A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bài toán viết phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó
trong chương trình lớp 12, để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến
thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải, nhẹ nhàng, lôgíc và hấp dẫn người học. Là
dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phương pháp toạ độ không gian ở các đề
thi tốt nghiệp THPT và thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở Trường THPT Thường Xuân 2- một trường miền núi
vùng đặc biệt khó khăn- tôi thấy nhìn chung đối tượng học sinh ở mức trung bình
yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em gặp nhiều khó khăn để có thể định hướng
được cách giải quyết bài toán; các em dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này.
Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán viết
phương trình đường thẳng trong không gian, phân loại những bài toán điển hình
mang tính khái quát đồng thời đề xuất hướng giải quyết các bài toán dạng này có
vai trò quan trọng trong việc hình thành cho học sinh những phương pháp và kĩ
năng giải toán, giúp các em có được những định hướng rõ ràng hơn, tiếp cận một
cách đơn giản- dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành lối tư duy giải
quyết vấn đề khi đứng trước những bài toán dạng này, nhất là học sinh “vùng
khó”.
Từ thực tế trên cùng với mong muốn tổng hợp được một tài liệu để đồng
nghiệp có thể áp dụng được trong quá trình giảng dạy, học sinh có thể áp dụng
được trong quá trình tự học, tôi đã đúc rút kinh nghiệm dạy học của bản thân và
đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “ một số bài toán viết phương trình đường thẳng
trong không gian"
1
B. GIẢI QUYẾT VẤN DỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề
Bài toán viết phương trình đường thẳng là dạng toán hay và không quá khó
trong chương trình lớp 12.
Cùng với phương pháp tọa độ, học sinh đã có cái nhìn khác về hình học;
thấy được mối liên hệ giữa hình học và giải tích,thoát được lối tư duy trực quan

u
= ( 2; -4 ; 1)
b/ d đi qua điểm N(2; -1; 3) và song song với đường thẳng d
1
:
13
2
2
1 zyx
=
+
=
−
+
c/ d đi qua M(2; -1; 3) và vuông góc với mp(P): x + 2y - 3z + 1 = 0
d/ d đi qua 2 điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1)
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài
Kết quả của lớp 12A
2
( sĩ số 29)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời lời giải
Câu a 20 7 2
Câu b 18 6 5
Câu c 18 6 5
2
Câu d 19 7 3
Kết quả của lớp 12A
5
( sĩ số 36)
Số h/s làm đúng Số h/s làm sai Số h/s không có lời lời giải

2.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
*
n

0≠
và có giá vuông góc với mặt phẳng (
α
) thì
n
là véc tơ pháp tuyến của
(
α
)
*
n
là véc tơ pháp tuyến của (
α
) thì k.
n
( k ≠ 0 ) cũng là véc tơ pháp tuyến
của (
α
)
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
* Phương trình tổng quát của (
α
) có dạng Ax + By + Cz + D = 0
( A
2
+ B

) + C(z-z
0
) = 0
* Nếu (
α
) chứa hay song song với giá của hai véc tơ khác phương
a
=(a
1
;a
2
;a
3
)

b
(b
1
;b
2
;b
3
) thì pháp tuyến của (
α
) là

n
= [
a
,

(
α
) có phương trình là :
1=++
c
z
b
y
a
x
; (a.b.c
≠
0) (phương trình mặt phẳng theo
đoạn chắn )
4. Phương trình của đường thẳng
Nếu điểm M(x
0
; y
0
; z
0
)
∈
d và véc tơ chỉ phương của d là
u
(a; b ; c ) thì
* phương trình tham số của đường thẳng d là :




