BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TÒNG VĂN HẢI
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Sơn La - Năm 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
TÒNG VĂN HẢI
BƯỚC ĐẦU NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ LỚP HÀM ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Giải Tích
Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG
Sơn La - Năm 2014
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành phần lớn là do sự hướng dẫn, chỉ bảo và
giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng. Nhân dịp này em xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy.
Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô
trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học
Tây Bắc đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận. Em cũng xin cảm ơn những ý kiến đóng góp, khích lệ, động
viên của các thầy cô và bạn bè trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn
thành khóa luận.
Sơn La, tháng 06 năm 2014
Người thực hiện
Sinh viên: TÒNG VĂN HẢI
KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Giả sử Ω là tập mở không rỗng của R
n
1
+x
2
2
+···+x
2
n
)
1
2
là chuẩn Euclide của x, đôi khi để giản ta thường
dùng ký hiệu là |x|.
5. Với k là số nguyên dương, C
k
(Ω) là ký hiệu của tập tất cả các hàm khả
vi liên tục cấp k trên Ω, C
∞
(Ω) là tập tất cả các hàm thuộc lớp C
k
(Ω) với
mọi k. Với E ⊂ R
n
, C(E) là ký hiệu của tập tất cả các hàm liên tục trên
E.
6. Cho Ω là tập mở bị chặn của R
n
, ký hiệu ∂Ω là biên của Ω,
Ω là bao đóng
của Ω. Độ đo V = V
n
i=1
∂u
∂x
i
(x)l
i
,
−→
l = (l
1
, . . . , l
n
).
8. Với u ∈ C(Ω) ta viết: D
n
u =
∂u
∂ν
, với ν = (υ
1
, . . . , υ
n
) là vector pháp tuyến
đợn vị hướng ra ngoài của ∂Ω; u = (D
1
u, . . . , D
n
u) = Du là vector gradient
của u.
Do đó với ξ ∈ ∂Ω ta có (D
0
j
là
toán tử đồng nhất).
Với x ∈ R
n
và bộ chỉ số α = (α
1
, . . . , α
n
) ta định nghĩa:
x
α
= x
α
1
. . . x
α
n
,
α! = α
1
! . . . α
n
!,
|α| = α
1
+ ··· + α
n
.
1.5 Nhân Poisson cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Định lý đảo của Tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . . . 22
1.8 Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích . . . . . . . . . . 24
2 Hàm điều hòa bị chặn 28
2.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Ước lượng Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Họ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Giới hạn dọc tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
3 Hàm điều hòa dương 37
3.1 Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnanck . . . . . . . . . . 39
3.3 Tính kỳ dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 47
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Hàm điều hòa - nghiệm của phương trình Laplace đóng một vai trò
quan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý và Kỹ thuật. Lý
thuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rất
nhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm
và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (giá
trị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên),
Hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm điều hòa nói
chung là rất ít. Đặc biệt hơn ở trường Đại học Tây Bắc đề tài nghiên
cứu về hàm điều hòa vẫn còn hạn chế. Ta có thể tìm thấy trong thư
5. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu trong nước cũng như tài liệu nước
ngoài viết về những vấn đề có liên quan đến đề tài. Phân tích, tổng
hợp các kiến thức sao cho có hệ thông, logic và mạch lạc. Qua đó hình
thành ý tưởng và đề cương nghiên cứu đề tài.
Trao đổi với giảng viên hướng dẫn, những người có kinh nghiệm và
nhóm sinh viên có cùng ý tưởng nghiên cứu. Từ đó lập kế hoạch và
hoàn thành đề tài.
6. Những đóng góp của đề tài
Đề tài đã nêu bật được những tính chất cơ bản nhất của hàm điều
hòa và bước đầu nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điều hòa
bị chặn và hàm điều hòa dương.
7. Cấu trúc đề tài
Nội dung của đề tài gồm có phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần
Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo:
Chương 1. Trình bày các tính chất cơ bản của hàm điều hòa, bao
gồm: Tính chất bất biến, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực
đại, nhân Poisson cho hình cầu, bài toán Dirichlet cho hình cầu, định
lý đảo của tính chất giá trị trung bình và mối liên hệ giữa hàm điều
hòa và hàm giải tích.
Chương 2. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn, trong đó trình bày
một số tính chất tương tự của hàm chỉnh hình trong giải tích phức cho
hàm điều hòa dương trên R
n
. Cụ thể là: Định lý Liouville, tính kỳ dị cô
lập, ước lượng Cauchy, họ chuẩn tắc. Hơn nữa là hai tính chất nguyên
lý cực đại và giới hạn dọc tia cho các hàm điều hòa bị chặn.
Chương 3. Nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương thông qua các tính
chất quan trọng đó là: Định lý Liouville, bất đẳng thức Harnack, nguyên
lý Harnack và tính kỳ dị cô lập.
.
Dễ thấy hàm này điều hòa trên R
3
.
Ví dụ 3. Cho n > 2, x ∈ R
n
, hàm u(x) = x
2−n
là hàm điều hòa
trên R
n
. Thật vậy:
Giả sử x = (x
1
, . . . , x
n
), khi đó u(x) = (x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
)
2−n
2
.
Ta có:
−2
] i = 1, n.
5
Suy ra:
n
i=1
∂
2
u
∂x
2
i
= (2 − n)x
−n
[n − n(x
2
1
+ ··· + x
2
n
)x
−2
]
= (2 − n).x
−n
[n − nx
2
.x
−2
, x
2
) ∈ R
2
, ta có u(x) = ln
x
2
1
+ x
2
2
. Khi đó:
∂u
∂x
1
=
x
1
x
2
1
+ x
2
2
⇒
∂
2
u
∂x
⇒
∂
2
u
∂x
2
2
=
x
2
1
− x
2
2
(x
2
1
+ x
2
2
)
2
.
Vậy ∆u = 0. Và ta có điều phải chứng minh.
Chú ý 1.1.1. a) x
1
x
−2
là một đạo hàm riêng của ln x. Vậy hàm
v(x) = x
, y = i
z − z
2
.
Khi đó:
∂u
∂z
=
∂u
∂x
∂x
∂z
+
∂u
∂y
∂y
∂z
=
1
2
∂u
∂x
− i
∂u
∂y
.
Suy ra:
∂
2
u
∂y
2
∂y
∂z
=
1
4
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
.
Vì u điều hòa nên
∆u = 0 ⇒
∂
2
u
∂z∂z
n
, và u là hàm điều hòa trên Ω.
Tịnh tiến của u là hàm trên Ω + y, nhận giá trị tại x là u(x − y).
2.Với một số dương r và một hàm u trên Ω.
Mở rộng của u ký hiệu u
r
là một hàm xác định bởi (u
r
)(x) = u(rx),
với x thuộc (1/r)Ω = {(1/r)ω| ω ∈ Ω}.
Nhận xét 1.2.1. i) Tịnh tiến của hàm điều hòa là hàm điều hòa.
ii) Với u ∈ Ω ta thấy ∆(u
r
) = r ·(∆u)
r
. Bởi vậy mở rộng của hàm điều
hòa là hàm điều hòa.
Sự kết hợp giữa hàm điều hòa và hình cầu là quan trọng đối với lý
thuyết hàm điều hòa. Tính chất giá trị trung bình cái mà chúng ta sẽ
xét trong mục tiếp theo là một minh họa cụ thể nhất cho sự kết hợp
này. Các mối liên hệ khác như phép nâng lên lũy thừa, phép biến đổi
tuyên tính trên R
n
là bảo tồn trên hình cầu đơn vị, phép biến đổi như
vậy gọi là trực giao.
Định nghĩa 1.2.2. Một ánh xạ tuyến tính T : R
n
−→ R
n
được gọi là
(D
j
u) ◦ T.
Ở đó D
m
là đạo hàm từng phần thứ m theo tọa độ của biến. Lấy đạo
hàm một lần nữa và lấy tổng trên cho m ta được:
∆(u ◦ T ) =
n
m=1
n
j,k=1
t
km
t
jm
(D
k
D
j
u) ◦ T.
8
Hay ta có
∆(u ◦ T ) =
n
j,k=1
Trong đó Ω là tập mở, bị chặn của R
n
với ∂Ω trơn nhẵn và u, v là các
hàm khả vi liên tục cấp hai trên Ω.
Từ đồng nhất thức Green (1.3.1), dẫn đến định lý phân kỳ quan trọng
sau:
Ω
divwdV =
∂Ω
w ·nds. (1.3.2)
Trong đó w = (w
1
, . . . , w
n
) là trường vector trơn nhẵn của C
n
(Ω), divw
là một đại lượng vô hướng được gọi là divergence của w và được xác
định bởi:
divw = D
1
w
1
+ ··· + D
n
w
n
.
2−n
, ta có
B\B
ε
(u∆v −v∆u)dV =
∂B
(uD
n
v −vD
n
u)ds +
∂B
ε
(uD
n
v −vD
n
u)ds.
Do u, v điều hòa nên ta có
0 =
S
(uD
n
v −vD
n
u)ds +
S
(2 − n)|x|
1−n
uds − v
(ε)
εS
uds −
S
|x|
2−n
D
n
uds −
εS
|x|
2−n
D
n
uds
=(2 − n)
S
uds − (2 − n)ε
1−n
εS
S
u(ξ)dσ(ξ).
Chứng minh tương tự khi n = 2, bằng cách thay |x|
2−n
bằng ln |x|.
Hàm điều hòa vẫn có tính chất giá trị trung bình theo độ đo thể tích.
Công thức tọa độ cực với phép lấy tích phân trên R
n
là tiền đề quan
trọng ở đây. Công thức được phát biểu với một độ đo Borel và hàm f
khả tích trên R
n
:
1
nV (B)
R
n
fdV =
∞
0
r
n−1
S
f(rξ)dσ(ξ)dr. (1.3.4)
Hằng số nV (B) phát sinh từ pháp tuyến của σ.
Định lý 1.3.2 (Tính chất giá trị trung bình theo độ đo thể tích). Nếu
0
ε
n−1
dε
dσ(ξ)
=
1
n
S
u(εξ)dσ(ξ).
11
Hay
1
nV (B)
B
udV =
1
n
u(0).
Như vậy
u(0) =
1
V (B)
B
udV.
+ ix
1
là một ví dụ; nó triệt tiêu tại gốc O.
12
1.4 Nguyên lý cực đại
Một hệ quả quan trọng của tính chất giá trị trung bình là nguyên lý
cực đại cho các hàm điều hòa.
Định lý 1.4.1 (Nguyên lý cực đại). Giả sử Ω liên thông, u là hàm
nhận giá trị thực, điều hòa trên Ω và u đạt cực đại hoặc cực tiểu trên
Ω. Khi đó u là hằng số trên Ω.
Chứng minh. Giả sử u đạt cực đại tại a ∈ Ω, chọn r > 0 sao cho
B(a, r) ⊂ Ω. Khi đó u điều hòa trên B(a, r) ⊂ Ω.
+ Nếu u bé hơn u(a) tại một số điểm của B(a, r) thì từ tính liên tục
của u cho thấy giá trị trung bình của u trên B(a, r) nhỏ hơn u(a) (mâu
thuẫn với Định lý (1.3.2)). Do vậy u = u(a), tức là u là hằng số trên
B(a, r), chứng tỏ tập hợp mà trong đó u đạt cực đại là tập hợp mở
trong Ω. Hơn nữa Ω liên thông nên tập đó cũng đóng trong Ω, lại từ
tính liên tục của u kết hợp với tính liên thông của Ω nó phải thỏa mãn
trên toàn bộ Ω. Như vậy u là hằng số trên Ω.
+ Nếu u đạt giá trị nhỏ nhất trên Ω, áp dụng lập luận trên với −u ta
cũng thu được u là hằng số trên Ω.
Hệ quả 1.4.1. Giả sử Ω bị chặn và u là hàm thực liên tục trên Ω ,
điều hòa trên Ω. Khi đó giá trị cực đại và cực tiểu của u trên Ω đạt
được trên Ω.
Chứng minh. Do u liên tục trên Ω nên u đạt giá trị cực đại (tương ứng
giá trị cực tiểu) trên Ω. Gọi M là giá trị cực đại của u đạt được trên Ω
(nếu M là giá trị cực tiểu của u trên Ω, ta chứng minh tương tự), gọi
a ∈ Ω mà u(a) = M = max
Ω
u. Theo Định lý (1.4.1) thì sup
Thì u M trên Ω.
Chứng minh. Đặt M
= sup{u(x) : x ∈ Ω} và chọn một dãy b
k
trong Ω
sao cho u(b
k
) → M
.
+ Nếu (b
k
) có một dãy con hội tụ tới điển b ∈ Ω thì u(b) = M
bao hàm
u là hàm hằng trên toàn bộ thành phần của Ω chứa b (theo nguyên lý
cực đại (1.4.1)). Bởi vậy trong trường hợp này có một dãy (a
k
) trong
Ω hội tụ tới một điểm biên của Ω hoặc tới ∞ tại đó u = M
. Từ đó ta
có M
M.
+ Nếu không dãy con nào của (b
k
) hội tụ tới diểm trong Ω thì (b
k
Bây giờ đi chứng minh với mỗi x ∈ B, u(x) là một trọng số trung bình
của u trên S, chính xác hơn ta chỉ ra rằng tồn tại một hàm điều hòa
P trên B × S sao cho:
u(x) =
S
u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ).
Để khám phá những gì P có thể đạt được, ta bắt đầu trong trường hợp
đặc biệt khi n = 2. Giả sử u là hàm điều hòa thực trên hình cầu đóng
đơn vị trong R
2
thì u = Ref với mỗi hàm chỉnh hình f trên lân cận
của hình cầu đóng đơn vị. Vì u =
f + f
2
, khai triển chuỗi Taylor của f
bao hàm u có dạng:
u(rξ) =
j=+∞
j=−∞
a
j
r
|j|
ξ
j
Ở đó 0 r 1 và |ξ| = 1. Trong công thức này lấy r = 1, nhân cả hai
vế với ξ
−k
S
u(ξ)
+∞
j=−∞
r
|j|
ηξ
−1
j
dσ(ξ).
15
Vì |rηξ
−1
| |r||η||ξ
−1
| = |r| < 1 và |rη
−1
ξ| |r||η
−1
||ξ| = |r| < 1 nên
ta có:
+∞
j=−∞
r
0
=
+∞
j=0
rηξ
−1
j
+
+∞
j=0
rη
−1
ξ
j
− 1
=
1
1 − rηξ
−1
+
1
1 − rη
−1
=
1 − r
2
(ξ − rη)
2
. (Do ξ
2
= 1, η
2
= 1).
Do đó
u(x) =
S
u(ξ)
1 − r
2
|rη − ξ|
2
dσ(ξ).
Đặt P (x, ξ) =
1 − |x|
2
(x − ξ)
2
ta thu được công thức cần tìm với n = 2:
u(x) =
S
u(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ).
được một hằng đúng.
16
Để tìm P ta thử phương pháp được sử dụng trong chứng minh Tính
chất giá trị trung bình. Giả sử u là hàm điều hòa trên B. Khi đó ta
chứng minh rằng u(0) là giá trị trung bình của u trên S. Ta áp dụng
đồng nhất thức Green với v(y) = |y|
2−n
, hàm này điều hòa trên B\{0},
có một điểm kỳ dị tại 0 và là hằng số trên S. Bây giờ cố định một diểm
khác không x ∈ B. Ta chứng minh u(x) là trọng khối trung bình của
u trên S, một cách tự nhiên lần này ta thử với v(y) = |y −x|
2−n
, hàm
này điều hòa trên B\{0}, có điểm kỳ dị tại x nhưng rất tiếc không phải
là hằng số. Tuy nhiên theo bổ đề về phép đối xứng (1.5.1) cho thấy với
y ∈ S :
|y −x|
2−n
= |x|
2−n
y −
x
|x|
2
S
uD
n
vds − (2 − n)u(x) −
∂B(x,ε)
uD
n
Rds +
∂B(x,ε)
RD
n
uds.
Vì uD
n
R và RD
n
u bị chặn trên B, hai số hạng sau tiến đến 0 khi ε → 0.
Bởi vậy:
u(x) =
1
2 − n
S
uD
n
vdσ.
Đặt P (x, ξ) = (2 −n)
tục trên S và sử dụng công thức trên để xác định một mở rộng của f
vào B.
Sử dụng (1.5.6) như một định nghĩa của P . Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.6.1. Cho tùy ý f ∈ C(S). Tích phân Poisson của f, ký
hiệu P [f] trở thành hàm trên B xác định bởi:
P [f](x) =
S
f(ξ)P (x, ξ)dσ(ξ). (1.6.7)
Định lý tiếp theo chỉ ra rằng tích phân Poison giải bài toán Dirichlet
cho hình cầu B.
Định lý 1.6.1 (Nghiệm của bài toán Dirichlel cho hình cầu). Giả sử
f liên tục trên S. Hàm u trên B xác định bởi:
u(x) =
P [f](x) nếu x ∈ B
f(x) nếu x ∈ S.
Thì u là hàm liên tục trên B và điều hòa trên B.
18
Để chứng minh định lý (1.6.1). Trước tiên ta có hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.1. Cho ξ ∈ S. Khi đó P(·, ξ) là hàm điều hòa trên
R
n
\ {ξ}.
Ta viết P (x, ξ) = (1 − |x|
2
)(x − ξ)
−n
. Sau đó tính toán tử Laplace của
P (·, ξ) bằng cách sử dụng công thức tích vô hướng ta có:
)dσ(ξ).
Ở đó dấu bằng cuối cùng có được từ bổ đề phép đối xứng (1.5.1). Mệnh
đề (1.6.1) nói rằng P (|x|ξ,
x
|x|
) như là hàm của ξ là hàm điều hòa trên
B. Do đó từ Tính chất giá trị trung bình ta có:
S
P (x, ξ)dσ = P (0,
x
|x|
) = 1.
Rõ ràng b) cũng đúng với x = 0. Vậy ta được điều phải chứng minh.
19
Chứng minh của định lý 1.6.1. Toán tử Laplace của u có thể được tính
bằng cách lấy vi phân dưới dấu tích phân trong (1.6.7). Còn Mệnh đề
(1.6.1) thì chỉ ra rằng u là hàm điều hòa trên B.
Để chứng minh u là hàm liên tục trên B, cố định η ∈ S và ε > 0. Chọn
δ > 0 sao cho |f(ξ) − f(η)| < ε với bất cứ |ξ −η| < δ (và ξ ∈ S). Với
x ∈ B, theo các tính chất a) và b) của Mệnh đề (1.6.2) ta có:
|u(x) − u(η)| =
S
f(ξ) −f(η)
] bằng 0 trên B. Vậy u = P[u|
S
] trên B.
Vì phép tịnh tiến và phép mở rộng bảo tồn tính điều hòa. Kết quả trên
có thể chuyển qua bất kỳ hình cầu B(a, r). Đặc biệt, cho hàm f liên
tục trên ∂B(a, r), khi đó tồn tại duy nhất hàm liên tục u trên B(a, r)
với u điều hòa trên B(a, r) sao cho u = f trên ∂B(a, r). Trong trường
hợp này ta nói u giải bài toán Dirichlet cho B(a, r) với số liệu biên f.
Bây giờ ta chứng minh mỗi hàm điều hòa là khả vi vô hạn. Với mỗi
ξ ∈ S, hàm P (·, ξ) khả vi vô hạn trên B; ta ký hiệu α
th
là đạo hàm
từng phần bởi D
α
P (·, ξ) (với ξ được giữ cố định).
20
Copyright: Tài liệu đại học ©