PH
ƯƠ
NG TRÌNH M
Ặ
T PH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1.
Hai véct
ơ

( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , ; ; ;
u a a a v b b b
= =


là m
ộ
t c
ặ
p véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng (VTCP)

α
)
2.
Véct
ơ

( )
; ;
n a b c
=
là véc t
ơ
pháp tuy
ế
n (VTPT) c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
⇔
(
α
)
⊥
giá c
ủ

ế
n
đồ
ng th
ờ
i
[
]
// ,
n u v

 
.
N
ế
u
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
2. Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát:
2.1. Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c:

0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i
2 2 2
0
A B C
+ + >
.
N
ế
u D
=
0 thì
0
Ax By Cz

song song ho
ặ
c ch
ứ
a v
ớ
i tr
ụ
c
x
’O
x
.
N
ếu A
≠
0, B
=
0, C
≠
0 thì (
α
):
0Ax Cz D+ + =
sẽ song song ho
ặc ch
ứa vớ
i trục
y
’O


Đ
Đ
Đ
Ư
Ư
Ư
Ờ
Ờ
Ờ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G

G
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G
K
K
K
H
H
H
Ô
Ô
Ô
N
N
N
G
G

h
ươ
ng
2.2.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) v
ớ
i c
ặ
p VTCP

= =
 
 

 
là:
( ) ( ) ( )
2 3 3 1
1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =

2.3.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua 3
đ



 


nên ph
ươ
ng trình là:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
1
1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −

Đặ
c bi
ệ
t:
Ph
ươ
ng trình m
ặ

Cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau
(
)
(
)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
: 0; : 0
a x b y c z d a x b y c z d
α + + + = α + + + =
v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
1 2
∆ = α α
∩
.
M
ặ

ẳ
ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
1 1 1 1
, ,
n A B C
=


và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
( )
2 2 2 2
, ,

α
2
) không có điểm chung thì (
α
1
) // (
α
2
)
N
ế
u
1 2
,
n n
 
cùng ph
ươ
ng và (
α
1
), (
α
2
) có
đ
i
ể
m chung thì (
α

90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
 
 
với
1 2
,n n
 
là 2 VTPT của (
α
1
), (
α
2
).

là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +

2.
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng song song:
(
)
(
)
(
)
; ;
d d M M

ng th
ẳ
ng xác
đị
nh b
ở
i 2
đ
i
ể
m B(
−
1; 0;
−
4), C(0;
−
2;
−
1).

Mp(
α
)
đ
i qua A nh
ậ
n
( )
1; 2;3
BC

và ph
ươ
ng trình tổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua
(
)
2; 1;4
A
−
,
(
)
3; 2; 1
B
−
và vuông góc v
ớ
i
(
)
: 2 3 0
x y z
β + + − =


n
,
b
AB n


làm c
ặ
p VTCP. Suy ra VTPT c
ủ
a (
α
) là:
( )
3 5 5 1 1 3
; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n
− −
 
= = − −
 
 

. M
ặ
t khác (
α
)
đ

i qua A(1; 0; 5) và // mp(
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
β
)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m B(1;
−
2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọ
n
ϕ
tạ
o bở
i 2 mp(
α
) và (

đ
i qua A(1; 0; 5)
⇒

2 1 0 5 0 7
c c
⋅ − + + = ⇔ = −

⇒
PT (
α
):
2 7 0
x y z
− + − =


mp(
β
) nh
ậ
n 2 véc t
ơ

( ) ( )
0; 2; 1 , 1;3; 1
BC BD
= − = − −
 
làm c



( )
2 2
2 1 1 1 1 2
3
1
cos cos ,
60
6 2 3
2 1 1 1 1 2
n n
β
⋅ − ⋅ + ⋅
π
ϕ = = = =
⇒
ϕ = = °
+ + + +
 

Bài 4.

Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng ch


HD:
Ph
ươ
ng trình chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (
∆
) là:
( )
( )
(
)
2 2
2 3 2 3 0 , ; 0
m x z n x y z m n m n
− + − + − = ∈ + >
»

⇔

(
)
(
)
3 2 2 3 0

để
(
α
)
⊥
(P) thì
0
u v
⋅ =
 

(
)
(
)
(
)
1 3 2 2 1 2 0
m n n n m
⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − =

8 0
n m
⇔ − =
.
Cho
1
n
=
suy ra

p v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
2 5 0
x y z
+ − =
m
ộ
t góc 60
°
.
HD:
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a O
z

⇒
(P) có d
ạ


suy ra
( )
2 2 2 2
2. 1. 0. 5
1
cos , cos 60
2
2 1 5
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
 

( )
(
)
2
2 2
2 2 10
m n m n
⇔ + = +

(
)
(
)

ặ
c
(
)
: 3 0
P x y
+ =

Bài 6.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t
ạ
o
v
ớ
i (O
xy
) m
ộ
t góc 60

2 2 2
2 2 2 2 2
3
1
cos 60 36 10
2
10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +

2 2
26 26
A B B A
⇔ = ⇔ = ±
. Do
2 2 2
0
A B C
+ + ≠

⇒

0
A
≠
.
Cho

b
,
c
là 3 s
ố
d
ươ
ng thay
đổ
i
luôn luôn th
ỏ
a mãn
2 2 2
3
a b c
+ + =
. Xác
đị
nh
a
,
b
,
c
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
O

d a b c
= + +

⇒

( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
9 3
3 3
a b c
a b c
 
= + + + + ≥ ⋅ =
 
 

2
1 1
3
3
d d
⇒
≤
⇒
≤
. V
ớ
i

m
để (P
m
)
⊥

( )
0
: 2 1 0P x y z
+ + + =
HD:


V
ớ
i m
ọ
i
m
, (P
m
) luôn
đ
i qua
đườ
ng th
ẳ

u
=

và
1 0
x y z
+ + + =
có
VTPT
(
)
1;1;1
v
=

suy ra (d) có VTCP là:
[
]
(
)
; 0; 1;1
a u v
= = −
  
.
M
ặ
t khác (d)
đ
i qua



(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 1 1 0
m
P m x m y m z m
+ + + + + + + =
có VTPT
(
)
1
2; 1; 1
n m m m
= + + +

;
Tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi

0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =
 

Bài 9.

Cho 3
đ
i
ể
m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2;
−
1). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng (ABC). CMR: O
∈
(ABC) và OABC là m
ộ
t hình ch
ữ

= − = −
 

⇒
VTPT
( )
, 5; 4; 2
n AB AC
 
= = − −
 
 


Do (ABC)
đ
i qua A(0; 1; 2) nên ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là:
(
)
(
)
(
)
5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0

⋅ = + − =
 
suy ra OABC là hình ch
ữ
nh
ậ
t.

G
ọ
i H là hình chi
ề
u c
ủ
a S lên (OABC) suy ra
1 1
2 2.
3 3
OABC ABC SABC
V S SH S SH V
= ⋅ = ⋅ ⋅ =

1
2 ,
6
AB AC AS
 
= ⋅ ⋅
 
  

ể
m c
ủ
a OS là
(
)
9
;0;0
2
M

⇒

(
)
9
; 1; 2
2
AM
= − −


⇒
M
ặt phẳng chứ
a AB và đi qua M có VTPT là:
[
]
(
)

(
)
( )
: 3 7 36 0; :2 15 0
P x y z Q x y z− + + = + − − =
n
ếu bi
ết khoả
ng cách từ
g
ố
c t
ọ
a
độ
O
đế
n
α
b
ằ
ng 3.

Gi
ả
i

M
ặ
t ph

2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − =
. Ta có

( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
36 15
, 3
3
2 3 7
m n
d O
m n n m m n
−
α = ⇔ =
+ + − + −

2 2 2 2
12 5 59 16 6 19 104 85 0
m n m mn n n mn m
⇔ − = − + ⇔ − + =

(
)
(
)
19 85 0 19 85
n m n m n m n m
⇔ − − = ⇔ = ∨ =

ẳ
ng
(
)
α

đ
i qua 2
đ
i
ể
m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)
và kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1
0; 0;
2
M

đế
n m

0 0
Ax By Cz D A B C
+ + + = + + >

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 1 ; 5 0 2
A A B D B A B C D
∈ α
⇒
− + = ∈ α
⇒
+ + + =

M
ặ
t khác:
( )
( )
2 2 2
7 7
1
,

2
2 2 2
27.49 49 3 2
A A B A B
 
= + + +
 

2 2
17
5 12 17 0
5
B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = −

+ Ch
ọ
n A = B = 1
⇒
C = –5, D = –1 thì nh
ậ
n
đượ
c
(
)
1
: 5 1 0
x y z
α + − − =


(
)
: 7 0
P x y z
− + − =
,
(
)
: 3 2 12 5 0
Q x y z
+ − + =

Bài 2.

Vi
ế
t PT mp(
α
)
đ
i qua M(1; 2;1) và ch
ứ
a giao tuy
ế
n c
ủ
a
( )
(
)



và vuông góc vớ
i mặ
t phẳng (P):
2 3 0x y z+ + − =

Bài 4.

Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi
ế
t PT mp(ABC).
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c O
đế
n (ABC). Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng:
a.
Qua O, A và // BC; Qua C, A và
⊥

,
n
để
m
ặ
t ph
ẳng
5 4 0x ny z m
+ + + =
thuộ
c
chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
3 7 3 9 2 5 0
x y z x y z
α − + − + β − − + =

Bài 6.

Cho 2 m
ặ

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua giao tuy
ế
n (d) c
ủ
a (
α
) và (
β
)
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q):
3 1 0
x y
− + =

n (P).
Tính di
ệ
n tích tam giác ABC và th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n OABC.
Bài 8.

Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các
đ
i
ể
m M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OA và BC; P, Q là 2
đ
i
ể

) v
ớ
i
a
,
d
> 0. G
ọ
i A’, B’
là hình chi
ế
u c
ủ
a O lên DA, DB. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a 2
đườ
ng OA’, OB’. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph

đề
u 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
: 1 0, : 5 0
x y z x y z
α + − + = β − + − =

Bài 11.

Tính góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) cùng
đ
i qua
đ
i
ể
m I(2; 1;
−

∆
OAB
đề
u c
ạ
nh
a
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (O
xy
),
đườ
ng th
ẳ
ng AB // O
y
.
Điể
m A nằm trên phần tư
thứ nhất trong mp(O
xy
). Cho đ
iểm
(
)

)
,
d O P
t
ừ

đ
ó suy ra
(
)
;
d Ox SE
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
:
1.
Véct
ơ

(
)

ế
u
a

là m
ộ
t VTCP c
ủ
a (
∆
) thì
ka

(
k

≠
0) c
ũ
ng là VTCP c
ủ
a (
∆
)
t
ứ
c là (
∆
) có vô s
ố

)
và có VTCP
( )
1 2 3
; ;a a a a=

:
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +



= + ∈


= +


»

2.

Ph
ươ

a a a a
=

:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =

3.

Phương trình tổng quát:
Phương trình đường thẳng (
∆
) tổng quát là giao
tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0

i
ể
m M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
), M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −

A x B y C z D

α + + + =


β + + + =


(
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
)
⇒
VTPT c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng là
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C

,
z
0
)
∈
(
α
)
∩
(
β
)
⇒

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
Đặ
t t
ỉ
s
ố
này b
ằ
ng
t

1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2

1 2
,
∆ ∆
chéo nhau.

N
ế
u
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ =

 
và
1 2 3 1 2 3
: : : :
a a a b b b
≠
thì (
∆
1
), (
∆
2
) c
ắ
t nhau.

1
2

∆


∆


vô nghi
ệ
m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) song song nhau.

N
ế
u
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) trùng nhau.
2. V
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M

n A B C
=



N
ế
u
0
n u
⋅ ≠
 
0
Aa Bb Cc
⇔ + + ≠
thì (
∆
) c
ắ
t (
α
).

N
ế
u
//
n u
 


0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =



+ + + ≠


thì (
∆
) // (
α
).

Nếu
( )
0
0
n u
M
⋅ =



∈ α



ẳ
ng:

Cho (
∆
1
)
đ
i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(

(
)
(
)
[
]
1 2
, 0,90
∆ ∆ = ϕ∈ °
xác
đị
nh b
ở
i:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a b
u v
u v
a a a b b b
+ +
⋅
ϕ = =
⋅
+ + + +
 
 


, ,
u a b c
=

và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i VTPT
(
)
, ,
n A B C
=


Góc gi
ữ
a
(
)
( )
( )
[
]
, 0,90

ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤

ϕ

≤
90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2

1. Kho
ả
ng cách t
ừ
1
đ
i
ể
m
đế
n 1
đườ
ng th
ẳ
ng:

Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0

∆
) là:
( )
( )
0 1
1
,
u M M
d M
u
 
⋅
 
∆ =




2. Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau:
Cho (
∆
1

2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=


Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau, khi
đ
ó
( )

ng:
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )

ẳ
ng
Ph
ươ
ng pháp:
Gi
ả
i h
ệ
PT t
ạ
o b
ở
i
(
)
( )
1
2

∆


∆


;
( )
( )


Bài 1.

Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i b
ằ
ng 2 cách khác nhau:
( ) ( )
1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=


− − − =




đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +



∆ = − ∈


= +



( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =


∆

+ − − =


v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
(
)
: 2 1 0
x y z
α + + − =

Bài 4.


+


−
−
∆ = − ∆ = = ∆


− + + =



= +


a.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p 2
đườ
ng th
ẳ

ạ
ng 2: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố

α
)
Bài 1.
Tìm hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(1; 2;
−
3) lên
(
)
: 3 5 0
x y z
α + − + =

3. D
ạ
ng 3: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ

0
, y
0
, z
0
), khi
đ
ó
đ
i
ể
m M’
đố
i x
ứ
ng M qua (
α
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −

Bài 1.
Xác
đị
nh

=
0
4. D
ạ
ng 4: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
)
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t PT m
ặ

ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t PT tham s
ố
c
ủ
a (
∆
)
⇒
T
ọ
a
độ
H theo tham s
ố
t.
MH u
⊥


là véct
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c

−
1; 1) lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = − −

5. D
ạ
ng 5: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ

1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi
đó
đ
iể
m M’ đố
i x
ứng M qua (
∆
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −

Bài 1.
Xác
đị
nh
đ
i

đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

TH1: (
∆
)
⊥

α
)
⇒
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
TH3: (
∆
) không vuông góc v
ớ
i (
α
), (
∆
)
⊄
(
α

) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
=
(
β
)
∩
(
α
).
C2: L
ấ
y 2
đ
i
ể
m A, B phân bi
ệ
t thu
ộ
c (
∆
).
Xác
đị

2

C3: N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
α
): Xác
đị
nh A
≡
(
∆
)
∩
(
α
). L
ấ
y M b
ấ
t kì
∉
(
∆
) và M
≠

a (
∆
):
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =



+ − =



lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
): 2
x
–
y

+

z
– 1

2
) c
ắ
t (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

TH1: (
∆
1
) // (
∆
2
)
⇒
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph

ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
2
)
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph
ươ
ng (
∆
2
) là (
∆

+ + + =


lên (
α
):
2 2 3 0
x y z
− + − =
theo ph
ươ
ng (
∆
2
):
1
1
2
2 1 3
y
x
z
+
−
+
= =

8. D
ạ
ng 8: VPT

2
) chéo
nhau và không
đ
i qua M
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆
1
)
N
ế
u cho (
∆
1
) d

ể
m A, B
∈
(
∆
1
)

⇒
Ph
ươ
ng trình (
α
) qua 3
đ
i
ể
m A, B, M.

N
ế
u (
α
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế

1
) suy ra
đườ
ng th
ẳ
ng
c
ầ
n tìm là (
∆
)
≡
MN.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆

ắ
t (
∆
1
) và (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ầ
n tìm. N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (

(
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +

9. D
ạ
ng 9: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆

ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
) và // (
∆
3
)
N
ế
u (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)

ng c
ầ
n tìm.
N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a (

M, N theo t
1
, t
2
.
⇒

MN

theo t
1
, t
2
.
Xác
đị
nh t
1
, t
2
sao cho MN // (
∆
3
)
⇒

Đườ
ng th
ẳ
ng (

0
) là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (
∆
) và (
∆
1
).
(
∆
) nh
ậ
n VTCP c
ủ
a (
∆
3
) làm VTCP
⇒
Ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ

ệ
m
⇒
x
0
, y
0
, z
0
.
⇒
Ph
ươ
ng trình (
∆
)
Bài 1.
VPT đường thẳng (
∆
) cắt (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =



):
2
2
1
3 4 1
y
x
z
+
−
−
= =
, (
∆
2
):
3
7 9
1 2 1
y
x z
−
− −
= =

và // (
∆
3
):
3

∆
∆∆
∆
2
) trong
đ
ó M
∉
∉∉
∉
(
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
Ph
ươ
ng pháp:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
2
) thì
đườ

(
∆
1
):
1
1
2
2 2 1
y
x
z
+
−
+
= =
,
c
ắ
t (
∆
2
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =




t: (
∆
∆∆
∆
1
)
⊥
⊥⊥
⊥
(
∆
∆∆
∆
2
):

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆

ủ
a (
∆
1
), (
∆
2
)
b. Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (
∆
1
), (
∆
2
) d
ướ
i d
ạ
ng tham s
ố

L
ấ

MN là
đường vuông góc chung của (
∆
1
), (
∆
2
)
⇒

(
)
(
)
1 2
,
MN MN
⊥ ∆ ⊥ ∆

⇒

1 2
,
t t

⇒
MN.
c. Ph
ươ
ng pháp 2:

ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
), m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
)
và // (
∆
)
⇒
(

ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 0
:
1 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

và
( )
2
2 2 9 0
:
1 0
x y z
y z
− − + =

∆



và
( )
2
2 2
2
2
: 3 2
1 3
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= +


Bài 4.
VPT
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 2 8 0

= +


∆ = −


=

và
( )
2
2 2 0
:
3 0
x z
y
+ − =

∆

− =

.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph

1
1
1
:
2 1 3
y
x
z
+
−
−
∆ = =

Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;
−
1; 1). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n BC.
Bài 3.

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ

ng th
ẳ
ng

( ) ( )
1 2
2 0
2
1 3
: , :
1 2 3
2 3 5 0
x y z
y
x z
x y z
+ − =

−
− −
∆ = = ∆

− + − =


Bài 5.

Tính kho
ả
ng cách gi

ẳ
ng (
α
): 2
x

+

y

+

z
– 1
=
0
và (
β
):2
x

+

y

+

z

+

Bài 1.

Cho (
α
):
x

+
2
y
– 2
z
– 2
=
0.
Tìm M
∈
O
y
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n (
α
) b
ằ
ng 4.

ằ
ng MA.
Bài 3.

Cho (
α
):
x

+

y

+

z

+
5
=
0.
Tìm M
∈
(
∆
):
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z

β
): 2
x

+
2
y
–
z
– 1
=
0.
Tìm M
∈
O
x
cách
đề
u (
α
) và (
β
)
12.3. Các bài toán v
ề
t
ổ
ng, hi
ệ
u kho

ax by cz d+ + + =

để (MA
+
MB) min.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a A, B
đố
i v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các

(AB)
∩
(P), khi
đ
ó
MA
+
MB
≥
AB
=
M
0
A
+
M
0
B.

N
ế
u
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía
đố

+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1

+
M
0
B.
b. D
ạ
ng 2:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,

t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các
đạ
i l
ượ
ng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +


Nếu
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía đối với (P). Gọ
i M
0

≡
(AB)

đố
i x
ứ
ng A qua (P).
G
ọ
i M
0

≡
(A
1
B)
∩
(P).Khi
đ
ó |MA – MB|
=
|MA
1
– MB|
≤
A
1
B
=
| M
0
A
1

ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m A’, B’ là hình chi
ế
u t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
các
đ
i
ể
m A, B lên (
∆
). G
ọ
i M

. Ta ch
ứ
ng minh MA
+
MB
≥
M
0
A
+
M
0
B
Th
ậ
t v
ậ
y, g
ọ
i A
1
∈
(P)
=
((
∆
), B) sao cho A
1
khác phía B so v
ớ

=
′ ′


 

⇒
A
1
, M
0
,B th
ẳ
ng hàng
⇒
MA
+
MB
=
MA
1

+
MB
≥
A
1
B
=
M

+
19
=
0
để
(MA
+
MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M
∈
m
ặ
t ph
ẳ
ng O
xy
sao cho: (MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3.

Cho A(1; 0; 2), B(2;
−
1; 3).
Tìm M
∈
(

Cho A(1; 2;
−
1),
(
)
2 2; 2; 3
B
− −
.
Tìm M
∈
( )
3 0
:
5 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 6.

Cho A(1; 1; 0), B(3;
−


−


−


Tìm M
∈
( )
2
1
2
:
3 2 2
y
x
z
−
+
−
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 8.

Cho A(2; 3; 0) và
( )

ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
1 2
: 2 4 0, :2 1 0
P x y z P x y z
+ + + = + + + =

Bài 2.

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD v
ớ
i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(
−
1; 0;
−
2), D(
−
2; 1; 1).

(
)
3
: 3 2 1 0
P x y z
− + − + =
. G
ọ
i (
∆
) là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P
1
) và (P
2
).
Tính góc gi
ữ
a (
∆
) v
ớ
i giao tuy
ế
n c
ủ
a (P

2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +


∆ = −


= +

. Tìm
m

để
:
a.
Góc gi
ữ
a (
∆
1
) và (
∆
2
) b

ằ
ng (P)
⊥
(
∆
1
).
Bài 5.

Cho A(0;
−
2;
−
2), B(
−
1;
−
1; 0), C(
−
2;
−
2; 0),
(
)
1
D ; 1;0
2
− −
.
a.

+
−
= =
−

1.
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
) sao cho:
a)
MA MB
+
 
nh
ỏ
nh

ứ
a (
d
) sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (P) là l
ớ
n nh
ấ
t.
3.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a (
d
) và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph

ấ
t.
5.
Trong s
ố
các
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
), vi
ế
t ph
ươ
ng
trình các
đườ
ng th
ẳ
ng sao cho kho
ả


a.

( )
2 2 ; 10 2 ; 6 4
MA MB t t t
+ = − + − −
 
. Suy ra
( )
2
24 2 44
MA MB t
+ = − +
 

Do đó
MA MB+
 
nhỏ
nhất khi
t

=
2 và lúc đ
ó
( )
1; 0; 4M
−


(
)
1; 0; 4
M
−

c.
Ta s
ẽ
xác
đị
nh hình chi
ế
u
1 1
,
A B
c
ủ
a hai
đ
i
ể
m A, B lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
)

= − + ⇔ = ⇔ ≡ −
v
ớ
i
(
)
1
BB d
⊥

1 1
1 1
210 ; 30
3 3
AA BB
= =
.
Đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ

3
3 1 7 3 1 7
 
− +
−
−
 
 
+ +
 

d.

( ) ( ) ( )
; 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12
AM t t t AB AM AB t t t
 
− − + − + − − = − − + −
 
   

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
; 6 16 2 4 4 12 56 304 416
2 2 2
AMB
S AM AB t t t t t
 

.
2.
PT t
ổ
ng quát c
ủ
a (
d
) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =



− + =


. Vì m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ

y z
− + =
. Khi
đ
ó
( )
( )
( )
2
2
2.4 2 4
10
; 2 5
5
2 1
d A P
− +
= = =
+ −

•
N
ế
u
0
a
≠
thì có th
ể
gi

+ +
. Xét hàm s
ố

( )
( )
2
2
5 3
5 4 2
b
f b
b b
+
=
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
50 10 24 3
4
0
5 5
5 4 2
b b
f b b b

K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta có
( )
( )
35
Max ; 2
6
d A P
=
khi
4
5
b
=
, lúc
đ
ó
ph
ươ
ng trình (P) có d
ạ
ng

0
a b
+ ≠
.
M
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) có ph
ươ
ng trình
0
z
=

•
N
ế
u
0
a
=
thì (Q):
2 4 0
y z
− + =
và khi
đ
ó
1

T
ừ
đ
ó
2
cos
5 4 2
b
b b
α =
+ +
. Xét hàm s
ố

( )
2
2
2
cos
5 4 2
b
g b
b b
= = α
+ +
.
Ta có
( )
( )
2

ấ
t b
ằ
ng
1
3
khi
1
b
= −

K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p trên ta th
ấ
y
cos
α
l
ớ
n nh
ấ
t hay (Q) t

a x y b y z
+ + + − + =
. Tr
ụ
c Oz có VTCP là
( )
0; 1; 0
v


N
ế
u
0
a
=
thì (R):
2 4 0
y z
− + =
thì
β
= ((Q), Oy) th
ỏ
a mãn
2
sin
5
β =
.

1 2
sin
5 4 2
b
b b
+
β =
+ +
. Xét hàm s
ố

( )
2
2
2
4 4 1
sin
5 4 2
b b
h b
b b
+ +
= = β
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2

l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng
5
6
, khi
2
b
=
.
K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta th
ấ
y
sin
β
l
ớ

ng th
ẳ
ng b
ấ
t kì
đ
i qua A và c
ắ
t
d
t
ạ
i
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t
− − +
.
Khi
đ
ó
( )
2
2
2
2
2
;
56 304 416

− +
=
− +
. Ta có
( )
(
)
( )
2
2
2
16 11 8 60
0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −
′
= = ⇔ = −
− +
;
30
11
t
=
.
Do
( )
(

11
t =
. Khi đó
2
d
tương ứ
ng
có ph
ươ
ng trình là
2
4
1
2
:
1 4 3
y
x
z
d
−
−
−
= =
− −
và
2
4
1
2