A. đặt vấn đề
Bài toán viết phơng trình đờng thẳng là dạng toán hay và không quá khó trong
chơng trình lớp 12, để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức
hình học không gian, mối quan hệ giữa đờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ
t duy lời giải toán vừa phải, nhẹ nhàng, lôgíc và hấp dẫn ngời học. Là dạng toán
chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ không gian các đề thi tốt
nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở Trờng THPT Thờng Xuân 2- một trờng miền núi
vùng đặc biệt khó khăn- tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình
yếu, mức độ t duy vừa phải, các em gặp nhiều khó khăn để có thể định hớng đợc
cách giải quyết bài toán; các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này.
Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán viết phơng
trình đờng thẳng trong không gian, phân loại những bài toán điển hình mang tính
khái quát đồng thời đề xuất hớng giải quyết các bài toán dạng này có vai trò quan
trọng trong việc hình thành cho học sinh những phơng pháp và kĩ năng giải toán,
giúp các em có đợc những định hớng rõ ràng hơn, tiếp cận một cách đơn giản- dễ
nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn đề khi đứng tr-
ớc những bài toán dạng này, nhất là học sinh vùng khó.
Từ thực tế trên cùng với mong muốn tổng hợp đợc một tài liệu để đồng nghiệp
có thể áp dụng đợc trong quá trình giảng dạy, học sinh có thể áp dụng đợc trong
quá trình tự học, tôi đã đúc rút kinh nghiệm dạy học của bản thân và đa ra sáng
kiến kinh nghiệm một số bài toán viết phơng trình đờng thẳng trong không
gian"
B. giảI quyết vấn dề
1. Cơ sở lí luận của vấn đề
Bài toán viết phơng trình đờng thẳng là dạng toán hay và không quá khó
trong chơng trình lớp 12.
Cùng với phơng pháp tọa độ, học sinh đã có cái nhìn khác về hình học;
thấy đợc mối liên hệ giữa hình học và giải tích,thoát đợc lối t duy trực quan của
hình học mà các em đã học lâu nay.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

= ( 2; -4 ; 1)
b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đờng thẳng d
1
:
13
2
2
1 zyx
=
+
=

+
c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc với mp(P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d đi qua 2 điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)
*/Số liệu cụ thể tr ớc khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12A
2
( sĩ số 29)
Làm đúng Làm sai
Số h/s không có lời lời giải
Câu a 20 7 2
Câu b 18 6 5
Câu c 18 6 5
Câu d 19 7 3
Kết quả của lớp 12A
5
( sĩ số 36)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai
Số h/s không có lời lời giải

u
( k 0 ) cũng là véc tơ chỉ phơng của d.
2.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
*
n

0
và có giá vuông góc với mặt phẳng (

) thì
n
là véc tơ pháp tuyến của (

)
*
n
là véc tơ pháp tuyến của (

) thì k.
n
( k 0 ) cũng là véc tơ pháp tuyến
của (

)
3. Phơng trình tổng quát của mặt phẳng
* Phơng trình tổng quát của (

) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A
2

) + C(z-z
0
) = 0
* Nếu (

) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phơng
a
=(a
1
;a
2
;a
3
)

b
(b
1
;b
2
;b
3
) thì pháp tuyến của (

) là

n
= [
a
,

) có phơng trình là :
1=++
c
z
b
y
a
x
; (a.b.c

0) (phơng trình mặt phẳng theo đoạn
chắn )
4. Phơng trình của đờng thẳng
Nếu điểm M(x
0
; y
0
; z
0
)

d và véc tơ chỉ phơng của d là
u
(a; b ; c ) thì
* phơng trình tham số của đờng thẳng d là :






A
;z
A
) và điểm B(x
B
; y
B
; z
B
)
- véc tơ
AB
= (x
B
-x
A
; y
B
-y
A
;

z
B
-z
A
)
- Toạ độ trung điểm I của AB là I=
)
2

,
b
]
[
a
,
b
] = ( a
2
.b
3
- a
3
.b
2
; a
3
.b
1
-a
1
.b
3
; a
1
.b
2
- a
2
.b

b
a
b
a
==
- ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là
n
-) Véc tơ Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là
u

Vấn đề 2: Nêu phơng pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác
định véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng ( gọi tắt là chỉ phơng) và toạ độ một điểm
mà đờng thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 sgk
hh12) để viết phơng trình đờng thẳng.
các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phơng của một đờng
thẳng cho trớc .
Hớng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).
Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phơng
u
của đờng thẳng d trong các
trờng hợp sau:
a) d :





=

0
;y
0
;z
0
) và có chỉ phơng
u
= (a; b; c).
Hớng dẫn:
* phơng trình tham số của đờng thẳng d là :





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
;( t là tham số)
* phơng trình chính tắc của d là :
c
zz
b
yy

=
+=
tz
ty
tx
23
1
32
( t là tham số )
phơng trình chính tắc của d là:
2
3
1
1
3
2


=


=
zyx
4
b/ phơng trình tham số của d là:






A,B cho trớc.
Hớng dẫn: - Chỉ phơng của d là
AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B ( Đa bài toán về dạng 2)
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của d trong các
trờng hợp sau:
a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phơng của d là
AB
=(-3; -1; -5)
lấy A(2; 3; 5)

d . phơng trình tham số của d là





=
=
=
tz
ty
tx
55
3
32

+=
=
tz
ty
tx
33
22
1
( t là tham số )
Dạng 4 : Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt
phẳng (

) .
Hớng dẫn: - pháp tuyến

n
của mặt phẳng (

) là chỉ phơng của d

đa bài toán
về dạng 2
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz . Viết phơng trình tham số của d trong các
trờng hợp sau :
a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với (

): x + 2y 3z + 1 = 0
b/ d đi qua gốc toạ độ và vuông góc với (

): 3x - 5y + 2z -2 = 0

b/ Do d

(

) nên chỉ phơng của d là
u
=(3; -5; 2)

phơng trình tham số của d
là





=
=
=
tz
ty
tx
2
5
3
( t là tham số)
c/ Do d

(Oxy) nên chỉ phơng của d là
k
=(0; 0; 1)


=
+=
=
1
3
2
z
ty
x
( t là tham số)
e/ Do d

(Oyz) nên chỉ phơng của d là
i
=(1; 0; 0)

phơng trình tham số của d
là





=
=
+=
1
3
2

2 zyx
=
+
=

c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d



=++
=++
)2(0323
)1(0132
zyx
zyx
d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Lời giải
a/ Do d // d

chỉ phơng của d là
u
= (1; 2; -3)


phơng trình tham số của d là:






43
22
31
( t là tham số)
c/ Ta có
n
1
= (2; 3; -1)

n
2
= (3; -1; 2)
Véc tơ chỉ phơng của d là
u
=[
n
1,

n
2
] = (5; -7 ; -11)
Do d // d

chỉ phơng của d là
u
= (5; -7; -11)


phơng trình tham số của d là:


4
3
2
z
y
tx
( t là tham số)
Dạng 6 : Đờng thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và
(Q)
Hớng dẫn : - Chỉ phơng của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
] ; Đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ1: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x 3y + z -2 = 0.
Lời giải .
Ta có
n
P
= (2; 3; -2);
n
Q
=(1; -3; 1)
Do d //(P) và d//(Q) nên chỉ phơng của d là

Ta có pháp tuyến của (P) là :
n
P
= (3; 2; -4); Pháp tuyến của (Oxy) là
k
=(0; 0; 1)
Do d //(P) và d//(Oxy) nên chỉ phơng của d là
u
= [
n
P
,
k
]= (2; -3; 0)


phơng trình tham số của d là:





=
=
+=
5
31
22
z
ty

+
=
zyx
.
b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với
d:





+=
=
+=
tz
ty
tx
24
2
31
( t là tham số )
Lời giải
a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là
n
P
= (3; -2; 1); chỉ phơng của d là
u
= (2; 3;
4 )
Do d//(P) và d

j
= (0; 1; 0)
- Chỉ phơng của d là
u
= (3; -1; 2 )
Do d//(Oxz) và d

d

chỉ phơng của d là
u
= [
j
,
u
] = (2; 0; -3)


phơng trình tham số của d là:





=
=
+=
tz
y
tx

Đa bài toán về dạng 2.
Ví d ụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d
trong các trờng hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; -3; 4) và vuông góc với d
1
:





+=
+=
=
tz
ty
tx
21
3
32
( t là tham số )
d
2
:
3
3
52
1 +
==
+ zyx

d
2


chỉ phơng của d là
u
=[
u
1
,
u
2
]= (-7; 13; -17)
8


phơng trình tham số của d là:





=
+=
=
tz
ty
tx
174
133

oy

chỉ phơng của d là
u
=[
u
,
j
]= (1; 0; 1)


phơng trình tham số của d là:





