BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ THANH
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI
BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG CÔNIC - HÌNH HỌC 10
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu tham khảo của phòng đào tạo,
phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng,
ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc.
Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡ quý báu của các thầy
cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên.
Sơn La, tháng 05 năm 2013
Người thực hiện
Sinh viên: Nguyễn Thị Thanh
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 2
2.1. Mục đích nghiên cứu 2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
KẾT LUẬN 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO 44
PHỤ LỤC
1
PHẦN 1 : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Chúng ta
chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thành thạo các
dạng bài tập có liên quan.
Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó như thế
nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán. Cần thấy rõ từ chỗ tìm
được phương hướng giải bài toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cả một quá
trình bao gồm nhiều khâu. Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung
2.1. Mục đích nghiên cứu
Rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận về Rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải cho học sinh.
Điều tra khảo sát thực tiễn kỹ năng thực hành lời giải của học sinh.
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng thực hành lời giải thông qua
một số bài tập về ba đường cônic.
Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và hiệu quả của biện pháp
đưa ra.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và kĩ năng thực hành
giải toán của học sinh.
+ Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất các biện pháp rèn luyện cho từng dạng toán
cụ thể nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các bài tập về ba đường cônic
cho học sinh lớp 10.
+ Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm
tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của biện pháp đưa ra.
4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận
bao gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kỹ năng thực hành giải
các bài tập về 3 đường cônic.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
3
Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Những lý luận chung về giải toán và kỹ năng thực hành giải các bài tập
Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông. Giải toán
là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đã cho và cái phải
tìm. Người học toán khi đứng trước một bài toán luôn muốn mình giải được
hoặc đáp ứng được các yêu cầu bài toán đặt ra. Để giải một bài toán thì người
giải phải trải qua rất nhiều khâu. Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản của nội
dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình xây dựng bước giải.
Và thực hành có hiệu quả các thao tác có tính chất kỹ thuật trong việc giải bài
tập. Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tình kiên nhẫn và một phương pháp làm
việc khoa học của người giải toán.
Khi dạy giải bài tập cho học sinh cần rèn luyên cho học sinh xác định
hướng xem xét các kỹ năng thưc hành lời giải trước khi giải cụ thể. Việc xác
định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệu quả. Nhờ định hướng giải khác nhau
học sinh có thể giải toán bài toán bằng nhiều cách khác nhau.
Trong thực hành giải các thao tác phải thực hiện tốt. Việc thực hiện lời giải
phải khoa học, lập luận chặt chẽ. Để làm tốt được điều này cần nghiên cứu kỹ
bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòi hỏi để xác
định đúng thể loại các bài toán đó, định hướng được lời giải. Điều này đòi hỏi
phải có một trí nhớ tốt, một tư duy lôgic biết kết nối các yếu tố của bài toán, một
hệ thống kĩ năng với các thao tác thành thạo.
Ngoài việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cần phải phát hiện
ra những cái riêng, cái độc đáo của bài toán cụ thể để lựa chọn được phương án
thích hợp nhất và tối ưu nhất.
1.1.1. Phương pháp dạy học giải toán
Các bước giải một bài toán
* Bước 1: Tìm hiểu đề toán
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài và ham thích giải bài
toán đó. Vì thế cần giúp học sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi
những nét tổng quát. Chúng ta phải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với
những nét tổng quát đó. Do đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một
cho tới khi rõ ràng, không còn những chỗ mơ hồ, có thể che giấu một sự sai lầm.
Nếu đã đề ra chương tình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một
suy luận tạm thời, có tính chất mò mẫm vì bất cứ điều gì có thể đưa đến một ý
đúng thì điều đó là chính đáng. Nhưng khi thực hiện chương trình chương trình
lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhận những lí do quyết định
6
và chặt chẽ. Khi thực hiện lời giải phải nghiệm lại mọi chi tiết, không phải mọi
chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng. Khi lập chương trình giải có thể tự do mò
mẫm bao nhiêu thì khi thực hiện lời giải ta phải nghiệm lại cẩn thận bấy nhiêu.
Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải chú trọng tới các chi tiết của lời
giải, không được quên một chi tiết nào, phải hiểu sự liên hệ của mỗi chi tiết với
toàn bộ và sự liên hệ giữa các giai đoạn quan trọng với nhau.
* Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải
Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:
+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ lời giải toán.
+ Suy nghĩ xem có những lời giải không? Lời giải đã được lựa chọn có
phải hay nhất không?
+ Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ
tương tự, tổng quát hóa
1.1.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắm vững
các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắt tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng. Để thuận lợi cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể
cụ thể hóa các yêu cầu chi tiết.
i) Kết quả đúng kể cả bước chung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, 1biểu thức, 1hằng số, 1hình
thức hoạt động cụ thể". Ở đây tác giả đã quan niệm kĩ năng là hoạt động vật
chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể. Với quan niệm như vậy thuận lợi cho
việc hình thành những kỹ năng vận động, những thao tác kĩ thuật,
+ Quan niệm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc hay
việc thực hiện một hoạt đông nào đó một cách có chất lượng và hiệu quả theo
yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định (thời gian,
phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ). Hoặc kĩ năng là khả năng
của con người thực hiện công việc một cách có hiệu quả và chất lượng trong một
khoảng thời gian thích hợp, trong những điều kiện nhất định dựa vào tri thức và
thói quen hình thành được.
Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩ năng
đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể mà bao gồm cả hành
động trí óc. Vấn đề kĩ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song về cơ bản
các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau. Các tác giả tùy theo cách nhìn chủ
quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh náy hay khía cạnh khác. Tuy nhiên, từ
những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kĩ năng một cách tổng quát như sau: kĩ
năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó
8
bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để
hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép. Kỹ năng thể hiện
các thao tác tư duy, năng lực hành động và mặt kĩ thuật của hành động.
Để trở thành một người có kĩ năng về hành động nào đó phải:
+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều kiện
phương tiện để đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
Tuy nhiên, muốn có kĩ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành kĩ
năng, và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện, tập dượt
giải các bài tập Toán học (bằng suy luận, chứng minh, ).
+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được.
Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồm kiến
thức, kĩ năng, phương pháp). Sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình luyện
tập, củng cố kiến thức.
Trong toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng
góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức Toán học, hoạt động học tập môn Toán.
Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
bước giải của một bài tập Toán học. Kĩ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và
thay đổi trong quá trình hoạt động.
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là học sinh phải
nắm vứng kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tùy
theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu
rèn luyện kĩ năng tương ứng. Trong chương trình Toán phổ thông, cụ thể là khi
rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập về ba đường cônic ta có thể chỉ ra một
số kĩ năng sau:
+ Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm.
+ Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc
lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán vì nó có vai
trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giải một bài toán, rất dẫn
đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sống sau này. Kĩ năng này đòi hỏi
sự tỉ mỉ, cẩn thận, tính đúng, tính nhanh và tính hợp lý trong từng bước tính toán
của một lời giải.
+ Kĩ năng vận dụng các quy tắc, các phương trình chính tắc, phương trình
tiếp tuyến, của ba đường cônic. Về mặt kĩ năng này thì yêu cầu học sinh vận
dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
10
tương ứng.
+ Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm
khi giải toán: " Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình" (Polya). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó
của lời giải là một thành công của người học toán.
11
Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầm khi
giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thói quen phát
hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích những
nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó. Qua đó học sinh cũng đã được rèn luyện thêm
về kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính
xác, hình thức sạch đẹp, Việc hình thành kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và tự
điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh giáo
viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:
+ Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học và
mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng.
+ Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho học sinh
luyện tập kĩ năng giải các bài tập cơ bản bài tập tổng hợp.
+ Xác định sơ đồ định hướng khái quát các Angorit giải mỗi bài tập cơ bản
điển hình và bài tập cơ sở để hướng dẫn học sinh giải bài tập.
+ Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải bài tập giúp học sinh
lắm được sơ đồ hướng dẫn giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập cụ thể.
Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyện tập
theo mẫu, không theo mẫu, thường xuyên và theo hình thức giải khác nhau.
1.2. Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng thực hành giải
Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyện tập này
có thể tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài
tập ở nhà.
thực hiện các mục đích dạy học.
Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng lẻ và
tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể
tức là có ý nói chức năng ấy được thể hiện ở một cách tường minh, công khai.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc
khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài toán
mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể
khám phá thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm của mình.
1.4. Ba đường cônic trong nhà trường phổ thông.
Trong chương trình môn toán lớp 10 ở tường trung học phổ thông, học sinh
được làm quen với các khái niệm về ba đường cônic. Những năm học trước
(2000-2001 đến 2006-2007) theo sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì nội dung
ba đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 12,còn hiện nay nội dung ba
đường cônic được đưa vào giảng dạy ở lớp 10 (chương III-chương cuối cùng
của sách giáo khoa hình học).
13
Qua điều tra quan sát và trao đổi với các thầy cô giáo dạy toán lớp 10, 12
và các em học sinh tôi nhận thấy rằng:
Số lượng tiết ít nhưng nội dung kiến thức và bài tập tương đối nhiều, đây
cũng là lượng kiến thức mới tương đối khó. Ngoài thời gian học trên lớp các em
không có thời gian nghiên cứu sâu, mở rộng khai thác ứng dụng nhiều chiều các
khái niệm, tính chất, việc chứng minh định lý có chỗ còn chưa triệt để sâu sắc
nhiều định lý còn chưa được chứng minh. Điều này hạn chế không nhỏ đến việc
huy động vốn kiến thức của học sinh, việc phát huy tính tích cực, độc lập suy
nghĩ của học sinh trong quá trình học tập.
Hệ thống bài tập sau mỗi phần nhằm khắc sâu ứng dụng ngay khái niệm,
định lý còn ít. Nên trong khi vận dụng những kiến thức đã cho vào việc giải
toán còn nhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kỹ năng thực
hiện lời giải bài toán về ba đường cônic, chưa kích thích được sự ham mê tìm
những bỡ ngỡ và lúng túng khi học nội dung này.
+ Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiến
thức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó, đặc
biệt là khi giải bài toán ở nội dung này. 15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN
NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HÀNH GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CÔNIC
Từ những nghiên cứu ở chương I nội dung chương II nghiên cứu các biện
pháp áp dụng cho từng dạng toán nhằm rèn luyện khả năng thực hành giải các
21
,FF
gọi là các tiêu điểm, khoảng cách
cFF 2
21
gọi là tiêu cự của
E
+ Phương trình chính tắc của elip có dạng :
2
2
a
x
1
2
2
b
y
222
cba
21
,FF
là các tiêu điểm, khoảng cách
cFF 2
21
gọi là tiêu cự của
H
+ Phương trình chính tắc của Hypebol
2
2
a
x
-
2
2
b
y
1
222
bac
* Parabol
+ Định nghĩa: Cho điểm
là đường chuẩn,
0; Mdp
gọi là tham số qua
tiêu của
P
+ Phương tình chính tắc của parapol:
02 ppxy
* Đường cônic
Ba đường cong elip, hypebol, parabol được gọi là 3 đường cônic. Chúng
được sinh ra khi cắt mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng. Tùy theo vị trí của
mặt phẳng với mặt nón mà ta được giao là các đường elip, hypebol hay parabol.
Định nghĩa đường cônic
Cho điểm
F
cố định và đường thẳng
cố định không đi qua
F
. Tập hợp
các điểm
M
sao cho tỉ số
);( Md
MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là
2
2
b
y
1
Phương trình tiếp tuyến của
E
tại
000
; yxM
là:
2
0
a
xx
2
0
b
yy
1
xx
-
2
0
b
yy
1
17
c. Tiếp tuyến của Parabol
Cho parabol có phương trình
pxy 2
2
,
000
;yxM
là một điểm của parabol
Phương trình tiếp tuyến của parabol tại
000
; yxM
là:
xxpyy
là tiếp tuyến của Hypebol:
2
2
a
x
-
2
2
b
y
1
khi và chỉ khi:
0
22222
CCBbAa
c) Đường thẳng
là tiếp tuyến của parabol
pxy 2
2
khi và chỉ khi :
ACBp 2
22
Trong đó
00
; yx
là tọa độ của tiếp điểm
0
M
, nghĩa là :
2
2
0
a
x
1
2
2
0
b
y
(3)
Vì hai phương trình (1) và (2) đều là phương trình tổng quát của đường
thẳng
nên
CBA ;;
phải tỷ lệ với : (
2
0
2
0
,0
Thay thế các giá trị này vào (3) ta có :
22
24
aC
Aa
1
22
24
bC
Bb
hay:
22222
CBbAa
b) Chứng minh tương tự câu a)
18
c)
là tiếp tuyến của parabol:
pxy 2
;; pxyp
do đó:
A
0
;
0
x
A
C
;
0
y
-
A
Bp
Thay
00
, yx
từ các đẳng thức trên vào (5) ta được :
ACpB 2
2
rèn luyện cho học sinh xác định chính xác dạng chính tắc của đường cônic, các
19
thuộc tính của chúng: tâm sai, tiêu cự, đường chuẩn điểm khác biệt giữa elip,
parabol, hypebol là gì? ; các mối quan hệ của chúng.
Dự kiến các sai lầm đối với dạng bài tập này là:
- Kiến thức chưa vững dẫn đến sai lầm về các dạng chính tắc, dấu hiệu
nhận biết của ba đường cônic.
- Sai lầm trong xác định a, b.
b. Ý nghĩa mục đích của biện pháp
Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, sử lý tình huống,
khắc sau kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mang tính chất củng
cố lý thuyết.
Như vậy các kĩ năng thực hành giải có thể rèn luyện cho học sinh khi áp
dụng biện pháp này là:
+ Xác định dấu hiệu riêng qua ngôn ngữ của bài toán: Kĩ năng xác định a,
b, c
+ Kĩ năng thao tác biểu diễn kết quả suy nghĩ.
+ Kĩ năng chuyển hóa quan hệ.
+ Kĩ năng biểu diễn kết quả các quan hệ đã cho.
c. Tổ chức thực hiện
Biện pháp được áp dụng chủ yếu trên 2 dạng toán sau:
+ Dạng: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của ba đường cônic.
Bài toán 1: Phương trình chính tắc và các thuộc tính của
E
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu của
Trục lớn
aAA 2
21
nằm trên Ox
B
1
F
1
F
2
20
Trục bé
bBB 2
21
nằm trên Oy
Các đỉnh:
0;,0;
21
aAaA
;
bBbB ;0,;0
21
aexaMF
2
1
Tâm sai
a
c
e
.
* Khả năng 2: Nếu
ba
, ta được:
+ (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng
b2
chứa hai tiêu điểm
cFcF ;0,;0
21
với
222
abc
+ (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng
a2
.
+ Tâm sai
với I(
);
thành hệ trục IXY với công thức đổi trục:
Yy
Xx
yY
xX
ta được
E
:
2
2
2
a
x
-
2
2
b
y
=
1
Copyright: Tài liệu đại học ©