SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI CHO BÀI TOÁN
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN"
1
ĐẶT VẤN ĐỀ
Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo
tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm
gương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao
chất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích
cực”
Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và
đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học,
từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”.
Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập,
không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng
phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học,
khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học
sinh.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải
quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học
sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, không để ý đến các tính chất hình học.
Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú
trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì
vậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ
xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong không gian.
2
Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các
thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài

toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn
trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán:
Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua
Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của
đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều
kiện khác của bài toán
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc
học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán.
Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng
cách giai khi đứng trước một bài toán.
4
Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý
đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai
điều kiện xác định đường thẳng sau:
+) Biết hai điểm đi qua.
+) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra:
Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình
thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc.
Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được
trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được
chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào?
Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng
tham số thông qua ví dụ sau:
Ví dụ 1: (Cách thứ nhất)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:


x t
y t t R
z t
= −


= − + ∈


= +

Ví dụ 2: (Cách thứ hai)
Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ:

( )
( )
( )
2 5 0
2 1 0
x y z
I
x y z
α
β

− + − =


+ + − =


 
uur uur uur
Vậy ∆ có phương trình dạng tham số:
( )
1 3
2 3
1 3
x t
y t t R
z t
= −


= − + ∈


= +

Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng
cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới.
CƠ SỞ THỰC TIỄN
6
Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh không
còn lúng túng trước bài toán hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định,
các em đã nắm chắc nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ
chỉ phương”. Đa số các em học sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết
các bài tập SGK và bài tập sách bài tập hình học nâng cao 12. Các em tự đặt câu hỏi:
Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích thích sự tò mò tìm cách giải mới cho
mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời giải khá độc đáo khác
cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn.

−
uur
+) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Các cách giải:
Cách 1:
Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên song song hoặc trùng với giá của
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận
( )
2; 3;1n
α
−
uur
làm véctơ chỉ phương nên có
phương trình dạng tham số:

( )
1 2
2 3
3 1
x t
y t t R
z
= +


= − ∈


= +

Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆.
(Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh)
Ví dụ 2
8
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua
( )
1;2;5M −
và song song với hai mặt phẳng:
( )
:3 5 8 0P x y z+ − + =
và
( )
:2 1 0Q x y z− + − =
.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
1;2;5M −
.
+) Hai mặt phẳng :
(P) ⇔ có véctơ pháp tuyến:
( )
3;1; 5
P
n −
uur
.
(Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến:
( )

( )
2;1;3A −
, cắt cả hai đường thẳng
1
1 2 1
:
1 1 1
x y z− − +
∆ = =
−
và
2
2 3 1
:
1 2 1
x y z+ − +
∆ = =
−
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
2;1;3A −
.
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua điểm
( )
1;2; 1M −

∆
nên xác định một mặt phẳng
( )
α
.
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
∆
nên xác định một mặt phẳng
( )
β
.
Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
.
Định hướng 2:
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
1
∆
tại P.
+) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
∆
tại Q.
Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ.
Từ đó dẫn đến các cách giải

α
 
= = − − −
 
uur uuuur ur
• Gọi
( )
β
là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và
2
∆
.
Vậy
( )
β
có hai chỉ phương là
( )
0;2; 4AN −
uuur
và
( )
2
1;2;1u −
uur
, suy ra pháp tuyến của
( )
α
:

( )

Cách 2:
Gọi P là giao điểm của ∆ và
1
∆
.
( )
1
1 ;2 ; 1P P t t t∈∆ ⇒ + − − +
Gọi Q là giao điểm của ∆ và
2
∆
.
( )
2
2 ';3 2 '; 1 'Q Q t t t∈∆ ⇒ − − + − +
Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay:

( )
'; 2 2 ';4 'QA t t t− − −
uuur
,
( )
3 ; 1 ;4PA t t t− − − + −
uuur
.

2
'
15
' 3 ' 3 0

2
'
15
t =
ta có :
2 34 58
; ;
15 15 15
QA
 
−
 ÷
 
uuur
Hay đường thẳng ∆ có chỉ phương:
( )
1; 17;29u −
r
và đi
qua A nên có phương trình:
2 1 3
:
1 17 29
x y z+ − −
∆ = =
−
Cách 3:
Ta có:
( )
1

 
⇔ = ⇔ + + =
 
uuuur ur r
+) Ba vectơ
2
, ,AN u u
uuur uur r
đồng phẳng

( )
2
, . 0 10 4 2 0 2AN u u a b c
 
⇔ = ⇔ + + =
 
uuur uur r
Từ (1) và (2):

3 7 4 0 3 7 20 8 0 17
5 2 0 5 2 29
a b c a b a b b a
a b c c a b c a
+ + = + − − = = −
  
⇔ ⇔
  
+ + = = − − =
  
Vì

•
đồng thời vuông góc với d
1
và cắt d
2
:biết
1
6 2
: 1 4
4
x t
d y t
z t
= −


= +


= −

,
2
1 2 3
:
2 1 1
x y z
d
− + −
= =

uur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt
2
d
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với
1
d
(có thể cắt hoặc không cắt).
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau:
Không thể dựa vào điều kiện
∆
cắt
1
d
vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra.
Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua)
+)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng
2
d
tại P.
+)Đường thẳng ∆ vuông góc với
1
d
nên
1 1
. 0AP u AP u⊥ ⇔ =
uuur ur uuur ur

Cách giải:
Cách 1:
Gọi giao của đường thẳng ∆ với
2
d
là P, suy ra
2
P d∈
hay
( )
1 2 ; 2 ;3P t t t+ − + −
Véctơ
( )
2 ; 4;AP t t t− −
uuur
Mặt khác ∆ vuông góc với
1
d
nên:

1 1
. 0 4 4 16 0 16AP u AP u t t t t⊥ ⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ =
uuur ur uuur ur
.
Suy ra
( )
32;12; 16AP −
uuur
, hay
1 2 3

( )
β
là mặt phẳng qua A và vuông góc với
1
d
, nên nhận
( )
1
2;4; 1u − −
ur
là véctơ pháp
tuyến.

( )
: 2 4 3 0x y z
β
− + + =
Ví ∆ là giao của
( )
α
và
( )
β
nên có chỉ phương
( )
, 8;3; 4u n n
α β
 
= = −
 

2
d
nên ba véctơ
2
;NA u
uuur uur
và
u
r
đồng phẳng:

( )
2
, . 0 4 8 0 2 1NA u u a c a c
 
= ⇔ + = ⇔ = −
 
uuur uur r
Mặt khác ∆ ⊥
1
d
⇔
( )
1
. 0 2 4 0 2u u a b c= ⇔ − + − =
r ur
Từ (1) và (2) ta có:
3 4 0 3 4c b c b+ = ⇔ = −
Chọn
3

; ;K x y z
. K thuộc đường thẳng cần tìm khi và chỉ khi

2
1
; ;AK NA u
AK u



⊥


uuur uuur uur
uuur ur

( )
2
1
, 0
. 0
AK NA u
I
AK u

 
=

 
⇔


7 2
7 2
17 3
14 4 4 3 0
4 4
x t
x t
t y t
y t
= −

= −


⇔
 
− − + + =
= −



15
đồng phẳng
Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình
( )
7 2
17 3
:
4 4


= − +

Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm :
( )
3; 2; 1A − −
.
+) Đường thẳng
d
đi qua điểm
( )
3;4; 1M −
và có véctơ chỉ phương
( )
1; 5;2u −
r
.
+) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt
d
.
Đường thẳng ∆ vuông góc với
d
.
2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:

( )

 
ur uur uur
Phương trình của đường thẳng
3 2 1
:
1 1 2
x y z− + +
∆ = =
.
Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với
mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều
cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán.
Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối
với bài toán khác. Như ví dụ sau:
Ví dụ 6
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 2 17 0x y z
α
− + + =
và mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 3 2 9S x y z− + − + + =
. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S)
biết tiếp tuyến đó đi qua
( )
1;8;2M
và song song với mặt phẳng (α).
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?

Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4.
Cách giải:
Gọi
( )
; ;u a b c
r
là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm
2 2 2
0a b c+ + ≠
.
Vì
( )
/ /
α
∆
nên ta có:

( )
. 0 2 2 0 2 2 1u n a b c b a c
α
= ⇔ − + = ⇔ = +
r uur
+)
( )
0;5;4IM
uuur
,
( )
; ;u a b c
r

2 2 2
2 2 2
5 4 4 5 3 2c b a a a b c⇔ − + + − = + +
Từ (1) và (2) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
8 3 4 5 3 2 2a c a a a a c c⇔ + + + − = + + +

2 2 2 2
105 48 9 45 72 45a ac c a ac c⇔ + + = + +

2 2
5 2 3 0a ac c⇔ − − =

1
3 5 3
5
a
a c
c
a a c
c

=

=

⇔ ⇔

. Tiếp tuyến cần tìm:
1
1 8 2
:
1 4 1
x y z− − −
∆ = =
18
Nếu
5 3a c
= −
chọn
4
3
5
b
a
c
=