+=
=
+=
tz
y
tx
3
2
1
( t là tham số)
Dạng 9 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q), ( (P) và (Q) không song song )
Hớng dẫn : - Xác định pháp tuyến của (P) và (Q) , (

= [
n
P
,
n
Q
] = (4; 1; -5)
Toạ độ điểm M

d thoả mãn hệ



=++
=++
0332
01
zyx
zyx
cho x = 0

y=1 và z = 0

M(0; 1; 0 )

d

phơng trình tham số của d là



d
1
, N

d
2

toạ độ trung điểm I của MN

d
Đa bài toán về dạng 2.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng
d
1
:





=
+=
+=
tz
ty
tx
24
3
32
( t là tham số ) và d

= (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4)

d
1
, N(4; -1; 0)

d
2


toạ độ trung điểm I của MN là
I(3; -2; 2)

d

phơng trình tham số của d là





=
+=
+=
tz
ty
tx
22
2

sao cho IA = IB (tìm đợc hai điểm B
1
và B
2
thoả
mãn)
+ Với điểm B
1


trung điểm I
1
của AB
1


d đi qua I và I
1
+ Với điểm B
2


trung điểm I
2
của AB
2


d đi qua I và I
2

2
3
( t là tham số ).
Lời giải
Phơng trình tham số của d
1
là:





=
+=
+=
'
'1
'21
tz
ty
tx
xét hệ





=+
+=
+=

1
(2; 2; 0) và B
2
(4; -2; -2)
* gọi I
1
là trung điểm của AB
1


I
1
=(
2
3
;
2
1
; 0)

phân giác thứ nhất đi qua I và I
1
.
1
II
=(
2
3
;
2

I
1
=(
2
5
;
2
3
; -1)

phân giác thứ nhất đi qua I và I
2
.
2
II
=(-
2
1
;
2
3
; 0)

chỉ phơng của d là
u
= (-1; -3; 0)

phân giác thứ hai là



1
và d
1
là
u
1
và
u
2
- Chỉ phơng của d là
u
=[
u
1
,
u
2
]
- Viết pt mặt phẳng (P) chứa d và d
1
- Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
- d là giao tuyến của (P) và (Q) ( Đa bài toán về dạng 9 )
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai đờng thẳng chéo nhau:
d
1
:
1
5
3

u
1
=(2; 3; 1); Chỉ phơng của d
2
là :
u
2
= (3; 2; 2)
d là đờng vuông góc chung của d
1
và d
2


Chỉ phơng của d là
u
= [
u
1
,
u
2
] = (4; -1; -5)
Gọi (P) chứa d và d
1


pháp tuyến của (P) là
n
P


(Q)

phơng trình của (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0

8x- 23y +11z-
43=0
Xét hệ



=+
=++
04311238
07
zyx
zyx

Cho y = 1

x =
3
22
và z =
3
2


điểm A(
3

1
và cắt
đờng thẳng d
2
.
11
Phân tích : - do d cắt d
2
tại N

N

d
2
và N

d
- Khi đó
MN
là chỉ phơng của d


MN
.
u
1
= 0

toạ độ điểm N
- Đa bài toán về dạng 3.

3
4
1
1 +
=
+
=
+ zyx
và cắt d
2
:





+=
=
=
tz
ty
x
1
2
3
( t là tham số)
Lời giải:
Ta có: chỉ phơng của d
1
là :

= (-5; 4; -7)

phơng trình tham số của d là :





=
+=
=
tz
ty
tx
73
43
52
( t là tham số)
Dạng 14 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d là hình chiếu của d
1
trên mặt phẳng (P).
Phơng pháp : - Xác định pháp tuyến
n
P
của (P), chỉ phơng
u
1
của d
1
- gọi (Q) là mặt phẳng chứa d

1
là
u
1
= (3; -1; 1); Pháp tuyến của (P) là
n
P
=(2; -3; 1)
Do d là hình chiếu của d
1
trên (P)

d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q)
chứa d
1
và vuông góc với (P).

pháp tuyến của (Q) là
n
Q
=[
u
1
,
n
P
] = (2; -1; -7)

phơng trình của (Q) là : 2( x - 2) (y 1) 7( z - 3) = 0


2
9

A(-
4
31
;-
2
9
; 1)

d
12

phơng trình tham số của d là :









+=
+=
+=
tz
ty
tx

của (P) cùng phơng
MN


toạ độ của M, N
( Đa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
d . biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đ -
ờng thẳng d
1
:





=
+=
+=
tz
ty
tx
21
32
3
và d
2
:



P
= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P)


MN
và
n
P
cùng phơng.

1
32'2
2
13'
1
1' ++
=
+
=
tttttt


t=
4
1
và t=
12
13


phơng trình tham số của d là :









+=
+=
+=
tz
ty
tx
2
3
2
4
5
4
11
; ( t là tham số )
Dạng 16 : Viết phơng trình tham số của đờng thẳng d. biết d song song với
hai mặt phẳng (P) và (Q) đồng thời cắt hai đờng thẳng d
1
và d
2
.

n
P
,
n
Q
]
13
- Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d với d
1
và d
2
- Lập
MN
,
MN
//
u


toạ độ của M

phơng trình tham số của d
Ví dụ: Viết phơng trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng
(P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đờng thẳng d
1
:





P
= ( 1; 2; -1)
Pháp tuyến của (Q) là:
n
Q
= (-1; -1; 2)
Do d //(P) và d//(Q)

chỉ phơng của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
]= ( 3; -1; 1)
Giả sử d cắt d
1
tại M

toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t)

d
d cắt d
2
tại N

toạ độ của N là N(3-t; 1+2t; 2-t)


8
;
7
13
;
7
9
)
Vậy phơng trình tham số của d là:









+=
=
+=
tz
ty
tx
7
9
7
13
3
7


): 2x 2y + z - 1 = 0. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và vuông góc với
(

)
( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008)
14
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phơng trình của đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB)
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng
(P): 2x +3y 4z +5 =0 và (Q): 3x + y z +4 = 0. Viết phơng trình tham số của
đờng thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
(Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Lập phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng
d
1
:
1
3
3
3
1
3
=

=
zyx
và d

81
4
trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z 5 = 0.(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm
2009)
Bài 11: Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả
hai đờng thẳng d
1
:





+=
+=
+=
tz
ty
tx
41
52
3
(t

R); d
2
:




d
2
:





=
+=
+=
3
1
21
z
ty
tx
(t

R)
Viết phơng trình đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y 4z =0 và
cắt cả hai đơng thẳng d
1
và d
2
.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007)
Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz. lập phơng trình đơng thẳng d song
song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0
và cắt hai đờng thẳng d

1
4
3
1 +
=
+
=
+ zyx
và cắt đờng thẳng d
2
:





=
=
=
tz
ty
x
9
8
3
(t

R)
(Đề 7 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng

và cắt d
2
.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006)
15
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đờng thẳng
d:





+=
=
+=
tz
ty
tx
41
1
23
, viết phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc
với đờng thẳng d. ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối B năm
2004)
Bài 17: Cho hai đờng thẳng d
1
:




(t

R)
Viết phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi d
1
và d
2
.
Bài 18: Viết phơng trình đờng thẳng d song song , cách đều d
1
, d
2
và thuộc mặt
phẳng chứa hai đờng thẳng d
1
, d
2
.
d
1
:
4
9
1
5
3
2
=



32
; (tham số t

R)
Bài 2 :
3
1
1
4
1
3
=


=

zyx
Bài 3 :





+=
=
+=
tz
ty
tx
32

+=
tz
ty
tx
63
32
21
(tham số t

R)
Bài 6 :





+=
=
+=
tz
ty
tx
2
22
23
(tham số t

R)
Bài 7 :
1






+=
=
+=
tz
ty
tx
57
22
3
(tham số t

R)
Bài 10:









=
=
+=


R)
Bài 12:
4
1
17
2

+
==
zyx

Bài 13 :





=
=
+=
tz
ty
tx
42
3
82
(tham số t

R)

2
2
3
4


=
+
=
+ zyx

Bài 17 : có hai phân giác là :





=
=
=
tz
y
tx
1
(t

R ) và




Kiểm nghiệm
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là
một thành công của ngời giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em
học sinh lớp 12A
2
, 12A
5
, 12A
6
làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các
bài toán viết phơng trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả rất khả
quan, cụ thể nh sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Lớp 12A
2

18% 48%
30%
4%
Lớp 12A
5

17% 56% 25% 2%
Lớp 12A
6

13% 40% 37% 10%
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa các em học sinh trớc và sau khi học thc hiện
đề tài. Nh vậy chắc chắn phơng pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em
17