BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ LÀNH

TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
NHỊ THỨC NIU-TƠN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2013
Lời cảm ơn!

Trong quá trình hoàn thành khóa luận này tôi luôn nhận được sự giúp
đỡ và chỉ bảo tận tình của Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý, các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Lí - Tin, phòng đào tạo, phòng quản lý khoa học và quan
hệ quốc tế, thư viện trường Đại học Tây Bắc. Cùng các thầy cô giáo và các
em học sinh trường THPT Tân Lạc, trường THPT Mường Bi, sự động viên và
góp ý của các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Toán.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô giáo - ThS. Nguyễn Hải Lý,
các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ tôi
trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Khóa luận của tôi đã hoàn thành nhưng không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn sinh
viên để khóa luận này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 05 năm 2013
Sinh viên Nguyễn Thị Lành
MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tượng nghiên cứu 2
5. Phạm vi nghiên cứu 2
6. Phương pháp nghiên cứu 3
7. Cấu trúc khóa luận 3
8. Đóng góp của khóa luận 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Cơ sở lí luận 4
1.1.1. Vị trí chức năng của bài tập Toán học 4
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 4
1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán 5
1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán 6
1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn 6
1.2. Cơ sở thực tiễn 8

3.7. Kết luận rút ra từ thực nghiệm 50
KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong thời đại chúng ta đang sống, nhân loại đang bước vào ngưỡng cửa
của nền kinh tế tri thức mà cơ sở của nó là sự phát triển mạnh mẽ như vũ bão
của cuộc cách mạng khoa học - công nghệ. Những phát minh khoa học được áp
dụng nhanh vào sản xuất vật chất và tinh thần.
Các thành tựu khoa học - kĩ thuật - công nghệ trên không chỉ làm biến đổi
quá trình sản xuất của xã hội mà còn kéo theo sự thay đổi cả nội dung, phương
pháp và quá trình giảng dạy, học tập ở mọi cấp học trong nền giáo dục các nước,
kéo nhà trường vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh, dịch vụ, biến nhà
trường thành trung tâm nghiên cứu, phát minh, tạo ra và ứng dụng những thành
tựu khoa học đó.
Mô hình, nội dung và phương pháp giáo dục truyền thống “Học một lần
để có kiến thức sử dụng suốt đời” không còn phù hợp.
Do vậy, động lực của nghiên cứu khoa học và ứng dụng những kết quả
của những phát minh mới của khoa học chính là những đòi hỏi bức bách của
cuộc sống vật chất và tinh thần con người hiện nay.
Giáo dục đào tạo ngày nay không chỉ phục vụ cuộc sống mà còn là cơ
sở để con người phát hiện ra những năng lực tiềm ẩn trong bản thân mình,
khẳng định những năng lực ấy bằng đổi mới bản thân, tạo ra con người mới,
cuộc sống mới.
Những năm gần đây, tình hình dạy học môn toán ở trường THPT đạt được
những thành tựu đáng kể qua các kì thi học sinh giỏi và thi Đại học. Tuy nhiên, thực
trạng dạy và học môn Toán còn không ít vấn đề cần khắc phục.

2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu việc vận dụng kiến thức “Nhị thức Niu-tơn” vào
việc giải các bài toán liên quan.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan.
- Tìm hiểu, phân dạng một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn.
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “Nhị thức Niu-tơn” trong việc
giải một số bài toán ở THPT.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả.
4. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong chương trình toán
THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Toán lớp 11. 3
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp Điều tra - Quan sát.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, danh mục, tài liệu tham khảo khóa
luận gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Tìm hiểu một số bài toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn trong
chương trình toán THPT.
Chương 3: Thử nghiệm sư phạm.
8. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho các giáo viên và học sinh ở trường phổ

Ở bất cứ nội dung toán học nào cũng đều có cơ sở lý thuyết và phần bài
tập tương ứng. Dựa vào lý thuyết để giải quyết các bài tập. Ngược lại bài tập có
tác dụng củng cố lý thuyết, giúp HS hiểu và nắm chắc hơn về lý thuyết. Trong
dạy học nhất thiết phải có bài tập.
Bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn toán. Căn bản là bài tập có
vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua bài tập, học sinh phải thực
hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những

5
hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và
những hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán thể hiện trên ba bình diện:
- Bình diện mục tiêu dạy học
+ Hình thành củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau
trong quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng trong thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và phẩm
chất đạo đức của con người lao động mới.
- Trên bình diện nội dung dạy học trong bài tập toán là giá mang hoạt
động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương diện cài đặt nội dung
để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần
lý thuyết.
- Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt những bài tập như vậy góp phần tổ chức
cho học sinh học tập và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo thực
hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Như vậy bài tập toán học có vai trò rất quan trọng, không chỉ phát triển

1.1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu đối với lời giải. Nói một cách vắn tắt lời giải cần đạt được một số yêu
cầu sau:
+) Lời giải không có sai lầm.
+) Lập luận phải lôgic, phải có căn cứ chính xác, cô đọng, xúc tích.
+) Lời giải phải đầy đủ, phải gọn gàng, dễ hiểu.
Ngoài ba yêu cầu trên trong dạy học bài tập còn yêu cầu lời giải đơn giản
nhất, ngắn gọn nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí.
1.1.5. Một số kiến thức về nhị thức Niu-tơn
a. Công thức nhị thức Niu-tơn
   
n
n
0 n 1 n 1 n 1 n 1 n n k n k k
n n n n n
k0
a b C a C a b C ab C b C a b 1
   

      


b. Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn
Trong biểu thức ở vế phải của công thức
 
1
:
- Số các số hạng của công thức là
n1


Chú ý:
0n
nn
C C 1
.
c. Một số kết quả

       
nn
n
n k k
n n k n n k k
kk
k 0 k 0
a b a b C a b 1 C a b


       



.
Trong khai triển
 
n
ab
:
 Trường hợp
a1

bx
ta có:

n 0 1 2 2 3 3 n n n
n n n n n
(1 x) C C x C x C x ( 1) C x       
.
Chú ý
 Đối với
n
(1 x)
thì hệ số của
k
x
là
k
n
C
.
 Đối với tích
nm
(1 x) (1 x)
thì hệ số của
k
x
là
k
mn
C



Tam giác Paxcan trong
khai triển hệ số
 
n
ab

Dạng khai triển
1
1 1
(a + b)
1
= 1a + 1b
2
1 2 1
(a + b)
2
= 1a
2
+ 2ab + 1b
2
3
1 3 3 1
(a + b)
3
= 1a
3
+ 3a
2
b + 3ab

b
2
+10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ 1b
5

* Nhận xét:

0n
nn
C C 1
: các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1.

 
k n k
nn
C C 0 k n

  
: các số hạng cách đều số hạng đầu và cuối bằng
nhau.


1.2.1. Điều tra giáo viên
Bảng 1
Tên
Trường
Số
lượng
giáo
viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Chất lượng
giảng dạy
1-
10
10-
20
Trên
20
ĐH
CĐ
Trên
ĐH
Giỏi
khá
TB
THPT
Tân Lạc
7
4
2
10
Bảng 2
STT
Nội dung
THPT
Tân Lạc
THPT
Mường Bi

1
Sự phân bố chương
trình môn Toán bậc
THPT so với trình độ
nhận thức của học
sinh.
Phù hợp
5
6
Chưa phù
hợp
1
1


11
Bảng 3
STT
Nội dung
THPT
Tân Lạc
THPT
Mường
Bi
1 Phương pháp dạy
học bài tập phần
“Nhị thức Niu-tơn”
Yêu cầu học sinh chữa bài
tập
1
2
Phân dạng toán trong tiết


3
Những khó khăn
gặp phải khi dạy
bài tập phần “Nhị
thức Niu- tơn”
Lý thuyết
1
1
Bài tập
2
4
Mở rộng
4
3

Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy đa số giáo viên khi dạy học phần
“Nhị thức Niu-tơn” đều chưa chú trọng tới việc phân dạng bài tập cho học sinh.
Vì thế khi gặp các bài toán về “Nhị thức Niu-tơn” học sinh ít xác định được
hướng giải và khi gặp dạng bài tập này thì hầu như giáo viên đều giải toán theo
kiểu: GV giải, học sinh chép.

12
1.2.2. Điều tra đối với học sinh
Bảng 4
STT
Tên

25
5
20
5
0

Nhận xét: Kết quả điều tra cho thấy cả hai lớp ở hai trường điều tra đều
có lực học tương đối tốt, tuy nhiên do đa số các em đều là học sinh thiểu số nên
số học sinh đạt loại khá giỏi còn chưa cao, kết quả học tập của trường THPT
Mường Bi có phần trội hơn so với trường THPT Tân Lạc, có sự chênh lệch đó là
do hoàn cảnh và điều kiện của mỗi trường là khác nhau. Trường THPT Tân Lạc
vì kinh nghiệm quản lí còn chưa thực sự vững mạnh, đội ngũ giáo viên còn non
trẻ nên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy. Hầu hết cơ sở vật chất của cả hai
trường đều còn nhiều khó khăn, các em học sinh đều ở ngoại trú, hoàn cảnh và
điều kiện sống chưa đảm bảo nên chưa có đầy đủ điều kiện để học tập. 13
Bảng 5
STT
Nội dung

5
Phân dạng bài tập
9
7
Vận dụng lý thuyết vào
bài tập
13
11
Ý kiến khác
5
7
4
Phương pháp làm
bài tập về “Nhị
thức Niu-tơn”

Phân dạng bài tập
10
11
Tích cực vận dụng lý
thuyết vào bài tập
13
8
Làm bài tập khi chưa
học lý thuyết
7
7
Ý kiến khác
5
4

hoặc
n
(a b)
.
- Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn để khai triển biểu thức đã biến đổi.
Chú ý:
- Khi khai triển nhị thức
n
(a b)
, ta cần nắm được kĩ năng như sau:
+ Số hạng tổng quát trong khai triển là:
 
k n k k
n
C a b 0 k n


.
+ Từ đó ta có các số hạng trong khai triển như sau:
Khi
k0
ta có số hạng thứ nhất là:
0n
n
Ca

Khi
k1
ta có số hạng thứ hai là:
1 n 1

Ví dụ 1. Khai triển nhị thức sau:
 
5
2a b
.
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ta có:

 
5
0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
5 4 3 2 2 3 5 5
2a b C (2a) C (2a) b C (2a) b C (2a) b C 2ab C b
32a 80a b 80a b 40a b 10ab b
      
     15
Nhận xét: Trong khai triển trên ta đã vận dụng công thức (1), tuy nhiên
trong một số khai triển nhị thức Niu-tơn với lũy thừa đủ nhỏ ta có thể vận dụng
hệ số khai triển nhị thức trong tam giác Pax-can để khai triển:
Từ tam giác Pax-can ta thấy hệ số khai triển lũy thừa 5 là:
1 5 10 10 5 1
         
5 5 4 3 2
2 3 4 5
5 4 3 2 2 3 5 5
2a b 1 2a 5 2a b 10 2a b 10 2a b 5.2ab 1b

,
1
2
22
b x x
33


Ta có:
12 k
k
12 k
2 24 2k
1k
12 k
12 k
3
2 k k
33
22
12 12
k 0 12
3 2 3 2 3 2
x x C x x C x x
4 3 4 3 4 3






8
63
2
7
3 3 3 3
x 8 x 22 x 55 x
4 4 4
4
     
    
     
     

Ví dụ 3. Khai triển biểu thức sau:
 
10
2
1 x 3x
.
Giải
Ta thấy:
   
 
10
10
10
22
1 x 3x 1 x 3x 1 x 1 3x

       

10 10 10 10 10
C C x 1 3x C x 1 3x C x 1 3x C x 1 3x         
       
2 3 10
2 3 10
1 10x 1 3x 45x 1 3x 120x 1 3x x 1 3x .         16
Nhận xét: Khi giải bài toán trên ta có thể áp dụng cho
 
2
a 1, b 3x  
.
 Bài tập đề nghị
Khai triển các biểu thức sau:
a)
5
(2x 1)
; b)
6
(x 2y)
; c)
5
1
x
x




của khai triển và kết hợp với
yêu cầu của đề bài để thiết lập nên một phương trình (mà ẩn của nó thường là k).
- Từ nghiệm tìm được sẽ cho ta kết quả cần tìm.
Chú ý:
- Số hạng thứ k trong khai triển
 
n
ab
là:
 
n k 1
k 1 k 1
kn
T C a b



.
- Số hạng chính giữa trong khai triển
 
n
ab
:
+ Nếu n chẵn: Có một số hạng chính giữa là số hạng thứ
n
1
2

.
+ Nếu n lẻ: Có 2 số hạng chính giữa là số hạng thứ

k
22
10
k0
1 1 1
x x C x
x x x


   
   
   
   
   
   
   
   


Ta có số hạng thứ k+1 trong khai triển trên là:
10 k
1
k
k
2
k 1 10
1
T C x
x




Vậy số hạng thứ 7 trong khai triển
10
1
x
x




là
6
10
4
1
C
x
.
Ví dụ 2. Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển biểu thức
 
7
3
16 3
.
Giải
Áp dụng khai triển nhị thức Niu-tơn ta có:
 
7 7 k
k

2
k 1 7
T C 16 3




Số hạng hữu tỷ trong khai triển thỏa mãn:




    


  
    
  
  
   

  



7k
N
3
7 k 3m k 7 3m (m Z)
k

C C C 79

  
.
Giải
Ta có:
   
 
n n 1 n 2
n n n
2
n! n!
C C C 79 1 79
n 1 ! 2! n 2 !
n 13
n n 1
n 78 n n 156 0
n 12
2

      




       





   
   

   
   


Số hạng tổng quát của khai triển trên là
16
16 k
k
5
k 1 12
T C x




Số hạng không phụ thuộc
x
thỏa mãn điều kiện:
16
16 k 0
k5
5
k N,k n










19
Giải
a) Khai triển
 
21
3
x xy
có
21 1 22
số hạng nên có 2 số hạng đứng giữa là
11 và 12.
 Số hạng thứ 11 là
 
 
21 10
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y


.

20
1 11
2

.
Số hạng thứ 11 là
 
10
10
65 20
7
2
10 10
63
4
3
20 20
C x xy C x y











.

d) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển
16
2
x
x




.
2.3. Bài toán 3: Tìm hệ số trong khai triển Niu-tơn
2.3.1. Tìm hệ số của
k
x
trong khai triển nhị thức
 Phương pháp
- Viết khai triển Niu-tơn (1) với a, b được chọn từ đầu bài. Trong một số
trường hợp phải xác định số n trước (thường n là nghiệm của một phương trình
có liên quan đến số tổ hợp).