= − ⇒

=

. Tiếp tuyến cần tìm:
2
1 8 2
:
3 4 5
x y z− − −

K S∈
, +)
. 0MK n
α
=
uuuur uur
, +)
. 0IK MK =
uur uuuur
.
Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho
trước và các mối quan hệ hình học.
Ví dụ 7
Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ biết nó
vuông góc với mặt phẳng (P) :
4 0x y z+ − − =
và cắt cả hai đường thẳng chéo
nhau:
19

1
2
: 3
1 2
x t
y t
z t
= −


.
+) Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
1;1; 2M − −
có chỉ phương
( )
1
2;3;1u
ur
.
+) Đường thẳng
2
∆
đi qua
( )
2
2;1;0M
có chỉ phương
( )
1
3; 1;1u −
ur
.
+) Quan hệ: Đường thẳng
( )
P∆ ⊥

( )
P∆ ⊥
nên:

3 ' 3 ' 0 ' 2
2 ' ' 2 3
1 ' 2 ' 2 1 3
P
t t k t t k t
MN kn t t k t t k t
t t k t t k k
+ = + − = = −
  
  
= ⇔ − − − = ⇔ + + = − ⇔ =
  
  
− + + = − + + = = −
  
uuuur uur
20
∆
1
∆
2
∆
P
M
•
•

 
= = −
 
uur uur ur
Mặt phẳng
( )
α
có phương trình
4 3 9 0x y z− + + =
Gọi
( )
β
là mặt phẳng chứa
2
∆
và vuông góc với (P)

( )
2
, 0; 4; 4
P
n n u
β
 
= = − −
 
uur uur uur
Mặt phẳng
( )
β

= − ∈


=


Trong bài toán trên, véctơ chỉ phương của đường thẳng có thể xác định được một cách
dễ dàng nhờ mặt phẳng (P). Vậy chỉ cần xác định được một điểm đi qua là đủ
Cách 3: Gọi (α) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆
1
và vuông góc với mặt phẳng (P).
21
•
∆
1
∆
2
∆
M
P
α
∆
1
∆
2
∆
P
α
β
Vì

 
= = − −
 
uur ur uur

suy ra:
4 3 5 0x y z+ − − =
Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

( ) ( ) ( )
2 3 '
1 '
3
4 2 3 ' 3 1 ' ' 5 0 '
'
4
4 3 5 0
x t
y t
t t t t
z t
x y z
= +


= −
−

⇒ + + − − − = ⇒ =


:
1 2 1
x y z− − −
∆ = =
−
và
2
4 3 4
:
7 2 3
x y z+ − −
∆ = =
−
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+)Đường thẳng
1
∆
đi qua
( )
1
6;1;10M
có chỉ phương
( )
1
1;2; 1u −
ur
.
+)Đường thẳng
2

( )
1
6 ;1 2 ;10M M t t t∈∆ ⇒ + + −
.
+)
( )
2
4 7 ';3 2 ';4 3 'N N t t t∈∆ ⇒ − − + +
.
+)
( )
10 7 ' ;2 2 ' 2 ; 6 3 'MN t t t t t t− − − + − − + +
uuuur

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
10 7 ' 2 2 2 ' 2 6 3 ' 0
. 0
7 10 7 ' 2 2 2 ' 2 3 6 3 ' 0
. 0
t t t t t t
MN u MN u
t t t t t t
MN u MN u
 

− − − + + − − − + + =
⊥ =

t t t
+ = = −
 
⇔ ⇔
 
+ + = =
 
Suy ra
( )
7;3;9M
,
( )
4; 2; 8MN − − −
uuuur
, hay đường vuông góc chung có phương trình:
23

7 2
3
9 4
x t
y t
z t
= +


= +


= +

 
uur r ur
nên có phương trình:

3 2 6 0x y z− − − =
Gọi (β) là mặt phẳng xác định bởi ∆ và
2
∆
. Vậy (β) đi qua điểm
( )
2
4;3;4M −
và có véctơ
pháp tuyến:
( )
2
; 5; 34;11n u u
β
 
= = − −
 
uur r uur
nên có phương trình:

5 34 11 38 0x y z+ − − =
Vậy đường vuông góc chung là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

3 2 6 0
5 34 11 38 0
x y z

3 5 6 0x y z+ − + =
và đường thẳng
2 1 7
:
1 2 1
x y z
d
− − −
= =
. Viết
phương trình tham số của đường thẳng
∆
nằm trong (P), cắt và vuông góc với d.
Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
1) Đề cho:
+) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến
( )
1;3; 5
P
n −
uur
.
+) Đường thẳng
d
đi qua
( )
2;1;7M
có chỉ phương
( )
1;2;1

+ − + = =
 
+ − + =

  
⇔ = − ⇔ =
  − − −
= =
  
= + =

 
Vậy ∆ đi qua điểm
( )
14;25;19M
.
•Véctơ chỉ phương:
Cách 1:
25