Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 σ- đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Các tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Thác triển độ đo từ một đại số lên một σ- đại số . . 9
1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Định nghĩa và các điều kiện tương đương . . . . . . . 11
1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được . . . . . . . . . . 12
1.6.3 Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Độ đo hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 σ- đại số Borel trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.2 Hàm số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Tích phân của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . 17
1.9.2 Tích phân của hàm đo được không âm . . . . . . . . 19
1
1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức . . . . . . . 20
2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên 21
2.1 Định nghĩa không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . 21
2.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . 21
2.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . 33

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
- Trình bày một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác
suất, từ đó nhằm cung cấp tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành
Toán trường Đại học Tây Bắc.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
3
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên
đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo
được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân. Từ đó làm cơ sở hình thành
nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong xác suất.
- Nghiên cứu một số tính chất của biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác
suất.
3. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về một số tính chất của
biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp
kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn
thành khóa luận.
5. Những đóng góp của khóa luận
Khóa luận đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản đầy đủ một số tính chất của
biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất.
6. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận được chia thành 2 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức
cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ
đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel,

⊂ C là dãy các tập tùy ý trong đại số C thì tồn tại dãy các
tập rời nhau {B
n
}
n∈N
∗
⊂ C sao cho B
n
⊂ A
n
, (∀n ∈ N
∗
) và
∞

n=1
B
n
=
∞

n=1
A
n
.
5
Bổ đề 1.4. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại
số các tập con của X.
Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Bao giờ cũng tồn tại một đại
số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất cả các tập con của


n=1
A
n
∈ F.
Bổ đề 1.7. Giao của một họ tùy ý các σ- đại số các tập con của X là một
σ- đại số các tập con của X.
Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Kí hiệu F(A) là giao của tất
cả các σ- đại số các tập con của X chứa A, khi đó F(A) là một σ- đại số
gọi là σ- đại số các tập con của X sinh bởi A.
1.3 Độ đo trên đại số tập hợp
1.3.1 Hàm tập hợp
Định nghĩa 1.8. Cho X là tập tùy ý và C là họ các tập con của X chứa tập
∅. Ta gọi một hàm µ xác định trên C nhận giá trị trên R = R ∪{−∞; +∞}
6
là một hàm tập hợp. Chúng ta quy ước rằng các phép toán viết ra dưới đây
trên R đối với giá trị của hàm µ luôn có nghĩa.
a) Hàm tập hợp µ gọi là cộng tính nếu với A, B ∈ C, A ∩B = ∅, A ∪B ∈ C
thì µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
b) Hàm tập hợp µ được gọi là σ- cộng tính nếu với mọi dãy tập {A
n
}
n=1,∞
⊂ C
mà
A
i
∩ A
j
= ∅, (i = j),

j
= ∅, (i = j),
m

i=1
A
i
∈ C
thì
µ

m

i=1
A
i

=
m

i=1
µ(A
i
).
2) Nếu hàm µ là σ- cộng tính và µ(∅) = 0 thì µ hữu hạn cộng tính. Tuy
nhiên điều ngược lại không đúng.
1.3.2 Độ đo trên đại số các tập hợp
Định nghĩa 1.10. Một hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con
của tập hợp X được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện
sau:

}
n∈N
∗
⊂ C, A ∈ C, A ⊂
∞

n=1
A
n
thì µ(A) 
+∞

n=1
µ(A
n
);
d) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
i
∩ A
j
= ∅, (i = j), A ∈ C,
∞

n=1
A


= 0;
b) Nếu A, B ∈ C, µ(B) = 0 thì µ(A ∪ B) = µ(A).
Định lý 1.15. Cho µ là độ đo trên đại số C. Khi đó
a) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊂ A
2
⊂ ⊂ A
n
⊂ ,
∞

n=1
A
n
∈ C thì
µ

lim
n→∞
A
n

= µ

1
) < +∞
thì
µ

lim
n→∞
A
n

= µ

∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
µ(A
n
).
Định lý 1.16. Cho µ là hàm tập hợp không âm, cộng tính trên đại số C sao
cho µ(∅) = 0. Khi đó µ là một độ đo nếu nó thỏa mãn một trong hai điều
kiện sau:
8
a) Nếu {A
n
}

= lim
n→∞
µ(A
n
).
b) Nếu {A
n
}
n∈N
∗
⊂ C, A
1
⊃ A
2
⊃ ⊃ A
n
⊃ ,
∞

n=1
A
n
= ∅ thì
lim
n→∞
µ(A
n
) = 0.
1.4 Mở rộng độ đo
1.4.1 Độ đo ngoài

).
Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ
∗
(A) ≤ µ
∗
(B).
Định lí sau cho phép xây dựng một độ đo qua độ đo ngoài.
Định lý 1.18. (Carathéodory) Cho µ
∗
là một độ đo ngoài trên X và L là
họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn:
µ
∗
(E) = µ
∗
(E ∩ A) + µ
∗
(E \ A)
với mọi E ⊂ X. Khi đó:
a) L là một σ- đại số;
b) µ = µ
∗
|
L
là một độ đo trên L.
Độ đo µ = µ
∗
|
L
tức là µ(A) = µ

n=1
A
n
⊃ A

(1.1)
là một độ đo ngoài trên X và µ
∗
(A) = m(A), ∀A ∈ C. Hơn nữa, mọi tập
thuộc σ- đại số F(C) sinh bởi C đều là µ
∗
- đo được.
Định nghĩa 1.20. Ta nói một độ đo µ trên σ- đại số F là độ đo đủ nếu
mọi tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo không đều thuộc F và do
đó có độ đo không.
Định lý 1.21. Nếu m là một độ đo trên đại số C các tập con của X thì tồn
tại một độ đo µ trên σ- đại số L ⊃ F(C) ⊃ C sao cho:
a) µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C;
b) µ là độ đo hữu hạn nếu m hữu hạn, µ là σ- hữu hạn nếu m là σ- hữu hạn;
c) µ là độ đo đủ;
d) Tập A thuộc họ L khi và chỉ khi A có thể biểu diễn dưới dạng
A = B\N hoặc A = B ∪ N
với B ∈ F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ
∗
(E) = µ(E) = 0, µ
∗
là độ đo ngoài xác
định từ độ đo m trên đại số C bởi công thức (1.1).
1.5 Độ đo Lebesgue trên đường thẳng
Ta trang bị một độ đo m trên R xác định trên đại số C sinh bởi lớp J các

rời nhau. Đặt:
m(A) =
n

i=1
m(I
i
). (1.2)
Ta thấy số m(A) ∈ [0, +∞] xác định bởi công thức trên không phụ thuộc
vào cách biểu diễn A dưới dạng hợp các khoảng rời nhau.
Định lý 1.22. Hàm tập hợp m xác định bởi công thức (1.2) là một độ đo
trên đại số C = C(J) sinh bởi họ tất cả các khoảng trên R.
Bây giờ áp dụng Định lý 1.21 đối với độ đo m trên đại số C = C(J), ta
thu được độ đo µ mở rộng của độ đo m tới σ- đại số L ⊃ F(C) ⊃ C. Từ đó
ta gọi tập A ∈ L là tập đo được Lebesgue trên R hay gọn hơn là L- đo được.
Vì F(J) là σ- đại số Borel trong R mà F(J) ⊂ F(C) ⊂ L nên mọi tập Borel
là L- đo được.
Ta có định lý tiêu chuẩn đo được Lebesgue trên R:
Định lý 1.23. Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau:
a) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ
∗
(G\A) < ε.
b) Với mỗi ε > 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ
∗
(A\F ) < ε. Trong
đó, µ
∗
là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ.
Định lý 1.24. Mọi tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A sai

A.
1.6.2 Các phép toán đối với hàm đo được
Định lý 1.29. 1) Nếu f đo được trên A thì với mọi α > 0 hàm |f|
α
cũng
đo được.
2) Nếu f, g đo được trên A thì các hàm
f ± g, fg, max(f, g), min(f, g)
cũng đo được. Ngoài ra nếu (∀x ∈ A) g(x) = 0 thì
f
g
cũng đo được.
12
Định lý 1.30. Nếu {f
n
}
n∈N
∗
là dãy hàm số đo được và hữu hạn thì các hàm
sup
n
f
n
, inf
n
f
n
, lim
n
f












X nếu a  0
A nếu 0 < a  1
∅ nếu a > 1
Vì vậy hàm đặc trưng χ
A
đo được trên X khi và chỉ khi A đo được, nghĩa là
A ∈ F.
Định nghĩa 1.31. Hàm số f : X → R được gọi là hàm đơn giản trên tập
A ⊂ X nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Giả sử f là hàm đơn giản trên A và f(A) = {a
1
; a
2
; ; a
n
}, (a
i
∈ R). Ta
đặt

hàm đơn điệu tăng.
13
1.7 Độ đo hữu hạn
Định nghĩa 1.33. Một độ đo hữu hạn trên không gian độ đo (X, F, µ) là
một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞) thỏa mãn
µ

∞

n=1
A
n

=
∞

n=1
µ(A
n
)
với A
1
, A
2
, . . . là dãy bất kì các tập rời nhau trong F.
Mệnh đề 1.34. Cho µ là độ đo hữu hạn trên F. Khi đó ta có
i) µ(∅) = 0;
ii) Nếu A
1
, . . . , A


m
A
m

khi
n → ∞;
v) Nếu A
1
⊇ A
2
⊇ . . . với A
n
∈ F, n = 1, 2, . . . thì µ(A
n
) ↓ µ


m
A
m

khi
n → ∞.
Mệnh đề 1.35. Giả sử µ : F → [0, ∞), µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B) với mọi
A, B ∈ F, A∩B = ∅ (tức µ là hữu hạn cộng tính). Khi đó µ là σ- cộng tính
nếu và chỉ nếu µ(E
n
) ↓ 0 với mỗi dãy (E
n

= [a, b] với bất kì a ≤ b;
v) C
5
= (−∞, a] với bất kì a ∈ R;
vi) C
6
= [a, ∞) với bất kì a ∈ R;
vii) C
7
= (a, b] với bất kì a < b;
viii) C
8
= [a, b) với bất kì a < b;
ix) Tập con đóng bất kì trong R.
Mệnh đề 1.38. Cho F(đóng) là σ- đại số các tập con trong R sinh bởi các
tập con đóng trong R và F(compact) là σ- đại số các tập con trong R sinh
bởi các tập con compact trong R. Khi đó ta có
F(đóng) = F(compact) = B(R).
1.8.2 Hàm số Borel
Định nghĩa 1.39. Cho (X, F) là một không gian đo, f : X → R là một
hàm số. Khi đó f được gọi là hàm Borel nếu f
−1
(G) ∈ F với G là tập mở
trong R.
Mệnh đề 1.40. Hàm f : X → R là hàm Borel nếu và chỉ nếu f
−1
(A) ∈ F
với mỗi A ∈ B(R).
Mệnh đề 1.41. Cho C là tập hợp các tập con trong R thỏa mãn F(C) = B(R)
và hàm f : X → R. Khi đó f là hàm Borel nếu và chỉ nếu f

} là dãy các hàm Borel
trên X. Giả sử tồn tại f(x) = lim
n
f
n
(x) với mỗi x ∈ X. Khi đó f là hàm
Borel.
Định nghĩa 1.47. Cho (X, F) là không gian đo và f : X → C. Ta nói rằng
f là hàm Borel nếu Re f và Im f là các hàm Borel.
Mệnh đề 1.48. Cho f : X → C là hàm Borel. Khi đó |f| là hàm Borel và
tồn tại hàm Borel α : X → C với |α(x)| = 1, ∀x ∈ X thỏa mãn
f(x) = α(x)|f(x)|.
Định nghĩa 1.49. Với E ∈ F ta có hàm chỉ tiêu I
E
của E được xác định
bởi
I
E
(x) =





1 nếu x ∈ E
0 nếu x /∈ E
là một hàm Borel.
Một hàm s : X → R được gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và
chỉ nhận hữu hạn giá trị.
16

i) 0 ≤ s
1
≤ s
2
≤ . . . ≤ f,
ii) s
n
(x) → f(x) khi n → ∞, ∀x ∈ X.
Định nghĩa 1.51. Một tập hợp M các tập con của X là một lớp đơn điệu
nếu
i) A
1
⊆ A
2
⊆ . . . là dãy tăng trong M thì
∞

i=1
A
i
∈ M.
ii) B
1
⊇ B
2
⊇ . . . là dãy giảm trong M thì
∞

i=1
B

∩ E).
17
Đặc biệt với A ∈ F, tích phân của hàm chỉ tiêu của A trên X chính là độ
đo của A:

X
I
A
dµ = µ(A).
Nếu µ là độ đo Lebesgue trên [0, 1] và A = [a, b] với 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 thì ta có

[0,1]
I
[a,b]
dµ = b − a
thường gọi là tích phân của I
[a,b]
trên [0, 1].
Nếu X = R và µ là độ đo Lebesgue - Stieltjes trên R sinh bởi hàm
F (x) =
x

−∞
ρ(t)dt
với ρ là hàm khả tích Riemann không âm, khi đó với a < b ta có

R
I
[a,b]
dµ = µ([a, b]) = F(b) − F (a) =

iii) Nếu f(x) = 0 với mọi x ∈ E thì

E
fdµ = 0.
iv) Nếu f ≥ 0, c ≥ 0, c là hằng số thì

E
cfdµ = c

E
fdµ.
v) Nếu µ(E) = 0, f ≥ 0 thì

E
fdµ = 0.
vi) Nếu f ≥ 0 thì

E
fdµ =

X
I
E
fdµ.
Mệnh đề 1.56. Cho s, t là các hàm đơn giản bất kì với s ≥ 0, t ≥ 0. Với
mỗi E ∈ F, đặt ϕ(E) =

E
s dµ. Khi đó ϕ là độ đo hữu hạn trên không gian
đo (X, F). Hơn nữa ta có

fdµ
khi n → ∞.
Hệ quả 1.58. Giả sử f ≥ 0 và g ≥ 0, f và g khả tích. Khi đó f + g khả
tích và

X
(f + g)dµ =

X
fdµ +

X
g dµ.
19
1.9.3 Tích phân của hàm đo được giá trị phức
Định nghĩa 1.59. Hàm giá trị phức f trên X được gọi là khả tích (Lebesgue)
theo µ nếu |f| khả tích. Tập hợp tất cả các hàm f như thế được kí hiệu là
L
1
(X, µ).
Với f = u + iv ∈ L
1
(X, µ), ta có

X
fdµ =

X
u
+

g dµ.
Định lý 1.61. Với f ∈ L
1
(X, µ) bất kì ta có




X
f dµ



≤

X
|f|dµ.
Định lý 1.62. (Định lý Lebesgue về sự hội tụ bị chặn). Cho (f
n
) là
dãy các hàm đo được giá trị phức trên X thỏa mãn
i) f
n
(x) → f(x) khi n → ∞ với mọi x ∈ X,
ii) Tồn tại g ∈ L
1
(X, µ) sao cho |f
n
(x)| ≤ g(x) với mọi n ∈ N và x ∈ X.
Khi đó f ∈ L

(X, µ). Khi đó fg ∈ L
1
(X, µ) và




X
fg dµ



≤

X
|fg|dµ ≤


X
|f|
2
dµ

1
2


X
|g|
2

: R → R được xác định bởi
F
f
(x) = P(f ≤ x) = P({ω : f(ω) ≤ x}).
F
f
được xác định rõ khi {ω : f(ω) ≤ x} ∈ S, với x ∈ R.
Mệnh đề 2.3. Hàm phân phối F
f
có các tính chất sau:
i) 0 ≤ F
f
(x) ≤ 1 với mọi x ∈ R.
ii) F
f
(x) ≤ F
f
(y) với x ≤ y.
iii) lim
x→−∞
F
f
(x) = 0 và lim
x→+∞
F
f
(x) = 1.
iv) F
f
liên tục phải, tức là với mỗi x ∈ R ta có F

n
) → P


n
E
n

= P(∅) = 0
khi n → ∞. Với ε > 0 cho trước, chọn n
0
thỏa mãn P(E
n
0
) < ε. Khi đó với
mọi x < −n
0
ta có
0 ≤ F
f
(x) ≤ F
f
(−n
0
) = P(E
n
0
) < ε.
Do đó lim
x→−∞

thỏa mãn P(A
n
0
) > 1 − ε. Khi đó với mọi
x > n
0
, ta có
1 ≥ F
f
(x) ≥ F
f
(n
0
) = P(A
n
0
) > 1 − ε.
22
Do đó ta có lim
x→+∞
F
f
(x) = 1.
iv) Cố định x ∈ R, với n ∈ N ta đặt B
n
= {ω : f(ω) ≤ x +
1
n
}. Ta có
B

f
(x).
Với ε > 0 cho trước, chọn n
0
sao cho
|P(B
n
0
) − F
f
(x)| < ε hay |F
f
(x +
1
n
0
) − F
f
(x)| < ε.
Ta có 0 ≤ F
f
(x +
1
n
0
) − F
f
(x) < ε.
Chọn h thỏa mãn 0 < h <
1

x<a
F
f
(x).
Nếu F
f
là hàm tăng thì cận trên đúng của nó không lớn hơn F
f
(a). Nói cách
khác, F
f
(a) chặn trên tập {F
f
(x) : x < a} và do đó nó lớn hơn hoặc bằng
cận trên đúng của tập này. Như vậy F
f
có giới hạn trái tại mỗi điểm thuộc
R, nhưng giá trị giới hạn này có thể nhỏ hơn giá trị thực của F
f
tại điểm đó.
Nghĩa là nếu lim
x↑a
F
f
(x) = F
f
(a−) thì F
f
(a−) ≤ F
f

} với n ∈ N. Ta có
23
A
1
⊆ A
2
⊆ . . . và

n
A
n
= {ω : f(ω) < a}.
Theo Mệnh đề 1.34 ta có
F
f
(a −
1
n
) = P({ω : f(ω) ≤ a −
1
n
}) = P(A
n
) ↑ P


n
A
n


n
= {a ∈ J : "Bước nhảy của F
f
tại a" ≥
1
n
}.
Giả sử a
1
, a
2
, . . . , a
k
∈ J
n
với a
1
< a
2
< . . . < a
k
. Chọn a
0
là số thực bất kì
sao cho a
0
< a
1
. Khi đó 0 ≤ F
f

k

i=1
[F
f
(a
i
) − F
f
(a
i−1
)] ≥ k
1
n
.
Từ đó ta có k ≤ n, do đó J
n
hoặc là tập rỗng, hoặc là tập không chứa nhiều
hơn n phần tử. Mặt khác ta có J =

n
J
n
nên J đếm được.
Hệ quả 2.8. Với bất kì biến ngẫu nhiên f nào đều tồn tại tập đếm được
J ⊂ R sao cho P(f = x) = 0 với mọi x ∈ R\J.
Chứng minh. Với f là biến ngẫu nhiên, đặt J ⊂ R là tập các bước nhảy khác
0 của F
f
. Ta có J là một tập đếm được. Khi đó ta có P(f = x) = 0 với

ν((1, ∞)) = ν(R) − ν((−∞, 1]) = 1 − F (1) = 0.
Với 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, ta có
ν((a, b)) = ν([a, b)) = ν((a, b]) = ν([a, b]) = b − a.
Lúc này ν hoàn toàn là một độ dài.
Định lý 2.10. Giả sử ta có hàm F thỏa mãn các tính chất trong Mệnh đề
2.3. Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên f sao cho F = F
f
.
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chỉ ra một không gian xác suất nơi mà f được
xác định. Đặt Ω = R, S = B(R) và P là độ đo xác suất Lebesgue - Stieltjes
trên (R, B(R)) sinh bởi F.
25