BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC DƯƠNG THỊ MAI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN
THUỘC NỘI DUNG: “ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG”
CHO HỌC SINH LỚP 11
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


Đại học Tây Bắc. Em xin được nói lời cảm ơn sâu sắc.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy thầy giáo chủ nhiệm – Tiến sĩ
Vũ Quốc Khánh là người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ để giúp em hoàn
thành khóa luận này.
Trong quá trình làm khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em
mong được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đọc. Mong rằng khóa luận
này là tài liệu tham khảo hữu ích với những bạn sinh viên ĐHSP Toán và các
giáo viên giảng dạy tại các trường THPT.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Dương Thị Mai
MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
1.1. Cơ sở lí luận 1
1.2. Cơ sở thực tiễn 2
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Giả thuyết khoa học 2
4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc khóa luận 3
PHẦN 2: NỘI DUNG 4
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 4
1.1. Những lí luận chung về giải toán và kỹ năng giải toán 4
1.1.1. Khái niệm giải toán 4
1.1.2. Phương pháp chung để giải một bài toán 5

2.4.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 24
2.4.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 26
2.4.3 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 27
2.4.4. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 30
2.4.5. Chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau 32
2.4.6. Xác định thiết diện 34
CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 38
3.1. Mục đích thực nghiệm 38
3.2. Phương pháp thực nghiệm 38
3.3. Nội dung thực nghiệm 38
3.4. Tổ chức thực nghiệm 38
3.5. Tiến hành thử nghiệm 39
3.6. Đánh giá kết quả thử nghiệm 39
3.6.1. Về phương pháp dạy 39
3.6.2. Về khả năng lĩnh hội của học sinh 39
3.6.3. Về kết quả kiểm tra 39
PHẦN 3: KẾT LUẬN 42

1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lí luận
Tìm định hướng giải một bài toán là một kỹ năng rất quan trọng của việc
giải toán, kỹ năng này không chỉ giúp học sinh có tầm nhìn từ khi đọc bài toán
mà còn có tác dụng trong suốt quá trình giải toán. Có thể thấy việc hình thành
rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải cho các bài toán có tính chất quyết định
đến toàn bộ công việc giải toán. Khi gặp một bài toán mà ta không tìm được
định hướng giải thì ta sẽ không hoàn thành được công việc giải bài toán đó.

rất phong phú và đa dạng. Chính vì thế học sinh cũng gặp không ít khó khăn
trong quá trình học tập đặc biệt là kiến thức hình học không gian lớp 11. Không
ít học sinh rất e ngại khi phải đối mặt với nội dung này bởi độ khó và trừu
tượng. Học sinh gặp khó khăn khi tìm định hướng lời giải. Vì thế học sinh muốn
học tốt được môn Toán nói chung và hình học không gian 11 nói riêng thì
không những cần phải biết nhiều dạng toán và nắm vững cách giải các dạng bài
tập đó mà còn phải có kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán.
Vì những lí do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ năng
định hướng giải bài toán thuộc nội dung: “Đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song” cho học sinh lớp 11”. Với đề tài này
tôi mong muốn nó có thể trở thành tài liệu để tham khảo cho các bạn sinh viên
sư phạm Toán và giúp các giáo viên ở các trường THPT trong việc giảng dạy.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ năng tìm định hướng giải bài toán cho
học sinh lớp 11. Nội dung được chọn là chương: “Đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian. Quan hệ song song”
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu lí luận về giải toán và định hướng lời giải trong hoạt động giải
toán.
2. Nghiên cứu và chỉ ra một số biện pháp để rèn luyện kỹ năng tìm định
hướng giải bài tập để tìm lời giải, cụ thể là một số bài tập thuộc nội dung “Đường
thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” của hình học lớp 11.
3. Thực nghiệm sư phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng lời giải bài toán tốt
giúp học sinh học và giải toán tốt hơn. Từ đó năng lực giải toán của học sinh
được nâng lên.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lí luận: Hệ thống quan điểm về năng lực giải toán và định

thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập là hoạt động cụ thể có tác dụng
trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực giải toán. Giải bài tập có tác dụng
phát triển năng lực giải toán trên nhiều góc độ khác nhau tùy theo ta chọn góc độ
nào mà thôi. Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim: Bài tập toán học có vai trò quan
trọng trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của
học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương
pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ.
+ Trên bình diện mục tiêu:
Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó
thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Bài tập phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Trên bình diện nội dung dạy học:
Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một
phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào
đó được trình bày trong phần lý thuyết.

5
+ Trên bình diện phương pháp dạy học:
Bài tập là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định
và trên cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt các bài
tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động. Bằng hoạt


6
Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học có
thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán. Từ đó xác định các kiến thức
liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các thao tác
kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng đi tốt nhất
cho lời giải.
 Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết. liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan. Sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện. hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được. Đối chiếu kết quả với một số tri thúc liên quan…
- Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lí nhất.
Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng
nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được
tích lũy để tìm ra cách giải bài toán. Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp
đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Việc định hướng tìm
lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên
quan đến bài toán. Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết
của các bước giải bài toán. Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho
lời giải được thể hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu
không định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ không
thể đi đến lời giải bài toán dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác. Nhờ
việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các
cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài toán

các lời giải khác nhau của bài toán học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài
toán. Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung
những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập.
Khả năng trình bày lời giải thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung của một
lời giải: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng, chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước
suy luận hợp logic, cách trình bày ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không
thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải
nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp logic, lời giải đầy đủ, ngôn
ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải,
chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất, nghiên cứu tình bày lời giải những bài toán
tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự.

8
Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ
với nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài toán liên
quan cần vận dụng thường xuyên khi giải bài tập. Vì khi giải một bài toán nào
đó thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp
với kiến thức nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy
bài toán đã cho về bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng
những kiến thức liên quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn
luyện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo.
Việc rèn luyện khả năng sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết
(tuy không dễ) nhưng rất bổ ích.
1.1.3. Kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn trong đó
khả năng được hiểu là “Sức đã có” (về mặt nào đó) để có thực hiện một việc
gì.[5, tr548].

Theo Polya: Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được.
Như vậy, kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến
thức, kỹ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình luyện
tập, củng cố kiến thức.
Trong toán học thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng
góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán.
Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
bước giải của một bài tập Toán học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và
thay đổi trong quá trình hoạt động.
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải
nắm vứng kiến thức, có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán.
Tùy theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu
cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng. Trong chương trình Toán phổ thông, cụ thể là
khi rèn luyện kỹ năng giải bài tập về hình học không gian ta có thể chỉ ra một số
kỹ năng sau:
+ Kỹ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm.
+ Kỹ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận
độc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kỹ năng tính toán vì nó
có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán,
rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này. Kỹ năng
này đòi hỏi sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng
bước tính toán của một lời giải.
+ Kỹ năng vận dụng các định lý, tính chất, hệ quả, mệnh đề Về mặt kỹ
năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
+ Kỹ năng vận dụng các tri thức đã có vào giải các bài toán cụ thể về hình
học không gian: Học sinh phải rèn luyện kỹ năng này trong quá trình họ tìm tòi
lời giải bài toán. Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình
giải toán của Polya gồm 4 bước: Tìm hiểu nội dung đề toán: Xây dựng chương

+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm
khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình" (Polya). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó
của lời giải là một thành công của người học toán.
Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi
giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát
hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những

11
nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm
về kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính
xác, hình thức sạch đẹp, Việc hình thành kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự
điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
1.1.5. Kỹ năng định hướng giải toán
Kỹ năng định hướng giải toán chủ yếu nằm trong giai đoạn đầu tiên của
việc giải toán.
Định hướng tìm lời giải là việc tìm ra con đường để giải toán, tìm ra những
lối đi đúng. Vì vậy tìm định hướng giải toán là khâu có vai trò quan trọng quyết
định đến toàn bộ lời giải bài toán.
Muốn có định hướng tốt để tìm ra lời giải cho bài toán trước hết phải xác
định đúng thể loại bài toán. Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ bài toán
đã cho mà chủ yếu là căn cứ vào yêu cầu bài toán và các dữ liệu cho trong bài
toán để xác định đúng thể loại bài toán. Từ các giả thiết và kết luận của bài toán
người giải toán phải xác định được nội dung kiến thức sinh ra bài toán và các
kiến thức cần thiết để có thể áp dụng giải bài toán đó. Từ các kiến thức này
người giải xác định được những kỹ năng, thao tác kỹ thuật tương ứng cần sử
dụng khi giải bài toán.
Việc rèn luyện kỹ năng định hướng lời giải đòi hỏi học sinh phải có khả
năng đón nhận được kiến thức mà tác giả bài toán đã sử dụng để tạo ra bài tập.
Từ biến đổi phù hợp học sinh tạo ra các bài tập tương tự hoặc các bài tập mới và

Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng. Mỗi khái niệm
có dấu hiệu bản chất riêng. Vì thế, dựa vào các dấu hiệu bản chất của khái niệm
ta có thể định hướng được lời giải. Có nhiều biện pháp sử dụng hình thức dạy
học khái niệm để định hướng giải:
- Xem xét hướng giải bài tập qua nội hàm của khái niệm chính sinh bài tập
đó. Mở rộng ra ta có thể tìm hướng giải qua nội hàm của các khái niệm có liên
quan đến bài tập. Nếu phát hiện trong bài tập chỉ chứa các thuộc tính bản chất
của một khái niệm thì ta chọn đó là một hướng suy nghĩ để định hướng giải. Nếu
phát hiện trong bài tập có chứa các thuộc tính bản chất của nhiều khái niệm thì
có thể chọn nhiều khái niệm khác nhau. Tuy nhiên trước tiên nên chọn thuộc
tính của khái niệm mà ta hiểu rõ nhất để xem xét hướng giải, sau đó mới chuyển
sang xem xét các thuộc tính khác hay khái niệm khác.
- Xem xét ngoại diên của khái niệm đã phát hiện từ bài tập. Ta có thể dựa
vào đối tượng chính của bài tập để xác định hướng giải. Hoặc mở rộng ra ta xem
xét lớp đối tượng xác định khái niệm của bài tập để định hướng giải.
- Khai thác hình thức dạy học khám phá khái niệm tương đương với khái
niệm chính trong bài tập. Mỗi khái niệm được định nghĩa theo nhiều cách khác
nhau tạo nên các khái niệm tương đương. Ta có thể xem xét các thuộc tính của bài
tập trong hệ thống các khái niệm tương đương tìm định hướng giải. Mỗi khái niệm
tương đương chứa thuộc tính bản chất của bài tập cho ta một định hướng giải.
1.2.2. Nắm vững hệ thống định lí, tính chất, vận dụng để tìm hướng giải
Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của
môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả

13
năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư
tưởng, phẩm chất và đạo đức.
Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó
có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn là một trong những yêu cầu của dạy học định lí. Việc vận


14
Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm định hướng giải toán giúp cho người
giải thấy rõ hướng đi của bài toán. Thông qua việc phân tích các giả thiết, kết
luận, các điều kiện của bài toán giúp cho người giải toán thấy rõ quá trình xảy ra
có tính chất quy luật của mọi bài toán. Hay nói cách khác người giải toán sẽ biết
được với các giả thiết và các điều kiện đã cho, như vậy thì tất yếu kết quả, diễn
ra như thế nào. Làm quen với mặt này thì người giải toán có đủ lòng tin vào
đường lối mà mình đã tiến hành và hy vọng vào mọi thao tác, biến đổi.
Quá tình suy nghĩ tìm hướng giải cho bài toán giúp học sinh có thể tự kiểm
tra vốn kiến thức sẵn có, mức độ tiếp thu kiến thức và khả năng vận dụng kiến
thức. Quá trình này cũng rèn luyện cho học sinh tư duy các vấn đề toán học một
cách logic và hệ thống. Qua đó rèn luyện trí thông minh, phát triển khả năng tư
duy sáng tạo của học sinh.
Đối với học sinh lớp 11, đối tượng được các em nghiên cứu là các yếu tố
của hình học không gian mang tính trừu tượng: mặt phẳng, đường thẳng trong
không gian, điểm trong không gian…Ở đây không gian được mở rộng từ hai
chiều lên ba chiều, các đối tượng nghiên cứu cũng chuyển từ trực quan sang trừu
tượng. Các bài toán hình học không gian cũng vì thế mà thêm độ trừu tượng. Độ
khó cũng vì thế mà nâng lên. Mặt khác công việc giải toán sẽ gặp nhiều khó
khăn nếu không tìm được hướng đi ngay từ ban đầu cho bài toán. Yêu cầu đặt ra
là phải làm cho học sinh có được kỹ năng tìm, xác định được hướng đi cho bài
toán để công việc giải toán được thực hiện dễ dàng hơn. Muốn vậy, các em phải
được rèn luyện kỹ năng tìm định hướng lời giải để có thể hoàn thành tốt công
việc giải toán của mình. Những định hướng vừa khái quát vừa cụ thể, hiểu
sâu hơn về mối quan hệ của hình học phẳng và hình học không gian sẽ
giúp các em giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Từ đó các em có hứng
thú đối với môn Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng.
Học sinh khi tìm ra lời giải bài toán đặc biệt là bài toán khó, phương pháp
giải mới sẽ có nhiều hứng thú. Điều này có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp

Cho hai đường thẳng
a
và
b
trong không gian. Có hai trường hợp sau đây
xảy ra đối với
a
và
b
.
TH1: Có một mặt phẳng chứa
a
và
b

Xảy ra ba khả năng sau:
1.
a
và
b
cắt nhau tại điểm
,M
kí hiệu
{}a b M
.
2.
a
và
b
song song với nhau, kí hiệu

. 16
2.1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
()

ta có ba vị trí tương đối sau:
1.
d
và
()

cắt nhau tại
M
, kí hiệu
( ) { };dM



2.
d
song song với
()

, kí hiệu
d

//
()



( ) ( )

  
.
2. Mặt phẳng
()

cắt mặt phẳng
()

:
()

cắt
()


( ) ( ) a


.
3. Mặt phẳng
()


Hệ thống các khái niệm toán học là cơ sở toàn bộ kiến thức Toán học của
học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến
thức đã học. Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng to lớn đến việc phát
triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua
việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm
Toán học)” [10, tr.116].
Khái niệm 1

khái
Khái niệm 2
Khái niệm 3
Khái niệm 4
Bài tập 1
Bài tập 2
Bài tập 3
Bài tập 4

17
Mỗi định khái niệm đều có dấu hiệu bản chất riêng nên dựa vào dấu hiệu
bản chất của mỗi khái niệm sẽ cho chúng ta những định hướng giải khác nhau.
Ví dụ: muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, nếu dựa vào định nghĩa thì
ta cần phải chỉ ra chúng không có điểm chung.

18
3. Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
4. Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
5. Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
c, Tổ chức thực hiện
- Bước 1: Sắp xếp các dấu hiệu của bài toán theo trình tự bài tập hoặc theo
thứ tự quan trọng.
- Bước 2: So sánh hệ thống dấu hiệu với hệ thống khái niệm đã biết.
- Bước 3: Dùng suy luận để phát hiện, làm rõ mối quan hệ của dữ kiện với
hệ thống khái niệm tàng ẩn.
- Bước 4: Tổng hợp các hướng cơ bản từ ba bước trên.
d, Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và
không có điểm chung.
Để chứng minh hai đường thẳng không có điểm chung ta có thể chứng
minh theo các hướng:
- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai đường thẳng
và chứng minh hệ này vô nghiệm.
Cho hai đường thẳng:
1 1 1 1
:0a x b y c   
và
2 2 2 2
:0a x b y c   
.
1


đi qua điểm
0
'M
, có vectơ chỉ phương

19
'u
. Ta chứng minh
u
và
'u
cùng phương nhưng không cùng phương với
00
'MM
.
Ví dụ 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Mặt phẳng
()


và mặt phẳng
()


được gọi là hai mặt phẳng
song song nếu chúng không có điểm chung.
Ta có thể chứng minh theo một số hướng:
- Định hướng 1: Giải hệ gồm các phương trình xác định hai mặt phẳng.
Nếu hệ này vô nghiệm thì đường thẳng và mặt phẳng song song.
- Định hướng 2:

2.2.2. Biện pháp 2: Vận dụng các kết quả, nắm vững hệ thống các định lí
tính chất để tìm định hướng giải bài toán
a, Cơ sở lí luận của biện pháp
Từ tính chất dãy của khái niệm ta có hệ thống các tính chất định lý của môn
học . Ứng với mỗi hệ thống định lí, tính chất có một hệ thống bài tập tương ứng. Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản của
môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn đặc biệt là khả năng
suy luận, chứng minh.
Mỗi định lý, tính chất cũng có những dấu hiệu bản chất riêng biệt nên dựa
vào các dấu hiệu bản chất đó, học sinh sẽ tìm được định hướng giải.
Nếu chỉ nắm vững hệ thống khái niệm mà không nắm vững hệ thống định lí
thì khó xác định được hướng giải bài toán. Vì nếu chỉ dựa vào định nghĩa để
Định lí 1

khái
Định lí 2
Định lí 3
Định lí 4
Bài tập 1

(Định hướng này dựa vào định lý: Nếu đường thẳng
d
không nằm trong
mặt phẳng
 

và
d
song song với đường thẳng
'd
nằm trong
 

thì
d
song
song với mặt phẳng
 

).
- Định hướng 2: Ta chỉ ra đường thẳng
d
nằm trong mặt phẳng
 

song
song với mặt phẳng
 

đã cho.

liên quan đến bài tập để tìm định hướng giải.
- Mục đích: