BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ HIỀN RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CHO HỌC SINH THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, NĂM 2014



SƠN LA, NĂM 2014 LỜI CẢM ƠN

Đề tài của em hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của Thạc sĩ Doãn Mai Hoa
- giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại Học Tây Bắc. Đồng thời, em
cũng nhận được rất nhiều sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, Ban chủ
nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, Phòng khoa học công nghệ và hợp tác Quốc tế,
Trung tâm thông tin thư viện, các thầy cô giáo trong trường THPT Phan Đình
Giót (Thành phố Điện Biên), các em học sinh lớp
12
12C , 12C
trường THPH
Phan Đình Giót, cùng các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán - Lý.
Nhân dịp này, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy
cô giáo, các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ chúng em trong quá trình hoàn
thành đề tài.
Với đề tài này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện
Sinh viên: Nguyễn Thị Hiền CÁC CHỮ VIẾT TẮT


STT
Số thứ tự
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………….1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………………………1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………………… 1
5. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… 2
6. Cấu trúc của đề tài…………………………………………………………….2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………… 3
1.1. Phương pháp dạy học……………………………………………………….3
1.2. Kĩ năng – Kĩ năng giải bài tập toán…………………………………………3
1.2.1 Các mức độ của kĩ năng………………………………………………… 3
1.2.2. Các giai đoạn hình thành kĩ năng giải bài tập toán học………………… 4
1.2.3. Con đường hình thành kĩ năng giải bài tập……………………………….4
1.3. Vai trò của bài tập toán học…………………………………………………5
1.4. Vị trí chức năng của bài tập toán học……………………………………….5
1.5. Định nghĩa GTLN – GTNN……………………………………………… 6
1.6. GTLN – GTNN trong chương trình THPT…………………………………7
1.7. Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN………………………………… 7
1.8. Thực trạng của việc dạy và học GTLN – GTNN của học sinh THPT…… 9
1.8.1. Điều tra đối với giáo viên……………………………………………… 10
1.8.2. Điều tra đối với học sinh……………………………………………… 10
1.9. Đề xuất nâng cao chất lượng dạy của giáo viên, chất lượng học của học
sinh…………………………………………………………………………… 12

phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức,
kĩ năng cho con người.
Toán học, một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như đối với các
ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết
các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Các bài toán về GTLN – GTNN là một trong những mảng kiến thức hay và
khó nhưng lại có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh.
Bài toán GTLN – GTNN rất đa dạng và phong phú, để giải được chúng đòi
hỏi phải nắm vững được công thức đạo hàm, các bất đẳng thức, công thức lượng
giác… điều quan trọng là phải có kĩ năng sử dụng các phương pháp để tìm
GTLN – GTNN.
Rèn luyện kĩ năng giải bài toán GTLN – GTNN vừa là mục đích, vừa là
phương tiện làm cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ
năng suy luận toán học, tính toán, toán học hóa các tình huống thực tế và rèn
luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo, cẩn thận chính xác…
góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh.
Xuất phát từ lý do trên tôi lựa chọn đề tài: “ Rèn luyện một số kĩ năng giải
bài toán tìm GTLN – GTNN cho học sinh THPT” nhằm đề xuất một vài suy
nghĩ về việc nâng cao chất lượng dạy học GTLN – GTNN ở trường THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cấu trúc rèn luyện kỹ năng giải bài toán GTLN – GTNN cho
học sinh THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học giải bài toán GTLN –
GTNN.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.

2
- Nghiên cứu các kĩ năng cần thiết trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải bài
tập GTLN – GTNN.

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp thường được hiểu là con đường, là cách thức để đạt những
mục tiêu nhất định.
Phương pháp dạy học là những hình thức và cách thức hoạt động của giáo
viên và học sinh trong những điều kiện dạy học xác định nhằm đạt mục đích dạy
học. Phương pháp dạy học là những hình thức và cách thức, thông qua đó và
bằng cách đó giáo viên và học sinh lĩnh hội những hiện thực tự nhiên và xã hội
xung quanh trong những điều kiện học tập cụ thể.
1.2. Kĩ năng – Kĩ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kĩ năng giải bài tập toán học của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng
có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Một số học sinh có kĩ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán từ
đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách lôgic, chính xác
trong một thời gian nhất định.
1.2.1. Các mức độ của kĩ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản.
- Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán tổng hợp.
Trong mỗi nhóm lại có ba trình độ khác nhau:
Biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài bập toán cơ bản nào đó
tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài mẫu
nhưng chưa có biến đổi.
Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo
khác lời giải mẫu do biết tận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.

mẫu. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác
qua một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán học theo

5
sơ đồ định hướng là rất quan trọng, giúp vèn luyện từng thao tác giải từng loại
bài tập toán học cụ thể. Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi
những điều kiện và yêu cầu cảu bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp.
Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các kỹ
năng bậc cao.
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau: Ngoài
bài tập để có thể có nhiều hình thức rèn kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng
viết, giải bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh
thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiên để học sinh rèn luyện kỹ năng trong
tiết học, trong hoạt động học ở nhà.
1.3. Vai trò của bài tập toán học
Trong dạy học toán học, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những
dụng ý khác nhau: Có thể dùng để đào tạo tiền để xuất phát, để gợi động cơ. Ở
thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những
chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục) những chức năng
này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học như giúp học sinh nắm
vững, củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực trí tuệ, bồi
dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức
của ngườu lao động mới. Vì vậy việc dạy học giải bài tập toán cần được quan
tâm đặc biệt.
1.4. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Ta đã biết các bài toán GTLN – GTNN là một dạng của bài tập toán học.
Cho nên để hiểu được vai trò của của việc tìm GTLN – GTNN ta sẽ đi tìm hiểu
về vị trí cũng như chức năng của bài tập toán học.
Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh

mà ta đã trình bày ở trên.
1.5. Định nghĩa GTLN – GTNN
GTLN – GTNN của hàm số:
Cho hàm số
y f(x)
xác định trên tập D
a. Số M được gọi là GTLN của hàm số
y f(x)
trên tập D nếu
f(x) M

với mọi
xD
và tồn tại
0
xD
sao cho
0
f(x ) M7
Kí hiệu
D
M maxf(x)
.
b. Số m được gọi là GTNN của hàm số
y f(x)
trên tập D nếu
f(x) m, x D  

y.

Cho
y 0,


tìm các nghiệm
1 2 n
x ,x x D
.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra GTLN – GTNN của hàm số.
* Nếu f(x) có tập xác định
 
D a,b
thì không cần lập bảng biến thiên
+ Tìm các điểm tới hạn
1 2 n
x ,x x
của f(x) trên
 
a,b

+ Tính
       
1n
f a ,f b ,f x f x

+ Kết luận.


a a a

b b b
  
.
* Các bất đẳng thức lượng giác
+)
 
sinu x 1
với
xD

+)
 
cosu x 1, x D  
, trong đó Dlà tập xác định của u(x).
+)
   
sinu x cosu x 2

+)
22
2tanx 2tanx
sin2x 1
1 tan x 1 tan x
  


+)
22

thì
 
xD
maxf x M

9
2. Nếu
o
ym
thì
 
xD
minf x m



3. Nếu
o
m y M
thì
 
xD
maxf x M


và
 













1.7.5. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa
Bằng phương pháp biến đổi lượng giác (
x sint, x cost, x tant   
) ta
đưa biểu thức và điều kiện của bài toán về dạng lượng giác. Từ đó dựa vào phép
tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải bài toán tìm GTLN – GTNN đã
cho ban đầu.
Các bài toán tìm GTLN – GTNN có thể sử dụng phương pháp lượng giác
hóa thường có các dấu hiệu nhận biết sau đây:
+) Trong biểu thức của đại lượng cần tìm GTLN – GTNN có chứa các đại
lượng dạng
2 2 2
x y ; 1+x 

+) Điều kiện trong bài toán ban đầu có dạng
2 2 2
x y a ,a 0   


20
CĐ
ĐH
Trên
ĐH
G
K
TB
12
6
4
2
0
11
1
3
8
1

Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn GV có tuổi nghề còn rất trẻ. Hầu
hết GV được đào tạo trình độ ĐH chính quy, về chất lượng giảng dạy đa số đạt
loại khá giỏi. Có những GV đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy
giỏi các cấp. Mặc dù chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực cổ vũ và động
viên các thầy cô giáo phấn đấu, nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy. Tuy
nhiên do phần lớn giáo viên mới ra trường, tuổi nghề còn trẻ, còn ít kinh nghiệm
giảng dạy. Nhưng giáo viên trẻ lại tích cực giới thiệu, khuyến khích học sinh
giải GTLN – GTNN theo mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
1.8.2. Điều tra đối với học sinh
Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miền
núi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải bài toán GTLN – GTNN. Dễ chán

8
3
2
Phan Đình
Giót
2
12C

43
27
37
4
2
Nhận xét: Số lượng học sinh dân tộc là bộ phận nhỏ. Đây là một trong số
lớp chọn của trường có tỉ lệ học sinh khá cao.
Qua dự giờ môn toán, kiểm tra viết, trực tiếp chấm bài, kiểm tra vở và trao
đổi trực tiếp với giáo viên tôi thu được kết quả sau:
Bảng 3. Thống kê một số kĩ năng khi giải bài toán tìm GTLN – GTNN:
STT
Kỹ năng cơ bản
Lớp
1
12C

