Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––

––––––
HOÀNG HỒNG HẠNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i
LỜI CẢM ƠN
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hƣớng
dẫn khoa học PGS.TS.Bùi Văn Nghị đã tận tình hƣớng dẫn, hết lòng giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn
Phƣơng pháp giảng dạy môn Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên,
Đại học Sƣ phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa
Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn
thành luận văn.
Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn;
Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp của Trƣờng THPT Dân tộc Nội trú tỉnh
Lạng Sơn cùng gia đình, bạn bè đã động viên để tác giả đạt đƣợc kết quả
nhƣ ngày hôm nay.
Tác giả luận văn HOÀNG HỒNG HẠNH

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i

giải Toán cho HS 15
1.3.1. Nội dung “Ứng dụng tích phân” 15
1.3.2. Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân 15
1.3.3. Các dạng bài tập của nội dung Ứng dụng tích phân 16
1.3.4. Tình hình dạy học nội dung Ứng dụng tích phân ở trƣờng THPT 16
TÓM TẮT CHƢƠNG 1 17
CHƢƠNG 2. BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN CHO HS LỚP 12 THPT 18
2.1. Biện pháp 1: Biện pháp về Phƣơng pháp dạy học 18
2.1.1. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng 18
2.1.2. Trang bị các tri thức phƣơng pháp cho HS 19
2.1.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập 19
2.2. Biện pháp 2. Trang bị vững chắc kiến thức và rèn luyện vững chắc kĩ
năng cơ bản cho học sinh 21
2.2.1.Khái niệm và công thức tính diện tích hình thang cong 21
2.2.2.Khái niệm và công thức tính thể tích khối tròn xoay 22
2.2.3.Hệ thống bài toán 24
2.2.4. Hệ thống bài toán tham khảo 26
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kĩ năng cho học sinh thông qua hệ thống bài
toán theo mức độ khó dần, phức tạp dần 27
2.3.1. Tính diện tích hình thang cong, là đồ thị của hàm siêu việt 27
2.3.2. Tính diện tích hình phẳng, đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng cong, là đồ thị
của các hàm đa thức, phân thức bậc nhỏ hơn ba 30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv
2.3.3. Tính diện tích hình phẳng, đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng cong, là đồ thị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên vi

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Đvdt : Đơn vị diện tích
Đvtt : Đơn vị thể tích
GV : Giáo viên
HĐ : Hoạt động
HS : Học sinh
NXB : Nhà xuất bản
THPT : Trung học phổ thông
TNSP : Thực nghiệm sƣ phạm
SGK : Sách giáo khoa 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005, phƣơng pháp giáo dục cần

+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng vận dụng Phƣơng pháp tọa độ giải toán
HHKG 12” của Hoàng Thị Phƣơng Thảo, Đại học Quốc gia Hà Nội, năm
2009
Những đề tài trên hoặc là gần gũi với nội dung “Ứng dụng đạo hàm”,
hoặc là rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh nhƣng với những chủ đề
khác. Đề tài mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu về biện pháp rèn luyện kĩ năng
ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT, không trùng lặp với các đề tài
đã đƣợc công bố.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện kĩ năng
ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT.
+ Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Nghiên cứu nội dung dạy học “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT.
- Nghiên cứu và đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích
phân cho học sinh lớp 12 THPT.
- Thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: là quá trình rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích
phân cho học sinh lớp 12 THPT.
- Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng Tích phân trong chƣơng trình Giải tích
lớp 12 THPT.
- Khách thể nghiên cứu: chƣơng trình, nội dung môn Toán THPT.
5. Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trƣờng THPT Dân tộc nội trú tỉnh Lạng Sơn.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6. Vấn đề nghiên cứu

