SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TOÁN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN"

1


ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo
tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm
gương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao
chất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích
cực”
Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và
đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học,
từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”.
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập,
không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học,
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học
sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải
quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học
sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, không để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú
trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì
vậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ

2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương.
Dạng không tường minh:
- Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó,
dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học,
vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài.
Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng
toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn
trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của
đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều
kiện khác của bài toán
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc
học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.

3


Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng
cách giai khi đứng trước một bài toán.
Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý
đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai
điều kiện xác định đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình
thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.

( t ∈ R)

Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:
4


 x − y + 2 z − 5 = 0

 2 x + y + z − 1 = 0

+) Điểm đi qua: Với

z =1

(α )
(β)

( I)

thay vào hệ (I) ta có:

x − y = 3
x = 1
⇔

2 x + y = 0
 y = −2

Suy ra ∆ đi qua

cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo
khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin
được trình bày nội dung đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài
toán đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên.
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
5


+) Điểm đi qua đã cho trong đề bài.
+) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ
trong bài toán.
Ví dụ 1
Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm
M ( 1; 2;3) và vuông góc với mặt phẳng ( α ) : 2 x − 3 y + z − 2 = 0
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :

M ( 1; 2;3) .

+) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến:
uur
nα ( 2; −3;1)

+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Các cách giải:
Cách 1:

6


Ví dụ 2
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua
M ( −1;2;5 )
và song song với hai mặt phẳng: ( P ) :3x + y − 5 z + 8 = 0 và
( Q ) :2 x − y + z − 1 = 0 .
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
M ( −1; 2;5 ) .

+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Hai mặt phẳng :
(P) ⇔ có véctơ pháp tuyến:
(Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến:

uur
nP ( 3;1; −5 ) .
uur
nQ ( 2; −1;1) .

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có
phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Từ mối qua hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng ∆
r uur uur
có một chỉ phương u =  nP ; nQ  = ( −4; −13; −5 )
Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc:

=
−1
2
1

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Đường thẳng

∆1

đi qua điểm

M ( 1; 2; −1)

7

A ( −2;1;3)

.

và có véctơ chỉ phương

ur
u1 ( 1; −1;1) .


+) Đường thẳng


∆2

nên xác định một mặt phẳng ( β ) .

Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆1

tại P.

+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng

∆2

tại Q.

Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ.
Từ đó dẫn đến các cách giải
Cách giải:
Cách 1:
• Gọi ( α ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và
uuuur
ur
AM ( 3;1; −4 ) và u1 ( 1; −1;1) ,
uur uuuur ur
nα =  AM ; u1  = ( −3; −7; −4 )

Vậy ( α ) có hai chỉ phương là

∆2 .

, suy ra pháp tuyến của ( α ) :

r uur uur
u =  nα ; nβ  = ( 2; −34;58 )

.


Gọi P là giao điểm của ∆ và

∆1 . P ∈ ∆1 ⇒ P ( 1 + t ; 2 − t ; −1 + t )

Gọi Q là giao điểm của ∆ và

∆ 2 . Q ∈ ∆ 2 ⇒ Q ( −2 − t ';3 + 2t '; −1 + t ' )

Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay:
uuur
QA ( t '; −2 − 2t '; 4 − t ' )

,

uuur
PA ( −3 − t ; −1 + t; 4 − t )

.

2

uuur  2 34 58 
QA  ; − ; ÷ Hay đường thẳng
 15 15 15 
x + 2 y −1 z − 3
∆:
=
=
phương trình:
1
−17
29

ta có :

r

∆ có chỉ phương: u ( 1; −17; 29 ) và đi

∆1
P

Cách 3:
Ta có:
r

uuuur ur
 AM ; u1  = ( −3; −7; −4 )




AM , u1 , u đồng phẳng
uuuur ur r
⇔  AM , u1  .u = 0 ⇔ 3a + 7b + 4c = 0
uuur uur r
Ba vectơ AN , u2 , u đồng phẳng
uuur uur r
⇔  AN , u2  .u = 0 ⇔ 10a + 4b + 2c = 0

+) Ba vectơ

+)

( 1)
( 2)

Từ (1) và (2):
3a + 7b + 4c = 0
⇔

5a + 2b + c = 0

Vì

3a + 7b − 20a − 8b = 0
b = −17 a
⇔

c = −5a − 2b
c = 29a
r


,

d2 :

A ( 1; 2;3)

x −1 y + 2 z − 3
=
=
.
2
1
−1

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
A ( 1; 2;3) .

+)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+)Đường thẳng
+) Đường thẳng

d1
d2

M ( 6;1; 4 )

đi qua điểm
đi qua điểm

Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
+)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
+)Đường thẳng ∆ vuông góc với

d2

d1

tại P.

nên

uuur ur uuur ur
AP ⊥ u1 ⇔ AP.u1 = 0 .

Suy ra đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PA.
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
+) Đường thẳng ∆ vuông góc với
vuông góc với

d1

d2

nên xác định một mặt phẳng ( α ) .

nên xác định một mặt phẳng ( β ) qua A và

d1 .


Suy ra

uuur
AP ( 32;12; −16 )

, hay

∆:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
.
8
3
−4

Cách 2: Gọi ( α ) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và

d2 .

uur uuur uur
nα =  NA, u2  = ( −4;0; −8 )

Mặt khác ( α ) chứa ∆ nên đi qua A. ( α ) : x + 2 z − 7 = 0
Gọi ( β ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với

d1 ,


Vì ∆ cắt

d2

uuur uur
r
NA; u2 và u đồng phẳng:
uuur uur r
 NA, u2  .u = 0 ⇔ 4a + 8c = 0 ⇔ a = −2c ( 1)


r ur
d1 ⇔ u.u1 = 0 ⇔ −2a + 4b − c = 0
( 2)

nên ba véctơ

Mặt khác ∆ ⊥

Từ (1) và (2) ta có:
Chọn

3c + 4b = 0 ⇔ 3c = −4b

b = 3
c = −4 ⇒ 
a = 8

11



⇔  uuur ur
 AK .u1 = 0

( I)

−
x + 2z − 7 = 0
 4 ( x − 1) − 8 ( z − 3) = 0
⇔
⇔
2 x − 4 y + z + 3 = 0
−2 ( x − 1) + 4 ( y − 2 ) − ( z − 3) = 0

Đặt z = t:
 x = 7 − 2t
 x = 7 − 2t

⇔

17 3
14 − 4t − 4 y + t + 3 = 0  y = − t

4 4

Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình

 x = 7 − 2t

17 3

đi qua điểm

+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt

M ( 3; 4; −1)

A ( 3; −2; −1) .

và có véctơ chỉ phương

d.

Đường thẳng ∆ vuông góc với d .
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

12

r
u ( 1; −5; 2 ) .


Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:

uuuur
AM ( 0;6;0 )

Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A và chứa d.

uur uuuur r

2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 9 . Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S)
biết tiếp tuyến đó đi qua M ( 1;8; 2 ) và song song với mặt phẳng (α).
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
+) Mặt phẳng ( α ) có véctơ pháp tuyến

M ( 1;8; 2 ) .

uur
nα ( 2; −1; 2 ) .

+) Mặt cầu ( S ) có tâm và bán kính I ( 1;3; −2 ) ,
+) Quan hệ: Đường thẳng

R=3

∆ / /(α)

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I
đến đường thẳng ∆ bằng R.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
13


Cách giải:
r



d ( I, ∆) = R ⇔
=R⇔
r
u
⇔

( 5c − 4b )

2

+ ( 4a ) + ( −5a )
2

2

=3

a 2 + b2 + c2

( 5c − 4b )

2

+ ( 4a ) + ( −5a ) = 3 a 2 + b 2 + c 2

( 8a + 3c )

2


Vì

a 2 + b2 + c2 ≠ 0

Nếu

a=c

Nếu

5a = −3c

chọn

suy ra

a ≠ 0.

b = 4
a =1⇒ 
.
c = 1

chọn

Tiếp tuyến cần tìm:

b = 4
a = −3 ⇒ 
.

1

và

∆2 :

x −1 y − 8 z − 2
=
=
.
−3
4
5

Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách
khácthì vẫn giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm
đi qua:

14


Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm. Điểm có thể tìm
được đó là tiếp điểm.
Cách khác: Gọi K ( x; y; z ) là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều
uuuur uur
uur uuuur
kiện sau: +) K ∈ ( S ) , +) MK .nα = 0 , +) IK .MK = 0 .

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho

∆2

đi qua

+) Quan hệ: Đường thẳng

uur
nP ( 1;1; −1)

.

ur
u
có chỉ phương 1 ( 2;3;1) .
ur
M 2 ( 2;1;0 ) có chỉ phương u1 ( 3; −1;1) .

M 1 ( −1;1; −2 )

∆ ⊥ ( P)

Đường thẳng ∆ cắt cả

∆1

và

∆2 .

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.



MN = k nP ⇔ −2 − t '− t = k ⇔ t '+ t + k = −2 ⇔ t = 3
−1 + t '+ 2t = −k
t '+ 2t + k = 1
k = −3



uuuur
Vậy M ( −1;6; −5 ) , MN ( −3; −3;3) .

Đường thẳng có phương trình:
∆1

∆2

•

P

x +1 y − 6 z + 5
=
=
1
1
−1

∆



Mặt phẳng ( β ) có phương trình

y + z −1 = 0

Vậy đường thẳng ∆ là tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
4 x − 3 y + z + 9 = 0

y + z −1 = 0


Đặt z = t: ⇒ x = −

Đường thẳng có phương trình:

3
− t ; y = 1 − t.
2

3

x = − 2 − t

y = 1 −t
z =
t



( t ∈ R)

(α) tại M.

vuông góc với (P) nên

∆1

cắt đường

thẳng qua M và vuông góc với (P).
Vây đường thẳng cần tìm ∆ là đường thẳng qua M và
vuông góc với mặt phẳng (P).
Ta đi tìm M.
Mặt phẳng (α) đi qua M1 và có pháp tuyến
uur ur uur
nα = u1 , nP  = ( −4;3; −1)

suy ra:

4x + 3y − z − 5 = 0

Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
 x = 2 + 3t '
 y = 1− t '
−3

⇒ 4 ( 2 + 3t ' ) + 3 ( 1 − t ' ) − ( t ' ) − 5 = 0 ⇒ t ' =

4
z = t '
4 x + 3 y − z − 5 = 0

∆1 :

x − 6 y − 1 z − 10
=
=
1
2
−1

và

∆2 :

x+4 y −3 z −4
=
=
−7
2
3

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Đường thẳng
+)Đường thẳng

∆1
∆2

ur



2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
Cách 1: (Xác định hai điểm đi qua)
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với
+)

M ∈ ∆1 ⇒ M ( 6 + t ;1 + 2t ;10 − t )

∆1

và

∆2

.

+) N ∈ ∆ 2 ⇒ N ( −4 − 7t ';3 + 2t '; 4 + 3t ' ) .
uuuur

+) MN ( −10 − 7t '− t; 2 + 2t '− 2t ; −6 + 3t '+ t )
uuuur ur
uuuur ur
 MN ⊥ u1
 MN .u1 = 0
( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) − ( −6 + 3t '+ t ) = 0
⇔
 uuuur uur ⇔  uuuur uur
 −7 ( −10 − 7t '− t ) + 2 ( 2 + 2t '− 2t ) + 3 ( −6 + 3t '+ t ) = 0
 MN ⊥ u2

pháp tuyến: nα = u; u1  = ( −9;6;3) nên có phương trình:

r
u ( 2;1; 4 )

.

M 1 ( 6;1;10 )

và có véctơ

M 2 ( −4;3; 4 )

và có véctơ

3x − 2 y − z − 6 = 0

Gọi (β) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và ∆ 2 . Vậy (β) đi qua điểm
uur r uur
pháp tuyến: nβ = u; u2  = ( −5; −34;11) nên có phương trình:
5 x + 34 y − 11z − 38 = 0

Vậy đường vuông góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

18


3 x − 2 y − z − 6 = 0

5 x + 34 y − 11z − 38 = 0

∆

d:

x − 2 y −1 z − 7
=
=
.
1
2
1

Viết

nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
+) Đường thẳng

d

đi qua

+) Quan hệ: Đường thẳng

M ( 2;1;7 )

uur

 z = 19



Vậy ∆ đi qua điểm

M ( 14; 25;19 ) .

•Véctơ chỉ phương:

19


Cách 1:
Vì ∆ nằm trong mặt phẳng (P) nên có phương vuông góc với véctơ pháp tuyến của (P),
nên có chỉ phương:
r uur uur
u =  nP ; ud  = ( 13; −6; −1)

Suy ra ∆ có phương trình:
Cách 2: Gọi
Ta có:
Mặt khác:

 x = 14 + 13t

 y = 25 − 6t
 z = 19 − t



 x = 181 − 13z
⇔
 y = −89 + 6 z

ta có phương trình tham số của đường thẳng:
 x = 181 − 13t

⇔  y = −89 + 6t
z = t


( t ∈ R)

(Trong cách 2, đường thẳng ∆ chính là giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng
(P), trong đó (α) chứa d và vông góc với (P). )
Ví dụ 10
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường phân giác của hai
đường thẳng:
x − 2 y +1 z − 3
∆1 :
=
=
1
2
−2

và

 x = 1 + 4t



ur
u1 ( 1; 2; −2 )

.

uur

có chỉ phương u2 ( 4;0;3) .

+) Quan hệ: Đường phân giác ∆ là tập hợp các điểm nằm trên mặt phẳng xác định
và ∆ 2 đồng thời cách đều cả hai đường thẳng đó.

2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
∆1

Đường phân giác đi qua giao điểm A của hai đường thẳng

và

∆2 .

Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ:

Đặt

 x = 1 + 4t
 x = 1 + 4t
x = 1

 2 uuur  5 5 ÷

2


Ta có:

ur uur  17 2 1  ur uur  7 2 19 
v1 + v2 =  ; ; − ÷, v1 − v2 =  − ; ; − ÷
 15 3 15 
 15 3 15 

Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác
+) Phân giác

phương trình:

và

d2

có chỉ phương cùng phương với

x −1 y + 3 z − 5
=
=
.
17
10
−1


có tọa độ: ( −7; 2; −19 ) nên có


x = 2 + 4t

d : y = 3 + 2t
z = −3 + t


nằm trong mặt phẳng ( P ) : −x + y + 2z + 5 = 0

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) và cách d một khoảng là

14 .

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
+) Đường thẳng d đi qua

M ( 2;3; −3)

+) Quan hệ: Đường thẳng

uur
nP ( −1;1; 2 ) .

có chỉ


( )
( )
0
0

 0

( x0 − 2 ) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 3) 2 = 14

⇔ 4 x0 + 2 y0 + z0 − 11 = 0
− x + y + 2 z + 5 = 0
0
0
 0

Đặt

z0 = 11 − 2t ,

ta có hệ:

( x0 − 2 ) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( 14 − 2t ) 2 = 14
( x0 − 2 ) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( 14 − 2t ) 2 = 14


⇔ 4 x0 + 2 y0 − 2t = 0
⇔  y0 = −2 x0 + t
− x + y + 22 − 4t + 5 = 0
−3x − 3t + 27 = 0
0

2

Với

 x0 = 1

t = 8 ⇒  y0 = 6 ,
 z = −5
 0

⇒ A ( 1;6; −5)

Đường thẳng cần tìm có phương trình:
Với

 x0 = 3

t = 6 ⇒  y0 = 0 ,
 z = −1
 0

x −1 y − 6 z + 5
=
=
4
2
1

⇒ A ( 3;0; −1)


uur uur uur
nα = ud ; nP  = ( 3; −9;6 )

nên phương trình có dạng:

x − 3 y + 2z + d = 0

Mặt khác:
d ( d , ( α ) ) = 14 ⇔ d ( M , ( α ) ) = 14 ⇔

2−9−6+ d

23

1+ 9 + 4

= 14


 d = −1
⇔ d − 13 = 14 ⇔ 
 d = 27

Với

d = −1 ⇒ ( α ) : x − 3 y + 2 z − 1 = 0

Đường thẳng cần tìm là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ:
y = 0
x = 3



Đường thẳng có phương trình:

 x = 3 + 4t

2t
y =
 z = −1 + t


Vậy có hai đường thẳng cần tìm:

 x = 3 + 4t

2t
y =
 z = −1 + t


và

 x = 3 + 4t

2t .
y =
 z = −1 + t


Cách 3: (Sử dụng tập hợp điểm)


14 ⇔ d ( K ; ( β ) ) = 14 ⇔

x '− 3 y '+ 2 z '+ 13
14

= 14

 x '− 3 y '+ 2 z '+ 13 = 14
⇔ x '− 3 y '+ 2 z '+ 13 = 14 ⇔ 
 x '− 3 y '+ 2 z '+ 13 = −14
 x '− 3 y '+ 2 z '− 1 = 0
⇔
 x '− 3 y '+ 2 z '+ 27 = 0

Từ (1) và (3), đặt

z ' = 1 + 3t ,

( 3)
( 4)

ta được:

 x '− 3 y '+ 2 + 6t − 1 = 0
 x ' = 11 + 12t
⇔

 − x '+ y '+ 2 + 6t + 5 = 0
 y ' = 4 + 6t


x = 1 + t

d : y = 1
z = 1 + t


trên mặt phẳng ( α ) : 2 x + 3 y − z = 0

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (α): véctơ pháp tuyến

uur
nα ( 2;3; −1)

.
ur

+) Đường thẳng d đi qua A ( 1;1;1) có chỉ phương u1 ( 1;0;1) .
2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Cách giải:
25