Lớp
2
12C

Thành
thạo

15
8
73
22
5
3
Sử dụng công cụ
đạo hàm
65
20
15
50
40
10
4
Sử dụng bất
đẳng thức
15
50
35
20
40
40
5
Tìm miền giá trị
32
43
25
35
45

2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN
Để rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN cần dựa vào mức độ
và trình độ, kĩ năng giải bài tập toán học cụ thể là:
- Cần rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN ở 6 dạng chính:
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chứa hai biến.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức có từ ba biến số trở
lên.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức lượng giác.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN trong hình học.
- Mỗi loại trên bao gồm nhiều bài toán khác nhau và cần rèn luyện ở ba
mức độ: mức độ biết làm, mức độ thành thạo và mức độ mềm dẻo, linh hoạt,
sáng tạo.
* Một số phương hướng chung để rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm
GTLN – GTNN:
- Tập cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán, phân tích, tổng hợp.
- Tập cho học sinh biết nhìn nhận tình huống, đặt ra nhiều góc độ khác
nhau, giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra.
- Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác
nhau, tìm ra cách giải quyết tối ưu.
- Tập cho học sinh biết vận dụng các thao tác, khái quát hóa, đặc biệt hóa
và tương tự.
- Tập cho học sinh biết hệ thống hóa các kiến thức và phương pháp.
- Biết quan tâm đến các sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra
cách khắc phục. 14
2.2. Rèn luyện một số kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN



     




Tính
   
f 1 4; f 4 14  
;
   
f 0 2; f 2 6
.
Vậy GTLN của hàm số f(x) trên đoạn
 
1;4
là
   
max
f x f 0 2

GTNN của hàm số f(x) trên đoạn
 
1;4
là
   
min
f x f 4 14  
.

3 3 x 0
  
  

Vậy
2
min y khi x 0
3

.

15
* Mức độ thành thạo
Ví dụ 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
2
2
2x x 1
y
x x 1



.
Hướng dẫn:
Để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên ta sử dụng phương pháp miền giá
trị đã nêu ở chương 1.
Lời giải:
Tập xác định
D 
.

(1) có nghiệm x.
+)
y2
phương trình (1) trở thành
3x 3 0 x 1   

Do đó phương trình nhận
y2
(2)
+)
y2
phương trình (1) có nghiệm
    
2
1 y 4 2 y 1 y 0     2
9 6y 3y 0
1 y 3
   
   

Do đó
 
 
y 1;3 , y 2   
phương trình (1) có nghiệm. (3)
Từ (2) và (3)




22
y 0 18 2x 2x 0 18 2x 2x

        

2 2 2
x0
x 0 x 0
x3
x3
18 2x 4x x 3
x3






     

  
  









Tìm GTLN, GTNN của hàm số
F xy 2(x y).  

Hướng dẫn:
Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN, để giải bài toán này trước hết ta đi tìm
điều kiện của m, sau đó xét hàm số F trên đoạn mà m thỏa mãn. Từ đó tìm ra
được GTLN, GTNN của hàm số nhờ vào bảng biến thiên.
Lời giải:
Đặt
S xy, P x y  
theo định lý Vi-ét ta có
2 2 2
S m S m
S 2P m 6 P m 3




     


Suy ra, (x; y) là nghiệm của phương trình
2
t St p 0  17
Hay


-4 Từ bảng biến thiên ta có
 
 
2;2
2;2
maxF 5; minF 4


  
.
Ví dụ 2. Tìm GTNN của hàm số
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7       

Hướng dẫn:
Ta thấy hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, nên để tìm GTNN của hàm số
này ta sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối cơ bản để giải.
Lời giải:
Xét
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7       

Và
 
1
f x x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 4             

 

 
x 3;5 .18
Ví dụ 3. Tìm a và b sao cho hàm số

2
ax b
y
x1




đạt GTNN bằng -1; GTLN bằng 4.
Hướng dẫn:
Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa. Từ đó tìm
được GTLN, GTNN của hàm số theo a và b, dựa vào giả thiết của bài toán tìm
ra được a và b.
Lời giải:
Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng
2
1x
cho nên
ta có thể lượng giác hóa bằng cách đặt
x tan

Khi đó, hàm số y trở thành
2

2
22
b1
b3
a b 4
22
31
b1
a 9 4 ( )
a b 1
22
22


  





   

   




Giải (*) ta được,
22
3 1 1 5