BÀI TẬP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
, viết phương trình 2 mặt phẳng (P) và (Q) sao cho (P) chứa d
1
, (Q) chứa d
2

thỏa
( ) ( )P QP
Cách giải: viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d
1
và song song với d
2
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
2
và song song với d
1
. Khi đó:
( ) ( )P QP
(do mỗi mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau song song).
Các bài tập
1. Cho đường thẳng
2 3 4 0
:
3 2 5 4 0
x y z
d

d d y t t
x y
z t
= +

+ − + =


= − + ∈
 
− + =


= −

¡
Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau.
4. Cho điểm M(2,-3,1) và mặt phẳng (P): x+3y-z+2=0
Tìm hình chiếu của H của M lên mặt phẳng (P).
Tìm điểm đối xứng của M qua (P)
5. Tìm hình chiếu H của M(2,-1,1) lên đường thẳng
1 2
: 1 ( )
2
x t
d y t t


.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
1
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
7. Cho 2 đường thẳng:
1 2
2 1 3 1 1 1
: , :
1 2 2 1 2 2
x y z x y z
d d
− + + − − +
= = = =
Chứng minh:
1 2
d dP
Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
8. Cho 2 đường thẳng
1 2
1 2
: ( ), : 1 ( )
x t x s

x z z
 + + = + − =

 
− = =


10. Viết phương trình của đường thẳng song song với đường thẳng
3
: 1 ( )
5
x t
y t t
z t
=


∆ = − ∈


= +

¡
và cắt 2 đường
thẳng
1 2
4 3 0
1 2 2
: , :
2 1 0

 
+ − =


= −

¡
12. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng y+2z=0 và cắt 2 đường thẳng
1 2
1 2
: , : 4 2
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
 = − = −

 
= = +
 
 
= =


2
Giáo viên: Võ Hữu Hoàng Tiến.
13. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): x+2y-3z+5=0 và cắt cả 2 đường thẳng
'
'
1 2

+MB
2
nhỏ nhất. (ĐH khối D-2007)
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1,1,3) và đường thẳng d có phương trình

1
1 1 2
x y z
−
= =
−
.
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O. (CĐ khối D-2008).
16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và 2 điểm A(-3,0,1), B(1,-1,3).
Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách
từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. (ĐH khối B-2009).
17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0 và (Q): 3x+2y-z+1=0. Viết
phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1,1,1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (P), (Q). (CĐ khối A-
2009).
18. Trong không, gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có A(1,1,0), B(0,2,1) và trọng tâm G(0,2,-1).
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC). (CĐ khối A-2009).
19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1,2,1), B(-2,1,3), C(2,-1,1),
D(0,3,1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng
cách từ D đến (P). (ĐH khối B-2009).
20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1,2,3) và 2 đường thẳng:
1 2
2 2 3 1 1 1
: , :
2 1 1 1 2 1

khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). (ĐH khối A-2009).
22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 và đường thẳng
(2 1) (1 ) 1 0
:
(2 1) 4 2 0
m
m x m y m
d
mx m z m
+ + − + − =


+ + + + =

Xác định m để đường thẳng d
m
song song với mặt phẳng (P).
23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
với A(0,0,0), B(1,0,0),
D(0,1,0), A
’
(0,0,1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng A

∆ = =
−
và mặt phẳng
( ) : 2 3 4 0P x y z+ − + =
. Viết phương trình đường thẳng d sao cho d nằm trong mặt phẳng (P) cắt và
vuông góc với đường thẳng ∆. (ĐH khối D-2009).
28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1 2
3
2 1
: , :
2 1 2
x t
x y z
y t
z t
= +

− −

∆ = ∆ = =


=

. Xác
định tọa độ điểm M thuộc ∆
1
sao cho khoảng cách từ M đến ∆
2

2 4 0
: , : 2
2 2 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y z
z t
 = +

− + − =
 
∆ ∆ = +
 
+ − + =
 
= +


a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆
1
và song song với ∆
2
.
b. Cho điểm M(2,1,4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ∆
2
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
(ĐH khối A-2002).
32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng