BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐÀO VĂN ĐỘ
KIỀU MỸ HẠNH
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Sơn La, năm 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
ĐÀO VĂN ĐỘ
KIỀU MỸ HẠNH
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA HÀM ĐIỀU HÒA VÀ ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI
Chuyên ngành: Giải Tích
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
Người hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG
Sơn La, năm 2011
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng,
người đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình chúng em, giúp
đỡ chúng em về tài liệu nghiên cứu cũng như động viên chúng em có
nghị lực hoàn thành đề tài này.
Trong quá trình làm đề tài, chúng em cũng đã nhận được sự giúp đỡ
của các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là các t hầy cô
trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại
học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K49 ĐHSP Toán. Những ý kiến đóng
góp, giúp đỡ động viên của quý thầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận
lợi để chúng em hoàn thành đề tài này. Nhân dịp này chúng em xin được
bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báu nói trên.
Sơn La, tháng 5 năm 2011

1.2.2 Hàm chỉnh hình trong C
n
và một số tính chất đơn giản
của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Dạng vi phân phức và dòng . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Độ đo và phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Các kí hiệu vi phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương . . . . . . . . . . 18
1.3.5 Các phép toán trên các dòng . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng . . . . . . . . 22
1.3.7 Một số kêt quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Hàm điều hòa và đa điều hòa dưới 26
2.1 Hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Một số ứng dụng 47
3.1 Toán tử Monge-Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của toán tử Monge-
Ampère phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
PHẦN MỞ ĐẦU
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích phức là một trong những ngành cổ điển của Toán học bắt nguồn
từ khoảng thế kỉ XIX và thậm chí có thể là trước đó. Một số nhà toán học
nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler, Gauss, Riemann, Weierstrass
và nhiều nhà toán học khác ở thế kỉ XX.
Giải tích phức đặc biệt là lý thuyết về ánh xạ bảo giác có nhiều ứng dụng
trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lý thuyết số giải tích. Ngày nay
giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lực

4. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
- Tìm hiểu và nghiên cứu về hàm điều hòa và đa điều hòa dưới cùng một
số tính chất cơ bản của hàm điều hoà dưới trên C, đa điều hoà dưới trên
C
n
.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm điều hòa và đa điều hòa dưới
trong lý thuyết hàm biến phức như: Xây dựng toán tử Monge – Ampere trên
lớp hàm đa điều hòa dưới,. . . 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn,
seminar với giáo viên hướng dẫn và nhóm làm đề tài.
6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI
6.1. Tính mới mẻ của đề tài
Đây là một vấn đề khá mới đối với bản thân trong hàm biến phức và
chưa được nhiều bạn sinh viên nghiên cứu.
6.2. Hướng phát triển của đề tài
- Xây dựng toán tử Monge – Ampère trên lớp hàm đa điều hoà dưới rộng
hơn.
- Nghiên cứu sâu các tính chất của toán tử Monge – Ampère.
7. Những đóng góp của đề tài
Đề tài đã nêu được cơ bản về tính chất của hàm điều hòa và đa điều hòa
dưới cùng với việc xây dựng toán tử Monge - Ampère trên lớp hàm đa điều
hòa dưới bị chặn địa phương.
8. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI
Với mục đích như vậy đề tài này dược chia thành 3 chương với những nội
dung chính sau đây:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức hàm biến phức trong C, C
n
, một

f(z + ∆z) − f(z)
∆z
, z, z + ∆z ∈ Ω
Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
f tại z, kí hiệu là f

(z) hay
df
dz
(z).
Như vậy f ’(z) = lim
∆z→0
f(z + ∆z) − f(z)
∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả
vi tại z.
Định lý 1.1.2. Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại z
0
thì αf(z) + βf(z),
f(z)g(z) và f(z)/g(z) (g(z
0
) = 0) cũng khả vi phức tại z
0
với mọi α, β ∈ C
và
(i) (αf + βg)

(z
0
) = αf

f

(z
0
)g(z
0
) − f(z
0
)g

(z
0
)
g
2
(z
0
)
(iv) Nếu ω = f(z) khả vi phức tại z
0
, còn g(ω) khả vi phức tại
6
ω
0
= f(z
0
) thì hàm hợp g
◦
f khả vi phức tại z
0

0
)
= α lim
∆→0
f((z
0
) + ∆z) − f(z
0
)
∆z
+ β lim
∆z→0
g((z
0
) + ∆z) − g(z
0
)
∆z
= lim
∆→0
α
f((z
0
) + ∆z) − f(z
0
)
∆z
+ lim
∆z→0
β

F (z) =
1
2πi

Γ
f(η)
η − z
dη
ta nhận được hàm F xác định trên C\Γ.
Hàm F (z) được gọi là tích phân loại Cauchy.
Định lý 1.1.4. Giả sử f(η) là hàm liên tục trên đường cong Jordan trơn
từng khúc Γ. Khi đó tích phân (5) là một hàm chỉnh hình trên C\Γ. Hơn
nữa trên C\Γ hàm F(z) có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức
F
(n)
(z) =
n!
2πi

Γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη, n = 0, 1 (6)
Ở đây định nghĩa bằng quy nạp
F
(n)
(z) = (F
(n−1)
)


Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη, n = 0, 1, (7)
Ta sẽ chứng minh (7) quy nạp theo n. Khi n = 0, (7) là hiển nhiên vì
theo (5)
F
0
(z) = F (z) =

Γ
ϕ
1
(η, z)dη
Giả sử (7) đúng cho tới n − 1, tức là có đẳng thức
F
(n−1)
(z) =

Γ
ϕ
n
(η, z)dη (8)
Ta sẽ chứng minh rằng
F
(n)
(z) =

Γ

Γ
∂u
∂x
dµ −
∂v
∂x
dν,
∂U
∂y
=

Γ
∂u
∂y
dµ −
∂v
∂y
dν
∂V
∂x
=

Γ
∂v
∂x
dµ +
∂u
∂x
dν,
∂V

=

Γ
∂u
∂x
dµ −
∂v
∂x
dν =
∂U
∂x
Điều đó có nghĩa U(x, y) và V (x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Rie-
mann trên C\Γ tức là hàm F
(n−1)
C− khả vi trên C\Γ. Ta còn chứng tỏ
F
(n)
(z) = (F
(n−1)
), (z) =

Γ
ϕ
n+1
(η, z)dη
=
∂U
∂x
+ i
∂V

2πi

γ
f(η)
(η − z)
n+1
dη, n = 0, 1, 2, (10)
Trong dó γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z sao cho Ω
γ
⊂ Ω.
9
Định lý 1.1.6. Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích
phân của nó theo mọi chu tuyến trong Ω đều bằng 0. Khi dó f chỉnh hình
trên Ω
Chứng minh. Theo định lý về sự tồn tại của nguyên hàm
F (z) =
z

z
0
f(η)dη, z ∈ Ω
Ở đây z
0
là điểm cố định bất kì thuộc Ω, là hàm chỉnh hình trên Ω và
F

(z) = f(z).
Theo định lý 1.1.5 F

(z) và vậy thì f(z) là hàm chỉnh hình trên Ω.

v
(v = 1, , n). Không gian mà điểm là những bộ
số phức (hữu hạn)
z = (z
1
, , z
n
) = {z
v
}
sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu qua C
n
. Đặc biệt khi n = 1, ta
có C
1
= C là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian
C
n
là tích n mặt phẳng phức
C
n
= C × × C
  
n
.
Trong C
n
Trong C
n
có thể đưa vào cấu trúc không gian mêtric. Thường

2n

v=1
|x

v
− x

v
|
2
và mêtric
ρ(z

, z

= max
v
|z

v
− z

v
.
ta gọi là p− mêtric. Rõ ràng rằng, ρ− mêtric, cũng như mêtric Ơclit, thỏa
mãn các tiên đề thông thường:
10
a) ρ(z


n
được định nghĩa như tập các điểm
B(a, r) = {z ∈ C
n
: |z − a| < r}.
Đó là hình cầu tâm a trong mêtric Ơclit. Biên ∂B của hình cầu là mặt cầu
(2n − 1) chiều
S
2n−1
= {z ∈ C
n
:
n

v=1
|z
v
− a
v
|
2
= r
2
}
trong không gian R
2n
.
1.2.2 Hàm chỉnh hình trong C
n
và một số tính chất đơn giản của

¯
λ(z) ta nói l là C− phản tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f : Ω → C, Ω là mở rộng trong C
n
, gọi là R− khả
vi (t.ứ C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu
f(z + h) = f(z) + l(h) + 0(h)
ở đây l là R− tuyến tính (t.ứ C− tuyến tính) và
0(h)
h
→ 0 khi h → 0.
Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (t.ứ C− đạo hàm của
f tại z) ký hiệu f

(z) hay df(z).
Định nghĩa 1.2.3. a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ C
n
nếu nó C− khả vi
trong một lân cận của z.
11
b) f : Ω → C
m
với Ω là mở trong C
n
gọi là chỉnh hình tại z nếu f
j
chỉnh
hình tại z với mọi j =
1, m, ở đây
f = (f

n
: |z
j
− a
j
| = r
j
∀j =
¯
1, n
Định lý 1.2.4. Nếu f là hàm liên tục trên
¯
P và chỉnh hình trong P thì
f(z) = (
1
2
πi)
n

Γ
f(ξ)dξ
1
dξ
n
(ξ
1
− z
1
) (ξ
n

z, z
n
)
ta nhận được
f(z) =
1
2πi

γ
n
f(

z, ξ
n
ξ
n
− z
n
dξ
ở đây
γ
n
= {z
n
∈ C : |z
n
− a
n
| = r
n

n−1
Vậy do tính liên tục của f ta có
f(z) − (
1
2πi
)
2

γ
n−1
×γ
n
f(z
n
, , z
n−2
, ξ
n−1
, ξ
n
)
(ξ
n−1
− z
n−1
)(ξ
n
− z
n
)

)
12
=
1
ξ − a
∞

|α|=0
(
z − a
ξ − a
)
α
=
∞

|α|=0
(
z − a
ξ − a
)
α+1
ở đây α + 1 = (α
1
+ 1, , α
n
+ 1) và chuỗi là hội tụ đều trên mọi compact
của P . Do đó từ (1) ta nhận được.
Định lý 1.2.5. Giả sử f là hàm liên tục trên
¯

n
và (2) là khai triển thành chuỗi
lũy thừa của f trong một lân cận của a, thì
C
α
=
1
α!
∂
α
f(a)
∂z
α
=
1
α
1
! α
n
!
∂
α
1
+ +α
n
∂z
α
1
1
∂z

1
α
∂
α
f(z
o
)
∂z
α
= lim
z∈G
z→z
0
1
α
∂
α
f(z)
∂z
α
= 0
z
o
∈ G. Do Ω liên thông G = Ω có nghĩa là f ≡ 0.
Định lý 1.2.8. (Nguyên lý môđun cực đại)
Nếu f chỉnh hình trên miền Ω ⊂ C
n
sao cho |f| đạt cực đại tại a ∈ Ω,
thì f = const trên Ω.
13

(k)
p
(U, F) là không
gian véc tơ các p− dạng vi phân trên U với giá trị trong F . Viết Ω
(k)
p
(U)
thay cho Ω
(k)
p
(U, R)
Biểu diễn tọa độ của dạng vi phân trên R
n
. Giả sử {e
i
}
n
i=1
là cơ sở
chính tắc của R
n
với các hàm tọa độ {u
i
}
n
i=1
. Cho ω là một p− dạng vi phân
lớp C
k
trên tập mở U ⊂ R


1i
1
, ,i
p
n
ω(x)(e
i
1
, , e
i
p
)u
i
1
(ξ
1
) u
i
p
(ξ
p
)
=

1i
1
, ,i
p
n

i
1
, , e
i
p
)(u
i
1
∧ ∧ u
i
p
)(ξ
1
, , ξ
p
).
Như vậy ω có thể viết dưới dạng
ω(x) =

1i
1
, ,i
p
n
f
i
1
i
p
(x)dx

1
, ξ
2
) = ω(x)(
n

i=1
u
i
(ξ
1
)e
i
,
n

i=1
u
i
(ξ
2
)e
i
)
=

1i
1
,i
2

2
)[u
i
1
(ξ
1
)u
i
2
(ξ
2
) − u
i
2
(ξ
1
)u
i
1
(ξ
2
)]
=

1i
1
<i
2
n
ω(x)(e

1
∧ dx
i
2
(ξ
1
, ξ
2
).
Tích ngoài của các dạng vi phân. Giả sử F, G, H là các không gian
Banach và φ : F × G → H là ánh xạ song tuyến tính liên tục. Giả sử
α ∈
(n)
p
(U, F), β ∈
(n)
p
(U, G)
ở đây U là tập mở trong không gian định chuẩn E.
Khi đó tích ngoài của các dạng vi phân α và β theo φ ký hiệu α ∧
φ
β cho
bởi
(α ∧
φ
β)(x) = α(x) ∧
φ
β(x), U.
Như vậy
(α ∧

dω(x)(ξ
0
, , ξ
p
) =
n

i=0
(−1)
i
ω

(x)(ξ
i
)(ξ
0
,
ˆ
ξ
i
, , ξ
p
), (1)
ở đây
(ξ
0
, , ξ
i−1
, ξ
i+1

, ξ
1
, , ξ
p
).
15
Đẳng thức này nhận được bằng cách áp dụng (1) tới
(η
0
, η
1
, , η
p
) với η
0
= ξ
1
; η
1
= ξ
0
; η
i
= ξ
i
i = 2, p.
1.3.2 Độ đo và phân bố
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử U ⊂ R
n
là tập mở. Một phân bố trên U là dạng

(ϕ) = (−1)
|α|
u(
∂
α
ϕ
∂x
α
)
với ϕ ∈ D(U) và |α| =
n

i=1
α
i
là độ dài của đa chỉ số α.
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử U ⊂ R
n
là tập mở. Dãy suy rộng {u
α
} ⊂ (D(U))

nếu với mỗi ϕ ∈ D(U) ta có:
lim
α
u
α
(ϕ) = u(ϕ)
Tôpô xác định như trên trên (D(U)


(Ω; C), ở đó
C
∞
◦
(Ω; C) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω. Bây
giờ ta trang bị tôpô cho C
◦
(Ω; C). Cho {Ω
j
}
j∈N
là dãy các tập mở compact
tương đối trong Ω thỏa mãn:
¯
Ω
j
⊂ Ω
j+1
, và

j∈N
Ω
j
= Ω
16
Trang bị cho mỗi không gian C
◦
(
¯
Ω

⊂ Kvàϕ
m
→ ϕ
◦
trênK
Tương tự như vậy ta cũng trang bị cho các không gian C
∞
◦
(
¯
Ω
j
; C) tôpô
hội tụ đều của đạo hàm mọi cấp và tôpô của C
∞
◦
(Ω; C) là tôpô giới hạn quy
nạp chặt của các không gian C
∞
◦
(
¯
Ω; C). Với tôpô này là một dãy {ϕ
m
}
m∈N
trong không gian C
∞
0
(Ω; C) hội tụ đến ϕ

Radon µ đều có tương ứng một độ đo Borel phức duy nhất trên Ω mà ta
cũng kí hiệu là µ sao cho:
µ(ϕ) =

Ω
ϕdµ, ϕ ∈ C
◦
(Ω; C) (1)
Hơn nữa một độ đo Radon là phiếm hàm dương (tức là µ(ϕ)  0 với
mọi hàm không âm ϕ ∈ C
◦
(Ω; C)) nếu và chỉ nếu độ đo Borel tương ứng là
dương.
Một phiếm hàm tuyến tính dương trên C
◦
(Ω; C) rõ ràng là liên tục, tức
là nó là một độ đo Radon. Về sau độ đo Radon được đồng nhất với các độ
đo Borel tương ứng qua (1) và ta gọi chúng là độ đo.
Nhận thấy độ đo này có các tính chất:
• Nếu V là tập mở của Ω thì:
µ(V ) = sup{µ(ϕ) : ϕ ∈ C
◦
(V ; [0; 1])}
•Nếu E là tập Borel bất kì của Ω thì:
µ(E) = inf{µ(V ) : V mở , E ⊂ V ⊂ Ω}
17
•Nếu K  Ωthì:
µ(K) = inf{µ(ϕ) : ϕ ∈ C
◦
(Ω; [0; 1]); K ⊂ ϕ

sử dụng những kí hiệu sau:
Nếu z
j
= x
j
+ iy
j
thì dz
j
= dx
j
+ idy
j
, d¯z
j
= dx
j
− idy
j
;
∂
∂z
i
=
1
2
(
∂
∂x
i

,
¯
∂f =
n

j=1
∂f
¯
∂z
i
(z)d¯z
j
;
và:df = ∂f +
¯
∂f
1.3.4 Dạng vi phân phức và dạng dương
Để trình bày toán tử Monge-Ampère phức, chúng tôi sẽ trình bày dạng
vi phân phức song bậc (p, q) và đặc biệt là các vấn đề về dạng dương
Một dạng vi phân phức song bậc (p, q) là một biểu thức có dạng
ω =


|J|=p,|K|=q
α
JK
(
i
2
)

j
p
; 1  k
1
< < k
p
 n
18
Kí hiệu dạng thể tích trên C
n
là dλ với:
dλ =
i
2
dz
1
∧ d¯z
1
∧
i
2
dz
2
∧ dz
2
∧ ∧
i
2
dz
n

∧ ¯ω
p
∈ C
(p,p)
gọi là dạng dương sơ cấp
Giả sử ω ∈ C
(p,p)
. Ta nói ω là dạng dương nếu với mọi dạng dương sơ cấp
β ∈ C
(n−p,n−p)
ta có ω ∧ β  0. Điều đó có nghĩa là ω ∧ β = τdλ
n
; τ  0.
Dạng ω ∈ C
(p,q)
được gọi là thực nếu ω = ω nghĩa là α
J,K
= α
K,L
đúng
cho mọi |J| = |K| = p.
Ta có một vài kết quả đáng chú ý sau đối với dạng dương:
Mệnh đề 1.3.5. Giả sử
α =
n

j,k=1
α
j,k
i


k=1
M
k
dz
1
∧ dz
2
∧ ∧ dz
k−1
∧ dz
k+1
∧ ∧ dz
n
ở đó M
k
= det[a
st
]; s = 1, n − 1; t = 1; n; t = k.
Do đó α ∧
1
2
α
1
∧ α
2
∧ ∧
i
2
α

là các dạng dương, β là dạng
thực. Khi đó α ∧ β  0.
Chứng minh. . Viết: β =
n

j,k+1
α
jk
i
2
dz
j
∧ d¯z
k
vàA = (a
jk
)
j,k=1,n
. Do β là dạng
thực nên ma trận A = (α
jk
) là ma trận Hecmite
¯
A
t
= A.
19
Chọn ma trận Unita P sao cho B = P
−1
o

jl
b
l
P
kl
và
β =
n

l=1
b
l
i
2
(
n

k=1
P
jl
dz
j
) ∧ (
n

k=1
P
jl
dz
j

j
)  0,
do α là (p,p) - dạng dương nên α ∧
i
2
(
n

k=1
P
jl
dz
j
) ∧ (
n

k=1
P
jl
dz
j
)  0
Mệnh đề 1.3.7. Tập hợp các dạng dương sơ cấp trong C
(
p, p) sinh ra không
gian C
(
p, p) như một không gian vectơ trên C
Chứng minh. Giả sử ω ∈ C
(

j
1
∧ d¯z
k
1
∧ ∧
i
2
dz
j
p
∧ d¯z
k
p
.
Ta lại có
dz
J
∧ d¯z
K
=
i
2
(dz
j
+ dz
k
) ∧ (d¯z
j
+ d¯z

o
(Ω, C) (tương ứng C
∞
0
(Ω, C)) được kí hiệu D
(p,q)
o
(Ω) (tương ứng
D
(p,q)
(Ω)).
Giả sử {Ω
j
}
j1
là dãy tăng các tập mở, compact tương đối của Ω nghĩa
là ∀j  1 : Ω
j
⊂ Ω
j+1
;

j
Ω
j
= Ω. Ta đưa vào mỗi không gian D
(p,q)
o
(
¯

20

|J|=p,|K|=q
a
JK
dz
I
∧ d¯z
K
trong D
(p,q)
o
(Ω) nếu có compact K  Ω sao cho:
suppa
α
JK
⊂ K, ∀α ∈ I, ∀J, K
suppa
JK
⊂ K, ∀J, K
sao cho a
α
J,K
⇒ a
J,K
trên K.
Tương tự ta đưa vào các không gian D
(p,q)
(
¯

J,K
ϕ
α
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
ở đó |J| = p, |K| = q, hội tụ tới
ϕ
o
=

J,K
ϕ
o
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
nếu và chỉ nếu:
(a) Tồn tại tập compact K⊂ Ω sao cho suppϕ
o
I,J
⊂ K ∀I, J.
(b) D
β
(ϕ
J

I,J
∂z
k
dz
k
∧ dz
I
∧ d¯z
J
nếu ϕ =

I,J
ϕ
I,J
dz
I
∧ d¯z
J
và
¯
∂ : D
(p,q)(Ω)
→ D
(p+1,q)(Ω)
21
¯
∂ϕ =

I,J


T = i(
¯
∂T − ∂T )
Như vậy dd
c
T = 2i∂
¯
∂T và
dd
c
T, ∂ = T, dd
c
ϕ, ϕ ∈ D
n−p−1,n−q−1
(Ω).
Do đó dd
c
T là (p + 1, q + 1)− dòng. Dòng T gọi là đóng nếu dT = 0. Như
vậy T là đóng nếu ∂T = 0 và
¯
∂T = 0.
1.3.6 Dòng, dòng dương và dòng dương đóng
Các phần tử của không gian đối ngẫu (D
(n−p,n−q)
(Ω))

gọi là một dòng
song bậc (p, q) hay (p, q)- dòng (hay là dòng song chiều (p, q)). Các phần
tử thuộc vào (D
(n−p,n−q)

∧ α
k
= δ
jk
dλ
ở đó λ
j
k là kí hiệu Kronecker. Khi đó
T =

J,K;|J |=p,|K|=p
T
J,K
dz
J
∧ d¯z
K
=

j
T
j
β
j
(2)
ở đó T
j
dλ = τ ∧ α
j
 0. Vậy T