A
;y
A
;z
A
) và điểm B(x
B
; y
B
; z
B
)
- véc tơ
AB
= (x
B
-x
A
; y
B
-y
A
;

z
B
-z
A
)
- Toạ độ trung điểm I của AB là I=

là một véc tơ ký hiệu là [
a
,
b
]
[
a
,
b
] = ( a
2
.b
3
- a
3
.b
2
; a
3
.b
1
-a
1
.b
3
; a
1
.b
2
- a

a
b
a
b
a
==
- ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ký hiệu là
n
-) Véc tơ Chỉ phương của đường thẳng ký hiệu là
u

Vấn đề 2: Nêu phương pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phương đường thẳng d thì phương pháp chung nhất là đi
xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng ( gọi tắt là chỉ phương) và toạ độ
một điểm mà đường thẳng đi qua sau đó dựa vào công thức của định nghĩa
( trang 83 sgk hh12) để viết phương trình đường thẳng.
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Xác định toạ độ một điểm và toạ độ véc tơ chỉ phương của một
đường thẳng cho trước .
Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12).
Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M và véc tơ chỉ phương
u
của đường thẳng d trong
các trường hợp sau:
a) d :






Dạng 2 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường
thẳng d biết d đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và có chỉ phương
u
= (a; b; c).
Hướng dẫn:
* phương trình tham số của đường thẳng d là :





+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
;( t là tham số)
* phương trình chính tắc của d là :
c
zz


−=
−=
+=
tz
ty
tx
23
1
32
( t là tham số )
phương trình chính tắc của d là:
2
3
1
1
3
2
−
−
=
−
−
=
− zyx
b/ phương trình tham số của d là:





Dạng 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm
A,B cho trước.
Hướng dẫn: - Chỉ phương của d là
AB
- Chọn điểm đi qua là A hoặc B ( Đưa bài toán về dạng 2)
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của d trong
các trường hợp sau:
a/ d đi qua A(2; 3; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-2; 1; 3) và N (1; 1; -1)
c/ d đi qua M(-1; 2; 3) và gốc toạ độ
5
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên chỉ phương của d là
AB
=(-3; -1; -5)
lấy A(2; 3; 5)
∈
d . phương trình tham số của d là





−=
−=
−=
tz
ty
tx
55


+=
+=
−−=
tz
ty
tx
33
22
1
( t là tham số )
Dạng 4 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với
mặt phẳng (
α
) .
Hướng dẫn: - pháp tuyến
α
n
của mặt phẳng (
α
) là chỉ phương của d
⇒
đưa bài
toán về dạng 2
Ví dụ : Trong không gian với hệ Oxyz . Viết phương trình tham số của d trong
các trường hợp sau :
a/ d đi qua M(2; 3; 1) và vuông góc với (
α
): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua gốc toạ độ và vuông góc với (

( t là tham số)
b/ Do d
⊥
(
α
) nên chỉ phương của d là
u
=(3; -5; 2)
⇒
phương trình tham số của
d là





=
−=
=
tz
ty
tx
2
5
3
( t là tham số)
c/ Do d
⊥
(Oxy) nên chỉ phương của d là
k




=
+−=
=
1
3
2
z
ty
x
( t là tham số)
e/ Do d
⊥
(Oyz) nên chỉ phương của d là
i
=(1; 0; 0)
⇒
phương trình tham số của
d là





=
−=
+=
1

1
3
2 zyx
=
+
=
−
c/ d đi qua điểm M(0; 2; 1) và song song với d’



=++−
=+−+
)2(0323
)1(0132
zyx
zyx
d/ d đi qua điểm M(2; 3; 4) và song song với trục ox.
Lời giải
a/ Do d // d’
⇒
chỉ phương của d là
u
= (1; 2; -3)

⇒
phương trình tham số của d là:




tx
43
22
31
( t là tham số)
c/ Ta có
n
1
= (2; 3; -1)

n
2
= (3; -1; 2)
Véc tơ chỉ phương của d’ là
u
’=[
n
1,

n
2
] = (5; -7 ; -11)
Do d // d’
⇒
chỉ phương của d là
u
= (5; -7; -11)

⇒
phương trình tham số của d là:

=
+=
4
3
2
z
y
tx
( t là tham số)
Dạng 6 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng (P) và
(Q)
Hướng dẫn : - Chỉ phương của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
] ; Đưa bài toán về dạng 2.
Ví dụ1: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của d biết d đi
qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng:
(P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.
Lời giải .
Ta có
n
P
= (2; 3; -2);
n
Q

phẳng (Oxy)
Lời giải .
Ta có pháp tuyến của (P) là :
n
P
= (3; 2; -4); Pháp tuyến của (Oxy) là
k
=(0; 0; 1)
Do d //(P) và d//(Oxy) nên chỉ phương của d là
u
= [
n
P
,
k
]= (2; -3; 0)

⇒
phương trình tham số của d là:





=
−=
+−=
5
31
22

=
+
=
− zyx
.
b/ d đi qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với
d’:





+=
−=
+=
tz
ty
tx
24
2
31
( t là tham số )
Lời giải
8
a/ Ta có : - Pháp tuyến của (P) là
n
P
= (3; -2; 1); chỉ phương của d’ là
u
’= (2; 3;

( t là tham số)
b/ Ta có : - Pháp tuyến của (Oxz) là
j
= (0; 1; 0)
- Chỉ phương của d’ là
u
’= (3; -1; 2 )
Do d//(Oxz) và d
⊥
d’
⇒
chỉ phương của d là
u
= [
j
,
u
’] = (2; 0; -3)

⇒
phương trình tham số của d là:





−=
=
+−=
tz

2
]
Đưa bài toán về dạng 2.
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; -3; 4) và vuông góc với d
1
:





+−=
+=
−=
tz
ty
tx
21
3
32
( t là tham số )
d
2
:
3
3
52
1 +

và d
⊥
d
2

⇒
chỉ phương của d là
u
=[
u
1
,
u
2
]= (-7; 13; -17)

⇒
phương trình tham số của d là:





−=
+−=
−=
tz
ty
tx
174

d’ và d
⊥
oy
⇒
chỉ phương của d là
u
=[
u
’,
j
]= (1; 0; 1)

⇒
phương trình tham số của d là:





+=
=
+=
tz
y
tx
3
2
1
( t là tham số)
Dạng 9 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai

Chỉ phương của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
] = (4; 1; -5)
Toạ độ điểm M
∈
d thoả mãn hệ



=++−
=−++
0332
01
zyx
zyx
cho x = 0
⇒
y=1 và z = 0
⇒
M(0; 1; 0 )
∈
d
⇒
phương trình tham số của d là

2
- Xác định toạ độ điểm M
∈
d
1
, N
∈
d
2
⇒
toạ độ trung điểm I của MN
∈
d
Đưa bài toán về dạng 2.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d
1
:





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
24

chỉ phương của d là
u
= (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4)
∈
d
1
, N(4; -1; 0)
∈
d
2

⇒
toạ độ trung điểm I của MN là
I(3; -2; 2)
∈
d
10
⇒
phương trình tham số của d là





−=
+−=
+=
tz
ty

∈
d
2
sao cho IA = IB (tìm được hai điểm B
1
và B
2
thoả
mãn)
+ Với điểm B
1

⇒
trung điểm I
1
của AB
1

⇒
d đi qua I và I
1
+ Với điểm B
2

⇒
trung điểm I
2
của AB
2


ty
tx
1
2
3
( t là tham số ).
Lời giải
Phương trình tham số của d
1
là:





−=
+−=
+=
'
'1
'21
tz
ty
tx
xét hệ






⇒
t = 1 hoặc t = -1.
Vậy có hai điểm B thoả mãn là B
1
(2; 2; 0) và B
2
(4; -2; -2)
* gọi I
1
là trung điểm của AB
1

⇒
I
1
=(
2
3
;
2
1
; 0)
⇒
phân giác thứ nhất đi qua I và I
1
.
1
II
=(
2

2

⇒
I
1
=(
2
5
;
2
3−
; -1)
⇒
phân giác thứ nhất đi qua I và I
2
.
2
II
=(-
2
1
;
2
3−
; 0)
⇒
chỉ phương của d là
u
= (-1; -3; 0)
⇒

Hướng dẫn :
- Xác định chỉ phương của d
1
và d
1
là
u
1
và
u
2
- Chỉ phương của d là
u
=[
u
1
,
u
2
]
- Viết pt mặt phẳng (P) chứa d và d
1
- Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
- d là giao tuyến của (P) và (Q) ( Đưa bài toán về dạng 9 )
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau:
d
1
:
1

1
là:
u
1
=(2; 3; 1); Chỉ phương của d
2
là :
u
2
= (3; 2; 2)
d là đường vuông góc chung của d
1
và d
2

⇒
Chỉ phương của d là
u
= [
u
1
,
u
2
] = (4; -1; -5)
Gọi (P) chứa d và d
1

⇒
pháp tuyến của (P) là

]=(8; -23; 11)
Điểm N(2; -1; -1)
∈
(Q)
⇒
phương trình của (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0
⇔
8x- 23y +11z-
43=0
Xét hệ



=−+−
=+−+−
04311238
07
zyx
zyx

Cho y = 1
⇒
x =
3
22
và z =
3
2

⇒

22
( t là tham số )
Dạng 13 : Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc với đường thẳng d
1
và
cắt đường thẳng d
2
.
Phân tích : - do d cắt d
2
tại N
⇒
N
∈
d
2
và N
∈
d
- Khi đó
MN
là chỉ phương của d
⇒

MN
.
u
1
= 0
⇒

1
2
3
4
1
1 +
=
+
=
+ zyx
và cắt d
2
:





+=
−=
−=
tz
ty
x
1
2
3
( t là tham
số)
Lời giải:

t = -5
⇒
MN
= (-5; 4; -7)
⇒
phương trình tham số của d là :





−=
+=
−=
tz
ty
tx
73
43
52
( t là tham số)
Dạng 14 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d
1
trên mặt phẳng (P).
Phương pháp : - Xác định pháp tuyến
n
P
của (P), chỉ phương
u
1

d
1
Chỉ phương của d
1
là
u
1
= (3; -1; 1); Pháp tuyến của (P) là
n
P
=(2; -3; 1)
13
Do d là hình chiếu của d
1
trên (P)
⇒
d là giao tuyến của (P) và mặt phẳng (Q)
chứa d
1
và vuông góc với (P).
⇒
pháp tuyến của (Q) là
n
Q
=[
u
1
,
n
P

x= -
4
31
và y = -
2
9
⇒
A(-
4
31
;-
2
9
; 1)
∈
d
⇒
phương trình tham số của d là :









+=
+−=
+−=

pháp tuyến
n
P
của (P) cùng phương
MN

⇒
toạ độ của M,
N ( Đưa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong không gian với hệ Oxyz .Viết phương trình tham số của đường
thẳng d . biết d vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả
hai đường thẳng d
1
:





−=
+=
+=
tz
ty
tx
21
32
3
và d
2

=( -t’ - t - 1; t’ - 3t +1; 2t’ +2t +3)
Pháp tuyến của (P) là
n
P
= (1; 2; 1)
Do d vuông góc với (P)
⇒

MN
và
n
P

cùng phương.
⇒
1
32'2
2
13'
1
1' ++
=
+−
=
−−− tttttt

⇒
t=
4
1−

chỉ phương của d là
u
=(1; 2; 1)
14
⇒
phương trình tham số của d là :









+=
+=
+=
tz
ty
tx
2
3
2
4
5
4
11
; ( t là tham số )
Dạng 16 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d. biết d song song với

n
Q
- Xác định chỉ phương của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
]
- Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N của d với d
1
và d
2
- Lập
MN
,
MN
//
u

⇒
toạ độ của M
⇒
phương trình tham số của d
Ví dụ: Viết phương trình tham số của d biết d song song với hai mặt phẳng
(P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng d
1
:

tx
Lời giải
Ta có: pháp tuyến của (P) là:
n
P
= ( 1; 2; -1)
Pháp tuyến của (Q) là:
n
Q
= (-1; -1; 2)
Do d //(P) và d//(Q)
⇒
chỉ phương của d là
u
= [
n
P
,
n
Q
]= ( 3; -1; 1)
Giả sử d cắt d
1
tại M
⇒
toạ độ của M là M(1+t; 2-t; 1+2t)
∈
d
d cắt d
2


⇒
M(
7
8
;
7
13
;
7
9
)
15
Vậy phương trình tham số của d là:









+=
−=
+=
tz
ty
tx
7

α
)
( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008)
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng
(
α
): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc
với (
α
)
( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008)
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2;
4). Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB
và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007)
Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng
(P): 2x +3y – 4z +5 =0 và (Q): 3x + y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của
đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).
(Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009)
Bài 9: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng
d
1
:
1
3
3
3
1
3 −
=

−−=
tz
ty
tx
3
81
4
trên mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – 5 = 0.(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm
2009)
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt
cả hai đường thẳng d
1
:





+−=
+=
+=
tz
ty
tx
41
52
3
(t
∈
R); d

=
−
−
=
zyx
d
2
:





=
+=
+−=
3
1
21
z
ty
tx
(t
∈
R)
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và
cắt cả hai đương thẳng d
1
và d
2

đường thẳng d
1
:
1
2
1
4
3
1 +
=
+
=
+ zyx
và cắt đường thẳng d
2
:





−=
−=
−=
tz
ty
x
9
8
3

=
−
− zyx
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006)
Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường
thẳng d:





+−=
−=
+−=
tz
ty
tx
41
1
23
, viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và
vuông góc với đường thẳng d. ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
khối B năm 2004)
17
Bài 17: Cho hai đường thẳng d

1
'22
z
y
tx
(t’
∈
R)
Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d
1
và d
2
.
Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d
1
, d
2
và thuộc
mặt phẳng chứa hai đường thẳng d
1
, d
2
.
d
1
:
4
9
1
5

=
tz
ty
tx
21
32
; (tham số t
∈
R)
Bài 2 :
3
1
1
4
1
3 −
=
−
−
=
−
− zyx
Bài 3 :





+=
=




+=
−=
+=
tz
ty
tx
63
32
21
(tham số t
∈
R)
Bài 6 :





+−=
−−=
+=
tz
ty
tx
2
22
23

(tham số t
∈
R)
Bài 9 : d :





+=
−−=
+=
tz
ty
tx
57
22
3
(tham số t
∈
R)
18
Bài 10:








x
1
3
2
(tham số t
∈
R)
Bài 12:
4
1
17
2
−
+
==
− zyx

Bài 13 :





−=
−=
+−=
tz
ty
tx
42

− zyx

Bài 16 :
1
4
2
2
3
4
−
−
=
+
=
+ zyx

Bài 17 : có hai phân giác là :





=
=
−=
tz
y
tx
1
(t

1
31
(tham số t
∈
R)
KIỂM NGHIỆM
Là dạng toán hay các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi
là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các
em học sinh lớp 12A
2
, 12A
5
, 12A
6
làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là
các bài toán viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả rất
khả quan, cụ thể như sau:
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Lớp 12A
2
18% 48% 30% 4%
Lớp 12A
5
17% 56% 25% 2%
Lớp 12A
6
13% 40% 37% 10%
Rõ ràng là đã có sự khác biệt giữa các em học sinh trước và sau khi học thực hiện
đề tài. Như vậy chắc chắn phương pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em
phân loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bày bài giúp