Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHÚC TÂN VIỆT RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
CHO HỌC SINH LỚP 12 Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. Bùi Văn Nghị THÁI NGUYÊN - 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS. Bùi Văn Nghị đã tận tình
giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và các cán bộ

Khúc Tân Việt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

MỤC LỤC
Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Mục lục iii
Bảng những cụm từ viết tắt trong luận văn iv
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán 4
1.1.1. Kĩ năng 4
1.1.2. Kĩ năng giải toán 5
1.2. Phương pháp dạy học giải bài tập toán học 7
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 7
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán 7
1.2.3. Phương pháp chung để giải bài toán 9
1.3. Thực trạng dạy học “Hệ phương trình” tại một số trường THPT huyện
Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương 11
1.3.1. Nội dung “Hệ phương trình” trong chương trình môn Toán THPT 11
1.3.2. Tìm hiểu thực trạng 11
1.4. Tiểu kết chương 1 13
Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH 14
2.1. Biện pháp chung rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 14
2.2. Phương pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh 15

Viết tắt
Viết đầy đủ
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
KTM
Không thoả mãn
PT
Phương trình
PP
Phương pháp
TM
Thoả mãn
THPT
Trung học phổ thông
VN
Vô nghiệm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, vì giáo
dục nhằm có được nguồn nhân lực để phát triển kinh tế xã hội. Nhiệm vụ và
mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện
về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức
trong tình huống công việc.
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển

3. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương
trình, nếu vận dụng biện pháp rèn luyện những kĩ năng đó như đã đề xuất trong
luận văn thì cho học sinh lớp 12 có kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng
cao được hiệu quả học tập chủ đề này ở trường phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Làm sáng tỏ khái niệm và hệ thống hóa một số vấn đề về rèn luyện kĩ
năng, kĩ năng giải toán.
- Hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình.
- Đề xuất hệ thống bài tập và biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải
hệ phương trình cho học sinh lớp 12.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả
của đề tài.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận
dạy học môn toán; các công trình nghiên cứu có liên quan trực tiếp đến đề tài
nhằm hoàn thành cơ sở lí luận cho đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

5.2. Quan sát, điều tra
- Dự giờ, quan sát để có một số đánh giá về thực trạng việc DH toán ở
trường THPT.
- Xây dựng một số phiếu điều tra và tiến hành điều tra tình hình dạy và
học giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 tại một số trường THPT.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
6. Cấu trúc luận văn

dựa trên cơ sở là tri thức toán học, bao gồm: tri thức sự vật, tri thức giá trị và tri
thức phương pháp.
Chẳng hạn để có kĩ năng giải hệ phương trình, học sinh phải có tri thức về
hệ phương trình. Tri thức đó bao gồm: khái niệm về phương trình, hệ phương
trình, khái niệm về nghiệm của phương trình, hệ phương trình; tri thức về biến
đổi phương trình tương đương, phương trình hệ quả,
Ví dụ như, để có kĩ năng giải hệ
22
33
4
16
x y xy
xy
học sinh cần phải có
kiến thức về nhận dạng và cách giải hệ PT. Đây là hệ PT đối xứng loại 1, cách
giải là đặt
,s x y p xy
.
Tương tự để có kĩ năng giải hệ
3
3
21
21
xy
yx
học sinh cần phải nhận ra đây
là hệ PT đối xứng loại 2, hệ luôn có nghiệm x = y. Ngoài ra học sinh cần phải
biết cách viết đúng nghiệm của hệ.
- Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Để giải toán học sinh cần phải có những kĩ năng chung sau đây:
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ
tìm hướng giải. Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong
những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán có tính chất là một vấn đề.
Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ tường minh hay không tường minh, qua
các yếu tố trong bài toán.
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động
tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán.
+ Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm
khi giải toán: trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là
một thành công của người học toán.
+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người
giải toán.
Chẳng hạn, để giải hệ phương trình
22
44
( ) 78 (1)
97 (2)
x y xy
xy

học sinh cần phải có kĩ năng nhận dạng xem hệ PT trên có dạng nào? Cách
giải hệ đó như thế nào? …
Ta thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1. Cách giải thông thường hệ
này là đặt ẩn phụ theo tổng và tích hai ẩn
x y S
xy P

6
6
xy
xy
xy
xy
hoặc
5
6
xy
xy

Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ; )xy
là
(3;2),(2;3),( 3; 2),( 2; 3)
.
1.2. Phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán học
1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Mục này viết dựa theo tài liệu [10] của Nguyễn Bá Kim.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. HS được thực hiện
những hoạt động học tập thông qua giải bài tập như: nhận dạng, thể hiện định
nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp,
những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 phương diện:
- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá tình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất

yx
xy
có học sinh đã giải
như sau:
Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
2
2
11
11
yx
xx
22
22
2
2
y x x
x y y

0
1
xy
xy

Lời giải này sai vì biến đổi không tương đương.
Hay khi giải hệ phương trình
2
2
2
1 2 1 0
xy

thiếu trường hợp
1x
.
1.2.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
Trong tài liệu [22] , G.Pôlya trình bày về bốn bước giải bài toán, gồm:
Hiểu bài toán; Tìm cách giải; Trình bày; Nhìn lại.
Bước 1: Hiểu bài toán
Phát triển đề bài dưới những hình thức khác nhau (Bằng lời, bằng kí
hiệu ) để hiểu rõ nội dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng
minh. Có thể dùng công thức, để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Trả lời câu hỏi: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Hãy vẽ hình và sử dụng
điều kiện thích hợp? Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn ra
các điều kiện đó thành công thức hay không
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũng tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào có liên quan sử dụng những phương pháp đặc thù với
từng dạng toán.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan
Bước 3: Trình bày
Từ cách giải phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nhìn lại
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

s p p
s p p

Từ (1) rút
2
2
2 78p
s
p
thế vào PT (2) ta được:
2
2
2 4 2
2 78
2 2 97 2 97 6084 0 6
p
p p p p p
p
5s

+ Với
5
6
s
p
ta có
52
63
x y x
xy y

22
2 2 2 2 2
78
(1)
( ) 2 97(2)
xy
xy
x y x y

Thế (1) vào (2) ta được
2 2 4 2 2 2 2 2
( ) 97( ) 12168 0 13x y x y x y

Từ đó ta có hệ
22
5
13
6
6
xy
xy
xy
xy
hoặc
5
6
xy
xy
dạng toán quan trọng hay không? Vì sao?
A. Bình thường
B. Quan trọng
C. Rất quan trọng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Có 4,5% thầy cô chọn đáp án A; 31,8% chọn đáp án B; 63,7% chọn đáp
án C vì: Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng. Thứ 2 giúp
cho HS có kĩ năng giải các bài toán giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển
sinh Đại Học và Cao Đẳng.
+ Trong câu hỏi 2 - Theo thầy cô chỉ rèn luyện kĩ năng giải hệ phương
trình cho HS theo mức độ sách giáo khoa, sách bài tập thì HS có đủ kĩ năng
làm bài thi Đại học không?
A. Chưa đủ
B. Đã đủ
Đa số các thầy cô trả lời là HS không đủ kỹ năng để làm được bài toán
giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học.
+ Trong câu hỏi 3 - Theo thầy cô với số tiết quy định trong chương trình
thì HS của thầy cô đã giải hệ phương trình ở mức độ nào?
A. Chưa biết giải hệ phương trình
B. Chỉ giải được những bài toán đơn giản
C. Giải thành thạo những bài toán kể cả những bài khó trong quá trình học
Đa số các thầy cô trả lời số tiết theo quy định trong chương trình của HS
chỉ giải hệ phương trình ở mức độ biết làm, ít HS làm được bài một cách thành
thạo.
+ Trong câu hỏi 4 - Theo thầy cô những khó khăn nào sau đây được thể
hiện nhiều nhất ở HS?
A. Không biết nhận dạng
B. Không biết cách giải

x y y
x y xy y

Dụng ý của tôi là:
Bài 1 nhằm đánh giá kĩ năng vận dụng giải các hệ cơ bản
Bài 2 nhằm đánh giá kĩ năng tìm ra cách giải hệ không cơ bản, ở mức
trung bình, giải bằng một trong những cách quen thuộc như đặt ẩn phụ, phân
tích thành nhân tử…
Bài 3 nhằm đánh giá khả năng sáng tạo, tìm ra cách giải độc đáo.
Lời giải bài kiểm tra xin xem tại phụ lục 3.
Kết quả sau khi chấm bài như sau:
Bài 1 có 77% học sinh giải được
Bài 2 có 23% học sinh giải được
Bài 3 không có học sinh giải được
Kết quả trên cho thấy kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh nhìn
chung mới đạt ở mức độ cơ bản. Với hệ phương trình đòi hỏi ở mức độ cao hơn
cơ bản một chút thì hầu như học sinh không giải được.
1.4. Tiểu kết chƣơng 1
Chương này trình bày khái niệm về kĩ năng, các tính chất của kĩ năng và
về kĩ năng giải toán. Kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng giải hệ phương trình
nói riêng có vai trò quan trọng trong chương trình môn toán phổ thông.
Tôi đã sử dụng phiếu xin ý kiến từ giáo viên và đánh giá kĩ năng giải hệ
phương trình của học sinh thông qua bài kiểm tra. Kết quả cho thấy hầu như
học sinh mới chỉ có được kĩ năng giải những hệ phương trình cơ bản. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Chƣơng 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHO
HỌC SINH

2.2. Phƣơng pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình cho học sinh
Theo tôi, giáo viên cần rèn luyện cho HS có những kĩ năng để giải được
những hệ phương trình sau, trong chương trình môn Toán THPT:
- Giải hệ phương trình cơ bản
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp khác.
Sau đây tôi trình bày về việc rèn luyện từng kĩ năng cụ thể. Mỗi kĩ năng
được trình bày thông qua những hướng dẫn từ một số ví dụ, sau đó khái quát
chung và cuối cùng là những bài toán cho học sinh tự luyện tập.
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phƣơng trình cơ bản
Trong luận văn này tôi không trình bày những hệ phương trình cơ bản
trong sách giáo khoa, như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn….
Ví dụ 2.2.1.1. Giải hệ phương trình
22
11
30
x y xy
x y xy

Hướng dẫn:
Hệ PT trên đối xứng loại 1, cho nên có thể biến đổi từng PT về tổng và
tích các biến rồi đặt ẩn phụ.
Tóm tắt lời giải:
Hệ PT đã cho tương đương với hệ
11
( ) 30
x y xy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

+ Trường hợp 2.
5
6
s
p
ta có
53
62
x y x
xy y
hoặc
2
3
x
y

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; )xy
là
(5;1),(1;5),(2;3),(3;2)
.
Ví dụ 2.2.1.2. Giải hệ phương trình
22
4 4 2 2
7
21

2
s
p

+ Trường hợp 1.
3
2
s
p
ta có
32
21
x y x
xy y
hoặc
1
2
x
y

+ Trường hợp 2.
3
2
s
p
ta có
32
21
x y x
xy y

xy
yx

+ Trường hợp 1.
xy
thế vào (1) ta được:
2
0
0
1
x
xx
x

Với
0x
ta có
0y

Với
1x
ta có
1y

+ Trường hợp 2.
5yx
thế vào (1) ta được:
2
5 15 0( )x x VN


22
22
3 2 (1)
3 2 (2)
x y y
xy x

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:
( )( 3 ) 0
30
xy
x y x y xy
x y xy

+ Trường hợp 1.
xy
thế vào (1) ta được:
2
2 2 1xx
kết hợp với
điều kiện được
11xy
.
+ Trường hợp 2.
30x y xy
vô nghiệm vì
,0xy

Vậy hệ PT có nghiệm
( ; ) (1;1)xy

nên ta có thể nghĩ đến việc rút cả nhóm x + y.
Tóm tắt lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
3
1xy
x
. Thế vào phương trình (2) ta được
2
2
35
( 1) 1 0
xx
22
9 6 5
1 1 0
x x x
2
46
20
xx
1
2
x
x

+ Với
1x
, ta có
1y


sau đó dùng PP thế.
Hoặc để ý ta sẽ thấy y chỉ nằm trong cụm tích xy nên ta có thể nghĩ đến
phương pháp thế cả cụm xy.
Tóm tắt lời giải:
Ta có hệ PT tương đương với hệ
22
2
( ) 2 9 (1)
2 6 6 (2)
x xy x
x xy x

Từ phương trình (2), ta rút
2
66
2
xx
xy
thế vào phương trình (1), ta được
2
22
66
( ) 2 9
2
xx
xx
, biến đổi thu gọn ta được phương trình:
4 3 2 3
12 48 64 0 ( 12 48) 0x x x x x x x
0 ( )

vế. Khi đó ta có thể thế (2) vào (1) ta thấy xuất hiện nhân tử chung.