BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR
¨
USS
TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Bình Định - Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR
¨
USS
TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC
Bình Định - Năm 2013
MỤC LỤC
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn. . . . . 4
1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn . . . 11
1.2.1. Không gian n-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Không gian tuyến tính n-chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

cứu về bất đẳng thức này và có nhiều kết quả của nó trong các không gian Hilbert,
không gian vectơ tuyến tính, không gian n-chuẩn,
Dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC, đề tài Một số
bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn đã được chọn làm đề tài
luận văn Thạc sĩ toán học. Nội dung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và
Tài liệu tham khảo, được chia làm hai chương:
Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày lại các kiến
thức cơ bản liên quan đến luận văn như: không gian 2-tích vô hướng, không gian
tuyến tính 2-chuẩn, không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn,
trực giao trong không gian tuyến tính 2-chuẩn và trực giao trong không gian
tuyến tính n-chuẩn. Ngoài ra, tác giả còn nêu ra và chứng minh một số định lý
cơ bản để dùng cho chương 2.
Chương 2, Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss. Đây là nội dung chính của
luận văn. Trong chương này trình bày một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong
không gian 2-chuẩn và cả trong không gian n-chuẩn.
2
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy PGS.
TS. ĐINH THANH ĐỨC. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính
trọng sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn, Thầy đã tận tình trong việc giảng dạy,
cũng như giúp đỡ và truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và kinh
nghiệm trong quá trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn
này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong
Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa Toán, Trung tâm Thông tin - Tư liệu
Trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao
học Toán khóa 14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Nhân đây, tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán
khóa 14, gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, mặc dù tác giả đã có sự đầu tư nghiêm túc, sự cố gắng và nỗ lực


.
Không gian tuyến tính 2-chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành đã xác định
trên nó một 2-tích vô hướng được suy ra từ 2-chuẩn
a, b =

(a, a| b),
chính là 2-chuẩn đưa ra cho không gian.
4
1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến
tính 2-chuẩn
1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng
Định nghĩa 1.1. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên
trường số K (K = R, C) và (·,·|·) là một hàm K-giá trị trên X × X × X thỏa mãn
các điều kiện sau
(2I
1
) (x, x|z) ≥ 0,
(x, x|z) = 0 khi và chỉ khi x và z phụ thuộc tuyến tính,
(2I
2
) (x, x|z) = (z, z|x),
(2I
3
) (x, y|z) = (y, x|z),
(2I
4
) (αx, y|z) = α (x, y|z) với mọi α ∈ K,
(2I
5

[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] . (1.2)
Khi K = R, thì (1.2) trở thành
(x, y| z) =
1
4
[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] (1.3)
5
và dễ dàng thấy rằng
(x, y| αz) = α
2
(x, y| z) , ∀α ∈ R. (1.4)
Trong trường hợp K = C, sử dụng (1.1) và (1.2), ta có
Im (x, y| z) = Re [−i (x, y| z)] =
1
4
[(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] ,
kết hợp với (1.2), ta được
(x, y| z) =
1
4
[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] +
i
4
[(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] .
(1.5)
Sử dụng công thức trên và (1.1), ta được
(x, y| αz) = |α|
2
(x, y| z) , ∀α ∈ C. (1.6)
Tuy nhiên, với α ∈ R, thì (1.6) trở thành (1.4). Cũng từ (1.6) ta có được

Bất đẳng thức (1.9) là nội dung của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong
không gian 2-tích vô hướng.
6
Ví dụ 1.1. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian tích vô hướng thì 2-tích vô hướng
(·,·|·) được xác định trên X bởi
(x, y| z) :=






(x| y) (x| z)
(y| z) (z| z)






= (x| y)z
2
− (x| z) (y| z)
với mọi x, y, z ∈ X.
Chứng minh. (2I
1
) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.9), ta có
(x, x| z) :=



(z, z|x) = (z, z) (x, x)− (z, x)
2
.
Mà (x, z) = (z, x), do đó ta được (x, x|z ) = (z, z|x).
(2I
3
) Do






(x, y) (x, z)
(y, z) (z, z)






=






(y, x) (y, z)
(x, z) (z, z)


, y) (z, z) − (x

, z) (y, z)
= (x, y|z ) + (x

, y|z ).
7
1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn
Định nghĩa 1.2. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên
trường số K (K = R, C) và ·,· là hàm lấy giá trị thực trên X × X thỏa mãn các
điều kiện sau
(2N
1
) x, y ≥ 0 và x, y = 0 khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính,
(2N
2
) x, y = y, x,
(2N
3
) αx, y = |α|x, y với mọi α ∈ K,
(2N
4
) x, y + z ≤ x, y + x, z.
Khi đó ·,· được gọi là 2-chuẩn trên X và (X,·,·) được gọi là một không
gian tuyến tính 2-chuẩn.
Ví dụ 1.2. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng. Khi đó ánh xạ
x, y =

(x, x|y), ∀x, y ∈ X

= (y + z, y + z |z )
= (y, y|x) + (y, z|x) + (z, y|x) + (z, z|x)
= y, x
2
+ 2 (y, z|x) + x, z
2
≤ y, x
2
+ 2

(y, y|x)

(z, z|x) + (x, z)
2
≤ x, y
2
+ 2y, xx, z + x, z
2
= (x, z + x, y)
2
.
Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz |(x, y|z )| ≤ x, zy, z.
8
Từ định nghĩa của 2-chuẩn ·,·, ta có một số tính chất sau (xem [1])
1) x, y + αx = x, y với mọi α ∈ K.
Thật vậy, ta có
x, y + αx = y + αx, x ≤ y, x + αx, x = y, x = x, y
và
x, y = y + αx − αx, x ≤ y + αx, x+−αx, x = y + αx, x = x, y + αx .
2) |x, z − y, z| ≤ x − y, z.

+ x − y, z
2
= 2

x, z
2
+ y, z
2

, ∀x, y, z ∈ X. (1.11)
Thật vậy, ta có
9
x + y, z
2
= (x + y, x + y|z )
= (x, x|z ) + 2 (x, y |z ) + (y, y|z )
= x, z
2
+ 2 (x, y |z ) + y, z
2
và
x − y, z
2
= (x − y, x − y|z )
= (x, x|z ) − 2 (x, y |z ) + (y, y|z )
= x, z
2
− 2 (x, y |z ) + y, z
2
Nếu (X,·,·) là một không gian tuyến tính 2-chuẩn trong đó điều kiện

. Bất cứ khi nào kí hiệu V (x
1
, x
2
, , x
n
)
được dùng, nó sẽ được hiểu x
1
, x
2
, , x
n
độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.3. Xét không gian tuyến tính P
n
là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn
hoặc bằng n nhận giá trị trên đoạn [0, 1]. Cho dãy {x
i
}
2n
i=0
với 2n + 1 điểm tùy ý
nhưng phải là những điểm cố định phân biệt trên đoạn [0, 1]. Với f, g ∈ P
n
ta
định nghĩa
f, g =



)g(x
i
) = 0 với mọi i = 0, 1, , 2n. Suy ra hoặc
f hoặc g phải triệt tiêu tại ít nhất n + 1 điểm. Vì deg f ≤ n và deg g ≤ n nên hoặc
f ≡ 0 hoặc g ≡ 0. Suy ra f và g phụ thuộc tuyến tính.
10
(2N
2
) Nếu f, g = 0 thì f và g phụ thuộc tuyến tính. Do đó g, f = 0 = f, g.
Ngoài ra ta có
f, g =
2n

i=0
|f(x
i
)g(x
i
)| =
2n

i=0
|g (x
i
) f (x
i
)| = g, f .
(2N
3
) Lấy α ∈ R. Nếu α = 0 thì 0.f, g = 0 = 0.f, g. Xét trường hợp α = 0

i
) g (x
i
)|
=
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
) + h (x
i
) g (x
i
)|
≤
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
)| +
2n

i=0
|h (x

det


f(x) f(y)
g(x) g(y)








p
dxdy


1/p
, 1 ≤ p < ∞,
và
f, g
∞
= sup
x∈X
sup
y∈X





f(x) f(y)
g(x) g(y)








với mọi f, g ∈ C[a, b].
11
1.2. Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến
tính n-chuẩn
1.2.1. Không gian n-tích vô hướng
Định nghĩa 1.3. [1] Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, X là một không gian
tuyến tính có chiều lớn hơn hoặc bằng n và (·,·|·, ,·) là một hàm lấy giá trị thực
trên X
n+1
= X × X × × X
  
n+1
thỏa mãn các điều kiện sau
(nI
1
) (i) (a, a|a
2
, , a
n
) ≥ 0,

, , a
n
) với mỗi nhóm hoán vị (i
2
, , i
n
) của
(2, , n),
(nI
4
) (a, a|a
2
, a
3
, a
n
) = (a
2
, a
2
|a, a
3
, a
n
),
(nI
5
) (αa, b|a
2
, , a

định trên X
n
và thỏa mãn các điều kiện sau
(nN
1
) a
1
, , a
n
 = 0 nếu và chỉ nếu a
1
, , a
n
phụ thuộc tuyến tính,
(nN
2
) a
1
, , a
n
 = a
i
1
, , a
i
n
 với mỗi nhóm hoán vị (i
1
, , i
n

1

, a
2
, , a
n
.
Khi đó ·, ,· được gọi là n-chuẩn trên X và (X,·, ,·) được gọi là một
không gian tuyến tính n-chuẩn.
12
Cũng như trong không gian 2-tích vô hướng, ta có bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong không gian n-tích vô hướng
|(a, b|a
2
, , a
n
)| ≤

(a, a|a
2
, , a
n
)

(b, b|a
2
, , a
n
). (1.13)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, a

, , a
n
) =
1
4

a + b, a
2
, , a
n

2
− a − b, a
2
, , a
n

2

(1.15)
và quy tắc hình bình hành
a + b, a
2
, , a
n

2
+ a − b, a
2
, , a










(a| b) (a| a
2
) ··· (a| a
n
)
(a
2
| b) (a
2
| a
2
) ··· (a
2
| a
n
)
.
.
.
.
.

n-chuẩn sinh bởi tích vô hướng này chính là thể tích hình hộp sinh bởi các vectơ
a
1
, , a
n
.
Với X = R
n
ta có n-chuẩn
a
1
, , a
n
 = |det(a
ij
)|
với a
i
= (a
i1
, , a
in
) ∈ R
n
, i = 1, 2, , n.
13
1.3. Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong
không gian n-chuẩn
Trong không gian định chuẩn có các công thức khác nhau cho trực giao giữa
hai vectơ. Ít nhất, có ba định nghĩa nổi tiếng của trực giao, cụ thể là Pythagorean,

ta không thể tìm thấy hai vectơ khác không x và y trực giao trong trường hợp
tiêu chuẩn. Họ sửa đổi lại khái niệm tính trực giao như sau.
(B
1
) x⊥
P
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, z
2
+ y, z
2
= x + y, z
2
với mọi z ∈ V .
(B
2
) x⊥
I
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x − y, z = x + y, z với mọi z ∈ V .
(B
3
) x⊥
BJ
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, z ≤ x + αy, z với mọi α ∈ R, z ∈ V .
Định nghĩa 1.5. [1] (G-trực giao trong không gian 2-tích vô hướng) Cho (X, (·,·|·))
là một không gian 2-tích vô hướng. Với x, y ∈ X, ta nói x là G-trực giao với y,
kí hiệu x⊥
G


2
+ y, x
2
, , x
n

2
= x + y, x
2
, , x
n

2
với mọi x
2
, , x
n
∈ V .
b) x⊥
I
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x − y, x
2
, , x
n
 = x + y, x
2
, , x
n

, f
j
| z) = δ
ij
với mọi i, j ∈ {1, , n}, ở đây δ
ij
là hệ số
Kronecker (ta nói rằng họ (f
i
)
1≤i≤n
là z-trực giao), khi đó bất đẳng thức sau
tương ứng với bất đẳng thức Bessel (xem [18])
n

i=1
|x, f
i
| z|
2
≤ x, z
2
, ∀x ∈ X. (1.17)
Định lý 1.1. [2] Cho a, x, z, A là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng
(X, (·, ·|·)) trên trường K (K = R, C), với a = A. Khi đó
Re (A− x, x − a| z) ≥ 0 (1.18)
15
nếu và chỉ nếu




x −
a + A
2
, z




2
.
Bằng phép tính đơn giản ta thấy
I
1
= I
2
= Re [(x, a| z) + (A, x| z)] − Re (A, a| z) − x, z
2
.
Do đó I
1
≥ 0 khi và chỉ khi I
2
≥ 0. 
Định lý 1.2. [2] Cho x, z, e ∈ X là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng
(X, (·, ·|·)) trên trường K (K = R, C), với e, z = 1. Khi đó ta có kết quả sau đây
0 ≤ x, z
2
− |(x, e| z)|
2

2
≤ x − λe, z
2
x − (x, e| z) e, z
2
= x − λe, z
2

x, z
2
− |(x, e| z)|
2

(1.22)
hay
x, z
2
− |x, e| z|
2
≤ x − λe, z
2
, λ ∈ K. (1.23)
Lấy infimum trong (1.23) trên λ ∈ K, ta được
x, z
2
− |x, e| z|
2
≤ inf
λ∈K
x − λe, z

i∈F
M
i
e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
|z

≥ 0 (1.26)
tương đương với





x −

i∈F
M
i
+ m
i
2
e

i
, A =

i∈F
M
i
e
i
, ta có
A − a, z =






i∈F
(M
i
− m
i
) e
i
, z





=

|(M
i
− m
i
)|
2
e
i
, z
2

1
2
=


i∈F
|(M
i
− m
i
)|
2

1
2
.
(1.28)
Áp dụng Định lý 1.1 và (1.28) ta được điều cần chứng minh. 
Định lý 1.4. [3] Cho (X, (·, ·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường

2
− Re


i∈F
M
i
e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
| z

≤
1
4

i∈F
|M
i
− m
i
|
2
.

e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
| z

.
Ta thấy rằng
I
1
=

i∈F
Re

M
i
(x, e
i
| z)

+

i∈F
Re [m


i∈F
m
i
(x, e
i
| z)
−x, z
2
−

i∈F

j∈F
M
i
m
i
(e
i
, e
j
| z)


=

i∈F
Re


2
−

i∈F
|x, e
i
| z|
2
=

i∈F
Re

(M
i
− (x, e
i
| z))

(x, e
i
| z) − m
i

− Re


i∈F
M
i

i
(i ∈ F )
ta được

i∈F
Re

(M
i
− (x, e
i
| z))

(x, e
i
| z) − m
i

≤
1
4

i∈F
|M
i
− m
i
|
2
. (1.31)

i
|
2
−

i∈F




M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)




2
.
(1.32)
18
Chứng minh. Ta đặt
I
1
:=

+ m
i
2
e
i
, x−

j∈F
M
j
+ m
j
2
e
j
|z


= x, z
2
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i

i
, e
j
| z)
= x, z
2
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z)
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z) +

i∈F

i
| z)




2
=

i∈F

M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)

M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)

=

M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z)

=

i∈F




M
i
+ m
i
2




2
+

i∈F
|(x, e





x −

i∈F
M
i
+ m
i
2
e
i
, z





2
−

i∈F




M
i



1
b − a
b

a
f (x) g (x) dx −
1
b − a
b

a
f (x) dx.
1
b − a
b

a
g (x) dx






≤
1
4
(M − m) (N − n) (2.1)

Định lý 2.1. [6] Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] và n ≤ g(x) ≤ N với
mọi x ∈ [a; b], ở đây n, N là những hằng số thực. Khi đó ta có bất đẳng thức






1
b − a
b

a
f (x) g (x) dx −
1
b − a
b

a
f (x) dx.
1
b − a
b

a
g (x) dx







1
2
.
(2.2)
Định lý đã được chứng minh bởi M. Mati´c, J. Peˇcari´c và N. Urievi´c (xem [6]) và
bất đẳng thức này cho ta một đánh giá tốt hơn bất đẳng thức của Gr¨uss (2.1).
Thật vậy, giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] thỏa mãn điều kiện
m ≤ f(x) ≤ M, n ≤ g(x) ≤ N
với mọi x ∈ [a; b] và m, M, n, N ∈ R. Áp dụng (2.2) với g = f, ta có
1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx




1
2
hay



1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx


2





a
f (x) h (x) dx.
b

a
g (x) h (x) dx






≤
1
4
(M − m) (N − n)


b

a
h (x) dx


2
. (2.4)
Chứng minh. Chúng ta chú ý đẳng thức sau
1
b


b

a
h (x) dx

2
b

a
b

a
(f (x) − f (y)) (g (x) − g (y)) h (x) h (y) dxdy.
(2.5)
Áp dụng bất đẳng thức tích phân Cauchy-Buniakowski-Schwarz cho tích phân
bội ta có







1
2

b

a

a
b

a
(f (x) − f (y))
2
h (x) h (y) dxdy
×
1
2

b

a
h (x) dx

2
b

a
b

a
(g (x) − g (y))
2
h (x) h (y) dxdy
22
=







2






×






1
b

a
h (x) dx
b

a
g
2
(x) h (x) dx −



a
h (x) dx
b

a
f
2
(x) h (x) dx −





1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx





2
=

b

a
f (x) h (x) dx − m





−
1
b

a
h (x) dx
b

a
(M − f (x)) (f (x) − m) h (x) dx.
Do (M − f (x)) (f (x) − m) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b], khi đó
1
b

a
h (x) dx
b

a
f
2


a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx










1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx − m



