BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ HOÀI THU

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ HOÀI THU

Xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014
Ngƣời thực hiện

Trần Thị Hoài Thu

BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT

THPT : Trung học phổ thông
STT : Số thứ tự
HS : Học sinh
GV : Giáo viên
ĐS & GT : Đại số và giải tích
NXB : Nhà xuất bản
VT : Vế trái
VP : Vế phải

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2
3.1. Đối tượng nghiên cứu 2
3.2. Phạm vi nghiên cứu 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc của đề tài 2

3.1. Mục đích thực nghiệm 54
3.2. Phương pháp thực nghiệm 54
3.3. Nội dung thực nghiệm 54
3.4. Đối tượng thực nghiệm 54
3.5. Tổ chức thực nghiệm 54
3.6. Kết quả thực nghiệm 55
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm. 56
KẾT LUẬN 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Thế giới ngày nay đang phát triển nhanh chóng cùng với sự phát triển của
khoa học, công nghệ, truyền thông. Vì vậy mục tiêu giáo dục đặt ra là phát triển
một xã hội trong đó con người được phát triển toàn diện để đáp ứng với sự
nghiệm công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Vì thế bắt buộc bản thân những
nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa
chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ.
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Một
trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và
phương pháp dạy học.
Kiến t hức và kĩ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy
học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kĩ năng thực hiện một loại hoạt động
nào đó nếu không chú ý trang bị kiến kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
chắc. Ngược lại việc rèn luyện kĩ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh
vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy
những tác dụng to lớn của kiến thức học được trong việc giải quyết các tình

lôgarit ở một số trường THPT.
Đề xuất cấu trúc hình thành phương pháp và kỹ năng giải một số phương trình,
bất phương trình mũ và lôgarit, tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu rút ra kết
luận cần thiết.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung về một số phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tập cho học sinh THPT.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Học sinh khối 12 Trường THPT Liễn Sơn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp quan sát - điều tra.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
5. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo… nội dung của đề tài
gồm 3 chương:
Chương 1: Cở sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mũ
và lôgarit cho học sinh lớp 12 - THPT.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để đạt được mục tiêu
nhất định.

bản, từ đó sẽ hình thành ở học sinh các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng
theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, ký hiệu, tính giá trị dựa vào
công thức… việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập
mẫu cụ thể để học sinh biết được angorit thao tác giải một bài tập toán học cơ
bản (có thể giáo viên tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải).
Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức thao tác để giải bài tập toán
cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải các bài cơ bản. Việc hình thành kỹ
năng riêng rẽ của giai đoạn này là: Luyện giải một số bài tập toán học tương
tự bài tập mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài
tập toán học cơ bản.
Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho
học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn. Việc hình thành
đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là: Rèn luyện giải một bài tập toán học
tổng hợp (khác bài mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm
giúp học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp.
Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập toán học cần hiểu được cấu
trúc của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như:
kỹ năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép
biến đổi… và các kỹ năng này là một thể thống nhất.
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống giữa các kỹ năng
đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và
ngược lại, việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
c. Con đƣờng hình thành kỹ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập
mẫu. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác
qua một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán học theo
sơ đồ định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài
tập toán học cụ thể. Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những

những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo
những tri thức nhất định trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác nhau.
Những bài toán còn là một phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh hay bổ
xung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

6
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu day học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những nội dung ý khác
nhau về phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, bài tập là phương tiện đánh giá mức độ,
kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể
bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với bài tập sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình
+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện cách bức tìm tòi lời giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy định bốn
bức của G.Pôlia.

( 0, 1)aa

Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
( ) ( )f x g x
aa

Dạng 3:Phƣơng trình dạng
( ) ( )f x g x
ab

1.3.3.2. Bất phƣơng trình mũ
Dạng 1: Bất phƣơng trình dạng:
()fx
ab
(1)
Hoặc
( ) ( ) ( )
( , , )
f x f x f x
a b a b a b

Dạng 2: Bất phƣơng trình có dạng:
( ) ( )f x g x
aa
(1)
Hoặc
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,
f x g x f x g x f x g x

f x b
(1)
(hoặc
log ( ) ,
a
f x b

log ( ) ,
a
f x b

log ( )
a
f x b
) với
0, a 1a 8
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:
log ( ) log ( )
aa
f x g x
(1) (hoặc
log ( ) log ( )
aa
f x g x
,
log ( ) log ( )
aa

20
CĐ
ĐH
Trên
ĐH
G
K
TB
12
3
5
4
0
11
1
4
8
0

Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn giáo viên có tuổi nghề còn rất trẻ.
Hầu hết giáo viên được đào tạo trình độ đại học chính quy, về chất lượng giảng
dạy đa số đạt loại khá giỏi. Có những giáo viên đạt chất lượng loại giỏi và danh
hiệu giáo viên dạy giỏi các cấp. Mặc dù chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích
cực cổ vũ và động viên thầy cô giáo phấn đấu, nâng cao tay nghề và chất lượng
giảng dạy. Tuy nhiên do phần lớn giáo viên mới ra trường, tuổi nghề còn rất trẻ,
còn ít kinh nghiệm giảng dạy. Nhưng những giáo viên trẻ lại tích cực giới thiệu,
khuyến khích học sinh giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit theo
mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo. 10
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT
PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 - THPT

2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình, bất phƣơng trình
mũ và lôgarit
Để rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit cần
dựa vào mức độ và trình độ kĩ năng giải bài tập toán học. Cụ thể là:
- Cần rèn luyện kĩ năng giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
ở một số dạng.
- Mỗi loại trên cần rèn luyện ở ba mức độ:
+ Biết làm: Nắm được quy trình giải phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit cơ bản nào đó áp dụng đúng theo công thức hay tương tự như bài tập mẫu
nhưng chưa được nhanh.
+ Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải bài tập mẫu
nhưng chưa linh hoạt để đưa ra nhiều cách giải hay và ngắn gọn.
+ Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo
khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kĩ năng, kĩ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.
2.2. Rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và lôgarit
2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải phƣơng trình mũ
Dạng 1: Phƣơng trình dạng:
()fx
ab

( 0, 1)aa


x




2
log 3x 

Vậy nghiệm của phương trình là
2
log 3x 

2,
31
x

phương trình vô nghiệm (do
10b   
)
b. Mức độ thành thạo
Ví dụ1: Giải phương trình:

21
3 9 100
xx


Hướng dẫn: Ta thấy
2
39

2
2
3
24
24



x
xx

Hướng dẫn: Ta thấy số mũ là một hàm phân thức, đầu tiên ta đi tìm điều
kiện để số mũ của phương trình có nghĩa. Sau đó áp dụng cách giải như ở dạng 1.
Giải
Điều kiện
2
15
2 4 0
15


   




x
xx
x





(1)
Khi đó phương trình (1) tương đương

2 2 2 2
3 2( 2 4) x 3 2 4 8x x x x x        12

1
5
x
x






(thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm là
1x 
và
5x 

c. Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ: Giải phương trình:

t
sau đó áp
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Giải
Điều kiện
3 0 3xx    

Trường hợp 1:
0x 
phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2:
0x 
lôgarit cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình

52
log ( 3) logxx

Đặt
52
log ( 3) logx x t  

Suy ra
3 5 2
2 2 3 5 (*)

  


  


2 2 1 1
(t) .ln 3 ln 0
5 5 5 5
tt
f
       
  
       
       
,
t

Suy ra hàm số nghịch biến trên

13
Nhận thấy
1t 
suy ra
23
( ) 1
55
   f t VP

1t
là nghiệm của phương trình (*)
Khi đó
12tx  

Vậy phương trình có nghiệm là x=2
Dạng 2: Phƣơng trình dạng:

61
x


Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 2, khi đó ta có
lời giải như sau:
Giải
1,
2
2 3 2
2 2 2 3
xx
xx

   
2
1
2 3 0
3
x
xx
x


    




Vậy phương trình có nghiệm là

2
x

Vậy phương trình có nghiệm là
3
2
x 

b. Mức độ thành thạo
Ví dụ 1: Giải phương trình:

3
47
1
2
8
x
x


14

Hướng dẫn: Ta thấy
3
82
xx



Ví dụ 2: Giải phương trình:

31
37
2
(2,5)
5
x
x







Hướng dẫn: Ta thấy
 
3 7 3 7
37
52
(2,5)
25
  

   

   
   


2 1 3
2 1 3 4 1
x
x x x x
xx

     


Hướng dẫn: Ta thấy cơ số ở phương trình là biến x, đầu tiên ta phải tìm điều
kiện của cơ số là
0x 
và
1x 
. Mặt khác ta thấy
1x 
là nghiệm vậy phương trình.

15
Khi đó phương trình trên có hai khả năng xảy ra là:
1
0
2 1 3
log
2 1 3 4 1

















     


x
x
x
x
x
x x x x

Giải phương trình (1) bằng cách nhân lien hợp, ta được:






22

1 1 2 1 0xx     

1 1 2x   

1 1 4x   

25x  

Vậy phương trình có nghiệm là
1x
và
25x

Chú ý: Phương trình (*) ngoài việc giải như trên thì còn có thể giải nhờ
tính chất khác của trị tuyệt đối như sau:

16

   
1 1 2 1 1 1 2 1x x x x          1 1 0

2 1 0
x
x

  


a a a
a b a b f x g x b    

hoặc
( ) ( )
log log ( ) ( ).log
f x g x
b b b
a b g x f x a  

a. Mức độ biết làm
Ví dụ: Giải phương trình:
1,
2
42
23
xx

2,
1 2 1
9 81
xx


Hướng dẫn: Ta thấy các phương trình mũ trên đều ở dạng 3, khi đó ta có
lời giải như sau:
Giải
1,
2
42



  
2
2
log 3
x
x







Vậy phương trình có nghiệm là
2x 
và
2
log 3 2x 

2,
1 2 1
9 81
xx




32
23
xx


Hướng dẫn: Ta thấy số mũ của phương trình lại là hàm số mũ. Vậy ta lấy
lôgarit cơ số 10 hai vế.
Giải
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế của phương trình, ta được:

32
lg2 lg3 3 .lg2 2 .lg3
xx
xx
  
3 lg3

2 lg2
x





32
2
log .log 3x

Vậy phương trình có nghiệm là

2
2
21


xx
x
. Khi đó ta sử dụng
phương pháp đánh giá tìm được nghiệm của phương trình.
Giải
Điệu kiện
1x 

Với điều kiện đó, ta có:

18
2 1 2 0
2
10
VT=(x 1) ( 1) 1
20
x
x
x
x




    

1
20
VT
x
VP
xx








  




Vậy phương trình có nghiệm là
1x 

Ví dụ 2: Giải phương trình:
2 2 2
2 1 2 2 1
9 34.15 25 0 (1)
x x x x x x    
  

Hướng dẫn: Ta thấy

gọn được và đưa được về dạng bình phương ta nên chia cho
2
2
25
xx
phương trình
trở thành
22
22
93
9 34. 25 0
25 5

   
  
   
   
x x x x
. Sau đó ta có thể đặt
2
2
3
5





xx
t






xx
t

Khi đó ta có phương trình:
2
1
9 34 25 0
25
9
t
tt
t



   




+ Với
1t 
ta có
22
22

9
t 
ta có
22
22
33
55
3 25 3 25
log log
5 9 5 9
x x x x
   
  
   
   2
22xx   2
2 2 0xx   

13
13
x
x



Có thể giải bất phương trình (1) như sau:
- Nếu
0,b 
tập nghiệm của bất phương trình là vì
()
0 x
fx
ab   

- Nếu
0b 
, thì bất phương trình tương đương với
log
()
a
b
fx
aa

+ Với
1a 
, khi đó
( ) log
a
f x b

+ Với
01a
, khi đó
( ) log

Giải
1,
2 16
x


Do
16 0b 
và
20a 
khi đó phương trình tương đương:
2
log 16x

4x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng
(4; )