2   y0  32  14  2t 2  14
 7  t 2   3t  212  14  2t 2  14


  y0  18  3t
  y0  18  3t
x  9  t
x  9  t
 0
 0
 t  8

14t 2  196t  672  0
 t  6


  y0  18  3t
  y0  18  3t
x  9  t
x  9  t

 A  3;0; 1

Đường thẳng cần tìm có phương trình:

x  3 y z 1
 
4
2
1

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình:
x 1 y  6 z  5


4
2
1

và

x  3 y z 1
 
.
4
2
1

Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng)

23

x  3
x  3y  2z  1  0


 x  2z  1  0  y  0

x  y  2z  5  0 x  2z  5  0 z  1


 x  3  4t

2t
y 
 z  1  t


Đường thẳng có phương trình:
Với

d  27    : x  3 y  2 z  27  0

Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:
y  6
x  1
x  3y  2z  27  0 

 x  2z  9  0  y  6

 x  y  2z  5  0
 x  2z  11  0 z  5

 z  1  t



Gọi

K  x '; y '; z '

+)

là điểm thuộc đường thẳng cần tìm. Ta có:

K   P    x ' y ' 2 z ' 5  0

(1)

+) d  K ; d   14

(2)

Gọi () là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng () có pháp tuyến đi qua M  2;3; 3
n   nP , u    3;9; 6  có phương trình: x  3 y  2 z  13  0
Ta có: d  K ; d  

14  d  K ;      14 

x ' 3 y ' 2 z ' 13
14


Từ (1) và (3), đặt z '  1  3t , ta được:

 x ' 3 y ' 2  6t  27  0  y '  18  6t


 x ' y ' 2  6t  5  0
 x '  25  12t

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình dạng tham số:
 x  25  12t

 y  18  6t  t  R 
 z  1  3t


Ví dụ 12
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình hình chiếu vuông góc  của

25