BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BÙI THỊ NHẦN RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG
GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây
Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo,
Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin. Phòng KH&QHQT, Trung tâm thư viện
trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Đông Thụy Anh
(Thái Thụy - Thái Bình), các em học sinh lớp 12A1, 12A2 (Trường THPT Đông
Thụy Anh) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo,
các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Với khóa luận này em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện hơn.
Em chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Bùi Thị Nhần

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
2.1. Mục đích nghiên cứu 1
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
3.1. Đối tượng nghiên cứu 2

2.2.3. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : 22
2.2.4. Hệ phương trình đối xứng loại 2 26
2.2.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 30
2.2.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai 34
2.2.7. Hệ phương trình mũ 37
2.2.8. Hệ phương trình lôgarit 40
2.2.9. Hệ phương trình mũ và lôgarit 42
2.2.10. Hệ phương trình chứa căn thức 45
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 48
3.1. Mục đích thực nghiệm 48
3.2. Phương pháp thực nghiệm 48
3.3. Nội dung thực nghiệm 48
3.4. Đối tượng thực nghiệm 48
3.5. Tổ chức thực nghiệm 48
3.6. Kết quả thực nghiệm 48
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm 49
KẾT LUẬN 50
TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Trong giai đoạn hiện nay khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy
vọt, việc đào tạo con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng
tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kỹ thuật của đất nước.
Toán học - một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như đối
với các ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào
hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Hệ phương trình là một trong những nội dung của chương trình toán phổ
thông, nó rất đa dạng và phong phú, để giải được chúng đòi hỏi học sinh phải

4. Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích tài liệu có liên quan.
4.2. Phương pháp điều tra, quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học
sinh ở một số trường THPT.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất.
5. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo, kết luận
thì khóa luận gồm có ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh
THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp là con đường, là cách thức để chủ thể thực hiện một hoạt
động nào đó nhằm đạt được mục tiêu nhất định.
Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động của thầy và trò trong mối
liên hệ qua lại, thầy giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, chỉ đạo, hướng dẫn, tổ chức
các hoạt động học tập của trò một cách tự giác, tích cực, độc lập, chủ động, sáng
tạo nhằm đạt các mục tiêu dạy học đề ra.

như bài tập mẫu.
+ Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn,
độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.
1.2.3. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong
các bài tập.
Việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng
đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
1) Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình phổ thông.
2) Giúp học sinh phát triển các kỹ năng trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,
gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như: Tính toán, biến đổi, vẽ hình,
vẽ đồ thị.

5
4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.2.3.1. Hình thành kỹ năng cơ bản qua hướng dẫn giải bài tập mẫu
Để có được những kỹ năng, điều quan trọng là thực hiện các thao tác, đã
là thao tác phải tập dượt theo một mẫu nào đó. Do vậy việc hướng dẫn học sinh
làm một dạng bài tập nào đó theo mẫu ban đầu là rất cần thiết.

vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác.
b. Vai trò
Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và công nghệ hiện
đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp
học sinh hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực.
Các - Mác nói: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử
dụng được phương pháp của toán học”.
Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ
như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa
Rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo
c. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố, hệ
thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Là một hình thức vận dụng kiến thức
đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới. Là hình
thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng
vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho
học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người học
sinh về nhiều mặt.
1.4. Nội dung hệ phƣơng trình trong chƣơng trình toán THPT
1.4.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Dạng tổng quát:
1 1 1
ax by c
a x b y c





+ Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
Cách 3: Sử dụng phƣơng pháp tính định thức
+ Bước 1: Tính
11
11
ab
D ab a b
ab
  x 1 1
11
cb
D cb c b
cb
  y 1 1
11
ac
D ac a c
ac
  

+ Bước 2: Xét các trường hợp:
 Nếu
D0
thì hệ đã cho có nghiệm (x,y) duy nhất với:





thì hệ đã cho vô nghiệm.

8
+ Nếu
xy
D D 0
thì hệ đã cho có vô số nghiệm (x,y) với:

x
c ax
y
b








hoặc
y
c by
x
a



=

1
a=

1
b=

1
c=

Thì trên màn hình hiện ra:
x 

Ấn tiếp phím “=” ta thấy màn hình hiện ra:
y 

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng
của hệ phương trình là:
x

a b c 0
a b c 0
a b c 0

  

  


  


b. Cách giải:
Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp Gau - Xơ
Dùng phương pháp Gau - Xơ khử dần số ẩn của hệ phương trình đưa hệ
phương trình về dạng tam giác:
1 1 1 1
2 2 2
33
a x b y c z d
b y c z d
c z d
  















+ Bước 6: Giải hệ tam giác vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Cách 2: Sử dụng máy tính CASIO fx - 500 MS
Ta ấn liên tiếp các phím:
MODE

MODE

1

2

1
a=

1
b=


2
d=

3
a=

3
b=

3
c=

3
d=


g(x,y) 0





(I) trong đó:
f(x,y) f(y,x)
g(x,y) g(y,x)






b. Cách giải:
Đặt:
S x y
P xy





khi đó ta đưa hệ (I) về hệ ẩn (S,P) tức là:
f(S,P) 0
g(S,P) 0




ngược lại.
a. Dạng tổng quát:
f(x,y) 0
f(y,x) 0






b. Cách giải:
+ Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế tương ứng hai phương trình của hệ cho
nhau ta được một phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa có.

11
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
1.4.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
a. Dạng tổng quát:
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d

  

  


 
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
x a b t c t d 1
x a b t c t d 2

  



  



Khử x bằng cách chia tương ứng từng vế của phương trình (1) cho
phương trình (2) ta được một phương trình mới chỉ còn ẩn t, giải phương trình
tìm t từ đó tìm được x và y.
+ Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ đã cho.
c. Chú ý: Đối với hệ mà vế trái là các biểu thức đồng bậc đối với x và y, vế phải
cũng là các biểu thức đồng bậc đối với x và y mà bậc của vế trái và vế phải khác
nhau thì ta vẫn giải theo các bước trên.
1.4.6. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
a.Dạng tổng quát:
22
1 1 1 1
ax by c
a x b xy c y d


A
và 12
2
A

1.5.1. Điều tra đối với giáo viên
- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện kỹ năng cho học
sinh thông qua việc dạy học các bài toán về hệ phương trình.
- Đối tƣợng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở
trường THPT Đông Thụy Anh gồm 12 giáo viên.
Nhận xét: Qua bảng điều tra trên, nhìn chung tuổi nghề của các thầy cô
còn trẻ, thiếu nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao và
chất lượng giảng dạy đa số đạt loại khá giỏi, có những giáo viên đạt chất lượng
loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Tuy nhiên do phần lớn giáo
Tên
trường

Số
lượng
GV
Tuổi nghề
Hệ đào tạo
Trình độ chuyên môn
Dưới
14
năm
Từ 5
đến 10
năm
Trên

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện kỹ
năng giải toán của học sinh thông qua một số bài toán về hệ phương trình ở
trường THPT.
- Đối tƣợng điều tra: Học sinh lớp 12 ở hai lớp 12
1
A
(33 HS),
12
2
A
(35HS) thuộc trường THPT Đông Thụy Anh.
- Nội dung điều tra:
Qua bảng điều tra trên ta thấy đa số các em học sinh của trường có
phương pháp học tập truyền thống ít mang lại hứng thú học tập cho học sinh,
phần lớn các em đều biết làm và cũng có kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
Do đó giáo viên cần nắm bắt tình hình học sinh để có thể hướng dẫn kỹ hơn một
số kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh THPT để các em biết và vận dụng
giải các bài toán cụ thể. Lớp
Mức độ
12
1
A

2

2.2. Rèn luyện kỹ năng giải hệ phƣơng trình cơ bản
2.2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Mức độ biết làm:
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
x y 3 (1)
3x 4y 2 (2)






Hướng dẫn giải: Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên có thể sử
dụng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp tính định
thức để giải.
Giải
Cách 1: Dùng phương pháp thế
Từ phương trình (1) rút
x 3 y
thế vào phương trình (2) ta được:
3(3 y) 4y 2  15

9 3y 4y 2   y7


vào phương trình (1) ta được:
x 7 3 x 10   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (10; 7)
Cách 3: Dùng định thức
Ta có:
11
D1
34

  

;
x
31
D 10
24

  

;
y
13
D7
32
  

Ta thấy
D 1 0   
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

Từ phương trình (1) rút
x b 2ay
thế vào phương trình (2) ta được :

16

2
a(b 2ay) (1 a)y b   22
ab 2a y y ay b    22
(1 a 2a )y b ab    2
(1 a 2a )y b(b a)    
(*)
+ Nếu
2
1 a 2a 0  
a1
1
a
2



2
a1
1 a 2a 0
1
a
2



   




thì phương trình (*) có dạng :

0y b(b 1)
và
1
0y b b
2





Khi đó để hệ có nghiệm thì:
b(b 1) 0
1
b b 0








b0

Vậy với
b0
thì hệ đã cho có nghiệm với
a

Cách 2 : Dùng định thức
Ta tính:

22
1 2a
D (1 a) 2a 2a a 1
a (1 a)
       
22
x
2
b 2a
D b(1 a) 2ab 2ab ab b

thì
D0
với
b


Hệ có nghiệm duy nhất với
b

+ Nếu
2
a1
2a a 1 0
1
a
2



    




thì
D0

 Với
a1
ta có:


  
  


   





 Với
1
a
2

ta có:
2
x
2
y
1
D b b
2
1
D b b
2

  







  






   

  
  

















với
x,y
. Do
đó
P0
với
x,y
, từ đó ta giải ví dụ trên như sau: 18
Giải
Ta có:
 
 
2
2
x my 2 0
4x 2 m 2 y 1 0

  


   




(2m 4)y 7  
(*)
+ Nếu
2m 4 0 m 2    
thì phương trình (*)
7
y
2m 4



Thay
7
y
2m 4


vào biểu thức
x 2 my
ta được:
3m 8
x
2m 4




Khi đó: min P = 0 tại (x, y)

17 t 2. 5
17 17 17

    

2
6 49 49
17 t , t
17 17 17

    

19
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
6 6 6
t 0 t x 2y
17 17 17
      

Suy ra:
49
minP
17




  


Hướng dẫn giải : Đối với các hệ phương trình ở dạng này học sinh thường
sử dụng máy tính CASIO để giải, tuy nhiên đối với các hệ mà hệ số của x, y có
chứa tham số thì không thể áp dụng phương pháp trên được. Vì vậy để không
làm mất tính tổng quát ta giải ví dụ trên bằng phương pháp Gau - Xơ đưa hệ đã
cho về hệ tam giác như sau :
Giải
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 rồi trừ phương trình thứ hai
theo từng vế tương ứng ta được:

2x 6y 4z 16
2x 2y z 6
  



  


4y 3z 10

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 rồi trừ phương trình thứ hai
theo từng vế tương ứng ta được: