BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ MÙI
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
QUAN TRỌNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV
SƠN LA −2013

4
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Trọng Lưỡng và Thạc sỹ
Nguyễn Thanh Tùng−Giảng viên bộ môn giải tích trường Đại
học Tây Bắc đã tận tâm hướng dẫn,động viên để em có thể hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các
thầy cô giáo trong khoa Toán - Lí- Tin,thư viện trường đại học
Tây B ắc đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, gi úp đỡ em
trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Sơn La, ngày tháng năm
Sinh viên
Nguyễn Thị Mùi
0.1 PHẦN MỞ ĐẦU 5
0.1 PHẦN MỞ ĐẦU
0.1.1 Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là bộ môn khoa học Toán học
cơ bản vừa mang tính lý thuyết cao vừa mang tính ứng dụng
rộng rãi,nó được ra đời vào khoảng thế kỷ thứ XVII do nhu
cầu của cơ họ c . Nhắc đến phương trình đạo hàm riêng chúng

là nhiên cứu các t ính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng
để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng cũng như
sự biểu diễn tiệm cận của ng hiệm suy rộng gần các nghiệm kì dị
của phương trình đạo hà m riêng tuyến t ính. Nhằm giúp những
bạn sinh viên,độc giả yêu thích bộ môn phương trình đạ o hàm
riêng nói chung và bản thân em nói riêng về môn khoa học này
em lựa chọn nghi ên cứu đề t ài: Một số bất đẳ ng thức quan trọng
trong k hông gian Sobolev.
0.2 Đối tượng,phương pháp phạm vi nghiên cứu
0.2.1 Đối tượng
Nghiên cứu các tính chất,các bất đẳng thức,các định lý nhúng
trong k hông gian Sobolev
0.2.2 Phương pháp nghiên cứu
• Nghiên cứu lý t huyết
• Sưu tầm tà i liệu
• Trao đổi với giáo viên hướng dẫn trên cơ sở đó phân tích,diễn
giải,làm rõ và trình bày có hệ thống vấn đề đặt ra
0.2.3 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên các không gian hàm đặc biệt là các không gian
Sobolev.
0.3 Mục đích,nhiệm vụ 7
0.3 Mục đích,nhiệm vụ
0.3.1 Mục đích
Nhằm khám phá và hiểu rõ hơn về phương trình đạo hàm riêng
hiện đại đặc biệt là nghiên cứu sâu các tính chất của khô ng g ian
Sobolev với các tính chất,các bất đẳng thức và các định lý nhúng.
0.3.2 Nhiệm vụ
Với mục đích đặt ra nhiệm vụ của nghiên cứu là phát biểu và
chứng minh,trình bày có hệ thống lôgic chặt chẽ các tính chất,các
bất đẳng thức một số định lý nhúng trong không gian Sobolev

1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . . 16
1.3.1 Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . 16
1.3.2 Không gian H¨oder . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Không gian L
p
(U) . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Một số kiến thức về l ý thuyết độ đo . . . . . . . . 16
1.4.1 Độ đo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16
1.4.3 Hàm đo được và tích phân . . . . . . . . . 16
1.4.4 Phép toán vi phân . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Không gian Sobolev 18
2.1 Hàm trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình . . . . . . . . 18
2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình . . . . . 18
2.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Các tính chất của đạo hàm suy rộng . . . 19
2.2.2 Hàm trung bình của đạo hàm suy rộng . . 19
2.2.3 Mối liên hệ giữa đạo hà m suy rộng và liên
tục tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Không gian Sobol ev W
m
p
(U) và
◦
W
m
p
(U) . . . . . . 19

u(x + he
i
) − u(x)
h
, nếu giới hạn này tồn tại.
2. Ta thường viết u
x
i
thay cho
∂u
∂x
i
3. Tương tự u
x
i
x
j
=
∂
2
∂x
i
∂x
j
4. △u =
n

i=1
u
x

V ⊂ U và V
là tập compact.
• ∂U là biên của U,
U = U ∪ ∂U- là bao đóng của U.
B(x, r) = { y ∈ R
n


|x − y| < r} là hình cầu mở trong R
n
với
tâm x và bán kính r > 0.
B[x, r] = {y ∈ R


|x − y| ≤ r} là hình cầ u đóng với tâm x,
bán kính r > 0.
α(n) là thể tích hình cầu đơn vị trong R
n
, α(n) =
π
n
2
Γ(
n
2
+ 1)
Kí hiệu 12
• u
+

udy =
1
α(n)r
n

B(x,r)
udy−là giá trị trung bình của hàm
u tr ên B(x, r).
• α = (α
1
, · · · , α
n
) là đa chỉ số với các thành phần nguyên
không âm, |α| = α
1
+ · · · + α
n
. Giả sử ζ = (ζ
1
, · · · , ζ
n
) ∈ R
n
.
Khi đó ζ
α
= (ζ
α
1
1

∂x
n

• Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả
các đi ểm m à hàm đó khác không và kí hiệu su pp.
supp u={
x ∈ U | u(x) = 0} Khi supp u ⊂⊂ U và supp u là
compact thì ta nói u có giá compact trên U Kí hiệu C
m
(U)
là t ập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp
m trong miền U, 0 ≤ m ≤ ∞, C
0
(U) = C(U), C
m
◦
(U) =
C
◦
(U) ∩ C
m
(U), Ở đó C
◦
(U) là t ập hợp tất cả các hà m liên
tục t rong U và có giá compact thuộc U.
C
∞
◦
(U) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact
trên U trù mật trong L

|u(x)| .
• W
m
p
(U) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm (x) ∈
L
p
(U), sao cho D
α
u ∈ L
p
(U) với mọi |α| ≤ m và có chuẩn
được xác định bởi công thức:
u
W
1
p
(U)
=


m

|α|=0

U
|D
α
u|
p

1.1.5 Hội tụ đều
1.2 Một số bất đẳng thức cơ bản
1.2.1 Bất đẳng thức Jensen
Nếu u là hàm lồi trên K với mọi x
i
∈ K, a
i
∈ [0, 1] và
k

i=1
a
i
= 1
thì
k

i=1
a
i
u(x
i
) ≥ u

k

i=1
a
i
x

q
Ở đây C(ǫ) = (ǫp)
−q
p
−1
1.2.4 Bất đẳng thức H¨oder
Nếu 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu u ∈ L
p
(U), v ∈ L
q
(U)
ta có:
uv
1
≤ u
p
. v
q
1.2.5 Bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát
Cho 1 ≤ p
1
, , p
m
≤ ∞,

dx

1
p
1


U
|u
2
|
p
2
dx

1
p
2
· · ·


U
|u
m
|
p
m
dx

1

1.3 Một số kiến thức về giải tích hàm 16
1.2.6 Bất đẳng thức Minkowshi
Giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, u, v ∈ L
p
(U). Khi đó
u + v
p
≤ u
p
+ v
p
1.2.7 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn L
p
(U)
Giả thiết 1 ≤ s ≤ t ≤ ∞ ,
1
r
=
θ
s
+
(1−θ)
t
thêm nữa u ∈
L
s
(U) ∩ L
t
(U). Khi đó u ∈ L
r

Chương 2
Không gian Sobolev
2.1 Hàm trung bình
2.1.1 Định nghĩa hàm trung bình
2.1.2 Các tính chất của hàm trung bình
2.2 Đạo hàm suy rộng
Định n ghĩa 2.1. ( Hàm thử ) Cho φ : U −→ R, t hì φ gọi là
hàm thử trên U nếu φ ∈ C
∞
0
(U)
Định nghĩa 2.2. (Đạo hàm suy rộng) Giả sử u, v ∈
L
1,loc
(U), α = (α
1
, , α
n
) là một vectơ với các thành phần nguyên
không âm .Ta nói v là đ.h.s.r của u và được viết bởi D
α
u = v nếu
với mọi φ ∈ C
∞
c
(U) thì:

U
u(x)D
α

Định nghĩa 2.3. Giả sử u ∈ L
p
(U) và tồn tại đạo hàm suy rộng
cấp α là D
α
u với |α| ≤ m sao cho
D
α
u ∈ L
p
(U), |α| ≤ m
Thì ta nói rằng u ∈ W
m
p
(U). Ta đưa vào W
m
p
(U) chuẩn xác định
bởi
u
W
m
p
(U)
=


|α|≤m

U

p
(U). Vì vậy
◦
W
m
p
(U) là k hông gian con của W
m
p
(U)
Định lý 2.1. ( Bất đẳng thức Friedrichs)
Giả sử U là miền bị chặn trong R
n
. Khi đó tồn tại một hằng số
C
U
phụ thuộc vào U sao cho
u
p
≤ C
U


U
n

i=1
|
∂u
∂x

: a < x
1
< b} .
Đặt u (x) = 0 ngoài miền U. Khi đó
u(x) =

x
1
a
∂u(t, x
2
, , x
n
)
∂t
dt
Ở đó x = (x
1
, x
2
, , x
n

 
=x
′
) = (x
1
, x
′

)
∂t
|dt

p
≤

b

a




∂u(t, x
′
)
∂t




p
dt

p.
1
p

b

U
|u|
p
dx =

Π
|u|
p
dx ≤ (b − a)
p
q

Π

b

a




∂u(t, x
′
)
∂t




p

Suy ra
u
p
≤ (b − a)


U
|
∂u
∂t
|
p
dx

1
p
Với C
U
= (b − a) thì t a có
u
p
≤ C
U


U
n

i=1
|

h
) với mọi h > 0
2. u
h
→ u trong W
m
p,loc
(U) khi h → 0 hay tương đương
lim
h→0
u
h
− u
W
m
p,loc
(U)
= 0
2.4.2 Xấp xỉ bởi các hàm mịn
Tiếp theo chúng ta chứng tỏ r ằng có thể tìm được cá c hàm mịn
để có thể x ấp xỉ với các hàm trong W
m
p
(U). Trong phần dưới đây
chúng ta không có giả định về độ mịn của biên U
Định lý 2.3. Xấp xỉ toàn cục bởi các hàm mịn
Giả sử U ⊂ R
n
bị chặn và u ∈ W
m

1 ≤ p < ∞. Khi đó tồn tại các hàm u
m
∈ C
∞
(
U) thỏa mãn
u
m
→ u trong W
m
p
(U).
2.5 Vết 22
2.4.4 Mở rộng
Định lý 2.5. (Định lý mở rộng) Giả sử U ∈ R
n
mở ,bị chặn
trong và ∂U thuộc C
1
Chọn một tập mở bị chặn V thỏa mãn
U ⊂⊂ V t hỏa mãn. Khi đó tồn tại một toán tử tuyến tính bị
chặn
E : W
1
p
(U) −→ W
1
p
(R
n

p
(U) −→ L
p
(U) thỏa mã n
(i) T u = u


∂U
nếu u ∈ W
1
p
(U) ∩ C(
U)
(ii) T u
p,∂U
≤ C u
W
1
p
(U)
, ∀u ∈ W
1
p
(U)
C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p,∂U
Định lý 2.7. Vết -0 các hàm trong W
1
p
(U) Giả sử U ∈ R
n

L
p
∗
(R
n
)
≤ C Du 
L
p
(R
n
)
Chứng minh
+) Trước hết t a xét với p=1,khi đó p
∗
=
np
n − p
. Vì u ∈ C
∞
0
(R
n
)
nên suppu ∈ R
n
. Với mỗi i = 1, 2, , n ta có
u(x) =
x
i

, y
i
, x
i+1
, , x
n
)dy
i
|
≤
+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y
i
, x
i+1
, , x
n
)|dy
i
Và do đó
|u(x)|
n
≤


· · ·


+∞

−∞
|Du(x
1
, x
2
, , y
n
)|dy
n


2.6 Các bất đẳng thức Sobolev 24
Hay
|u(x)|
n
≤
n

i=1
+∞

−∞
|Du(x
1
, x

i+1
, , x
n
)|dy
i

1
n−1
=
n

i=1


+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
i−1
, y − i, x
i+1
, , x
n
)|dy
i


1

, x
i+1
, , x
n
)|dy
i

1
n−1
dx
1
=


+∞
−∞
|Du(x
1
, , x
n
)dy
1
|

1
n−1
·




Áp dụng bất đẳng thức H¨oder dạng tổng quát cho biểu thức sau
cùng ta được
+∞

−∞
n

i=1


+∞

−∞
|D(x
1
, , x
i−1
, y
i
, , x
n
)|dy
i


1
n−1
dx
1
=


−∞
|u(x)|
n
n−1
≤

+∞

−∞
|Du(x
1
, , x
n
)dy
1

1
n−1
·
·
n

i=1

+∞

−∞

+∞

n
n−1
dx
1
dx
2
≤
+∞

−∞

+∞

−∞
|Du|dy
1

1
n−1
dx
1
·
+∞

−∞
n

i=1,i=2
(I
i


−∞
|u(x)|
n
n−1
dx
1
dx
2
≤
+∞

−∞

+∞

−∞
|Du|dy
1

1
n−1
dx
1
·
·
+∞

−∞


|Du(x
1
, · · · , y
i
, · · · , x
n
)dy
i
dx
1
dx
2
Tiếp tục quá trình trên ta được

R
n
|u|
n
n−1
dx
1
≤
n

i=1

+∞

−∞
· · ·

R
n
|u|
δn
n−1
dx ≤


R
n
|D|u|
δ
|dx

n
n−1
Hay


R
n
|u|
δn
n−1
dx

n
n−1
≤


Bây giờ xác đị nh δ > 1 sao cho
δn
n − 1
=
(δ − 1)p
p − 1
=⇒ δ =
p(n − 1)
n − p
> 1
Khi đó (3) đưa đến


R
n
|u|
np
n−p
dx

n−1
n−p
≤


R
n
|u|
np
n−p

p
dx

1
p
Theo định nghĩa p
∗
thì ta có:


R
n
|u|
p
∗
dx

1
p
∗
≤ C


R
n
|Du|
p
dx

1