Theo Từ điển Hán Việt của tác giả Phan Văn Các thì “Kĩ năng là khả
năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng đƣợc hiểu
là “sức đã có (về một mặt nào đó) để có thể làm tốt công việc” [3]. Nhƣ vậy,
kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục
đích trong những điều kiện nhất định.
Theo Polya.G “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận thức”.
Khi nói đến kĩ năng là nói đến sự sẵn sàng và năng lực hoàn thành công
việc một cách có ý thức và độc lập với chất lƣợng cần thiết và trong thời gian
tƣơng ứng với những điều kiện mới. “Mỗi kĩ năng bao gồm một hệ thống thao
tác trí tuệ và thực hành thực hiện trọn vẹn hệ thống này sẽ đảm bảo đạt đƣợc
mục đích đã đặt ra” [20].
- Cơ sở tâm lí của kĩ năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa
mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức tiến hành hoạt động ấy .
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ
thuộc tính bản chất, đƣợc thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với
tƣ cách là công cụ của hành động.
- Không phải có tri thức là có kĩ năng tƣơng ứng. “Con đƣờng đi từ chỗ
có tri thức (biết) đến chỗ có kĩ năng tƣơng ứng (biết làm) là con đƣờng luyện
tập” [7]. Nhƣ vậy, tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”
còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
- Rèn luyện kĩ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển
trí tuệ, “Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát
triển trí tuệ”.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Kĩ năng có các tính chất sau:

có điểm phân biệt tƣơng đồng, đều là khả năng của con ngƣời đƣợc hình
thành trên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt
động và quá trình luyện tập, đều là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ
năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt nhƣ sau: Kĩ năng yêu cầu độ linh
hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc.
Kĩ xảo có trƣớc và là tiền đề để có kĩ năng. Kĩ năng có tính ổn định nhƣng
không bền vững nhƣ kĩ xảo. Trong quá trình hoạt động, qua thời gian kĩ năng
có thể đƣợc bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một
hoạt động nào đó có thể mất đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể đƣợc
tái hình thành (thƣờng thì sau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ
năng đó).
- Nhƣ đã nói trên, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó mà tùy theo nội
dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng
tƣơng ứng. Con đƣờng đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất phong phú và nó phụ
thuộc vào nhiều tham số nhƣ kiến thức xác định kĩ năng, mức độ chủ động, tích
cực của HS Con đƣờng tốt nhất và đảm bảo tính sƣ phạm là sự tham gia hoạt
động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
1.1.2.1. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải
các bài tập toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh ).
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Kiến thức,
kĩ năng, phƣơng pháp. HS sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình tập
luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng đƣợc hình thành, phát triển đồng
thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Kĩ năng toán học đƣợc hình thành và phát triển thông qua việc thực
toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hƣớng giải. Đây là
kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng
nhất khi giải một bài toán có tính chất là một vấn đề. Cần làm rõ các thành
phần, mối liên hệ (tƣờng minh hay không tƣờng minh) qua các yếu tố (có
hoặc không có) trong bài toán.
+) Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lƣợc giải, hƣớng giải bài toán: Huy
động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán bao gồm
hai dạng:
- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cực bằng
các thao tác tƣ duy, bằng lao động trí óc và thực hành.
- Dạng 2 là những ý tƣởng chợt lóe sáng tự phát, đƣợc hiểu theo nghĩa
bừng sáng của quá trình tƣ duy sáng tạo, chuyển dịch về những vấn đề quen
thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuật giải đã có
hoặc tìm kiếm thuật giải mới.
+) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai
lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm
là một thành công của ngƣời học toán.
+) Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
ngƣời giải toán.
Ngoài ra, HS cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
*) Nhóm kĩ năng thực hành:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này đƣợc
rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần chú ý kĩ năng
chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến
thức (một thành phần của tƣ duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và
ngƣợc chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tƣởng
ngƣợc diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận.
9

+) Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ kiện trong bài toán, khái quát các
dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấu lại
đề toán, định hƣớng tiến trình giải toán.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên +) Kĩ năng phân tích: Biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài
toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm
trong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến
lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
+) Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành động
chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng nhƣ các
phƣơng pháp toán học sử dụng trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết
để giải một bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên môn khác.
+) Kĩ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin
từ nội dung bài toán. Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin
trong hoạt động giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm
có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán.
1.1.2.3. Cơ sở khoa học của việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
+) Cơ sở tâm lý giáo dục: Quá trình học đƣợc tiến hành bằng sự kết
hợp giữa hoạt động dạy của thầy và các hoạt động học của trò, do đó các biện
pháp sƣ phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động và hoạt động học của
HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng. Nhân cách của HS
trong đó có kết quả học tập chính là chất lƣợng sản phẩm mà nhà trƣờng đào
tạo cho xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung
vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học
tập của HS nhƣ kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt
động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Theo Lê Văn Hồng “Cơ sở tâm lí của kĩ
năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điền
Kiến thức chuẩn SGK
Hoàn thiện quy trình
giải dạng toán
Kĩ năng
Hệ thống các bài toán
cơ bản
Quy trình giải (Thuật
toán, quy tắc)
Các bài tập áp dụng và
nâng cao
Khái quát hoá HĐ chọn
phƣơng pháp tối ƣu
(Hoàn thiện quy trình
)giải)
HS thực hành, luyện tập
(áp dụng phƣơng pháp)
GV hƣớng dẫn quy
trình (phƣơng pháp)
GV gợi động cơ, hƣớng
HS vào các hoạt động
Hoạt động của GV và HS
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phƣơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của HS, giúp GV nắm đƣợc thông tin hai
chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trƣớc hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói nhƣ
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhƣng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên là phải chấp nhận các yếu tố trùng
lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
- Kết quả đúng, kể cả ở các bƣớc trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.2.3. Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya [8] về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy
học, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau:
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.3. Dạy học nội dung “Ứng dụng tích phân” và việc rèn luyện kĩ năng
giải Toán cho HS
1.3.1. Nội dung “Ứng dụng tích phân”
Theo phân phối chƣơng trình môn Toán THPT, phần Giải tích lớp 12
nâng cao HS đƣợc học với số tiết là 90 tiết, trong đó nội dung “Ứng dụng tích
phân” chỉ đƣợc nghiên cứu trong 6 tiết trong chƣơng III – SGK Giải tích 12,
cụ thể nhƣ sau:
Tiết theo phân
phối chƣơng trình
Tên bài
63
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập
64
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập
65
Bài tập
66
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập
67
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập
68
Bài tập
1.3.2. Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân
Trên cơ sở mục đích của việc dạy học toán ở trƣờng phổ thông, căn cứ vào
nội dung ứng dụng tích phân trong chƣơng trình giải tích lớp 12, ta có thể xác định
đƣợc mục đích yêu cầu dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm nhƣ sau:

phân cho HS lớp 12 hay không?
Câu hỏi 3: Thầy cô thƣờng gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng ứng
dụng tích phân cho HS lớp 12?
Kết quả thu đƣợc nhƣ sau:
Đối với câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là thật sự rất quan trọng vì
nó có nhiều ứng dụng trong thực tế, hơn nữa trong các kì thi tốt nghiệp, tuyển
sinh ta cũng gặp nhiều dạng toán này.
Đối với câu hỏi 2: Câu trả lời của các thầy cô là không đồng đều, có
thầy cô thƣờng xuyên rèn luyện kĩ năng này, nhƣng cũng có những thầy cô
không thƣờng xuyên làm đƣợc việc này vì một số lí do.
Đối với câu hỏi 3: Đa số các thầy cô nêu ra khó khăn do điều kiện thời
gian, số tiết trong phân phối chƣơng trình ít, kĩ năng xác định hình của HS
còn yếu, thiếu hệ thống bài tập tốt để thực hiện rèn luyện kĩ năng này.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên TÓM TẮT CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 của luận văn đã tìm hiểu khái niệm về kĩ năng, các tính chất
của kĩ năng, kĩ năng giải Toán.
Tiến hành phân loại các bài toán về ứng dụng của tích phân ở lớp
12 THPT.
Tìm hiểu thực trạng dạy các bài toán về ứng dụng tích phân cho HS lớp
12 THPT.
Trên cơ sở đó ở chƣơng 2, chúng ta sẽ đề ra các biện pháp rèn luyện kĩ
năng ứng dụng tích phân cho HS thông qua việc giải một hệ thống bài tập đa
dạng, có chọn lọc.