Sáng kiến kinh nghiệm
Xây dựng một số bất đẳng thức
từ những bất đẳng thức quen thuộc
Nguyễn Hữu Thi êm
Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học sinh. Bất
đẳng thức xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau và việc chứng minh bất đẳng thức cũng
rất phong phú. Ta có thể biến đổi tơng đơng, sử dụng các bất đẳng thức đã biết nh
Côsi, Bunhiacopxki hay Trêbxep Becnuli Trong bài viết này tôi muốn giúp học sinh
xây dựng một số bất đẳng thức dựa vào một số bất đẳng thức quen thuộc. (Việc
chứng minh những bất đẳng thức này thật đơn giản mà không chứng minh lại). Đó là
các bất đẳng thức sau:
1.
2+
x
y
y
x
x, y >0
2.
yxyx
+
+
411
x, y >0
3. (x+y+z)
9
111





2
3
111 ++
+
++
+
++
+
)
ba
c
()
ac
b
()
cb
a
(
(a+b+c)
2
9111







+
+

+
+
+
+
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
Nghuyễn Hữu thiêm
92
Sáng kiến kinh nghiệm
H ớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức (2):
yxyx +
+
411

cba)acb()ba(acbba ++
=
++++

++

1
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và ớc lợng ta đợc:
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++

+
+
+
+
+ 2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
Dấu = xảy ra






x = a + 4b + c
y = b + 4c + a
z = c + 4a + b
Ta đợc:

)(2
1
4
1
4
1
4
1
cbabacacbcba ++

++
+
++
+
++
Dấu = xảy ra a + 4b + c = b + 4c + a = c + 4a + b a = b = c
Các bài toán có đợc nhờ phát triển bài 1, 2, 3.
1. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng:
cbaaccbba
++

+
+
+
+

a)
)cba(bacacbcba ++

++
+
++
+
++ 2
3
32
1
32
1
32
1
b)
cbaaccbba ++

+
+
+
+
+
1
8
1
8
1
8
1

H ớng dẫn:
Vì
baba +
+
411
theo (1). Nên:






+
+
+
+
+
++
accbbacba
111
2
111
ab + bc + ca 2abc






+

cba
222
2
= 2
)cabcab(
ba
c
ac
b
cb
a
++






+
+
+
+
+


++
++
+
cabcab
cba


))ba(c)ac(b)ba(a(
ba
c
ac
b
cb
a
+++++






+
+
+
+
+

)cabcab(
)cba(
ba
c
ac
b
cb
a
++

1
2
1
cba
cabcab
cba
cabcab
cabcab
cba
++
++









++
++
+
++
++
Nghuyễn Hữu thiêm
94
Sáng kiến kinh nghiệm
mà
2

1
cba
cabcab
++
++

2
1
a, b, c
Do đó: 2 -
222
2
1
cba
cabcab
++
++
2
3

Nh vậy bất đẳng thức:

ba
c
ac
b
cb
a
+
+

cb
a
+
+
+
+
+
b)
)cba(
)cabcab(
ba
c
ac
b
cb
a
++
++

+
+
+
+
+ 2
3
222
H ớng dẫn:
ở hai bất đẳng thức bài số 4 này có cùng 1 dạng đó là chứng minh bằng phơng
pháp bắc cầu tức là xen vào giữa 2 vế bất đẳng thức một biểu thức trung gian. đó
là:

+

ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
< 2.
Nghuyễn Hữu thiêm
95
Sáng kiến kinh nghiệm
Mặt khác:
cba
a
cba
a
)cb(a
a
)cb(a
ac
cb
a
++
=






+=
+=
+=
bac
acb
cba
vô nghiệm với a, b, c dơng.
b) Theo bất đẳng thức Côsi:
a
cb
cb
a
2
2
2
2

+
+
+

2
222
cba
ba

+ z
z
y
y
x
x

4
3

H ớng dẫn:
Với a, b, c dơng theo (3): (a+b+c)(
9
111
++ )
cba

4
9
111
9
1
1
1
1
1
1
=
+++++


2
+ b
2
+ c
2

2
+
2
+
2
H ớng dẫn:
Vì a, b, c <
(a- )(b-)(c-) + (-a)( -b)( -c) 0
Nghuyễn Hữu thiêm
96
Sáng kiến kinh nghiệm
ab + bc + ca (a+b+c)( +) +
2
+ +
2
0
(a+b+c)
2
2(a+b+c)( +) + ( +)
2
+
2
+
2

+ b
2
+ c
2
14.
3) Cho n là số thực tuỳ ý. a, b, c [n-1; n+1] thoả mãn: a+b+c = 3n. Chứng minh
rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
3n+2.
4) Cho x
i
[-1; 1];

= 3nx
i
Chứng minh rằng:

1nx
2
i
5) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
a)
8
1
111


3
+
+
+
+
+ cba
c
cba
b
acb
a
c)
3
+
+
+
+
+ bac
c
acb
b
cba
a
Bài toán 5:
Cho C có 3 cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng:
xa
2
+ yb
2
+ zc

)(sin
2
C+cos
2
C) = (x+z)(y+z)
Theo bất đẳng thức Côsi:
Nghuyễn Hữu thiêm
97
Sáng kiến kinh nghiệm
(x+z)a
2
+ (y+z)b
2
2ab
)zy)(xx( ++
(*) hoàn toàn đợc chứng minh.
áp dụng bài toán 5 ta có:
x = y = z = 1: a
2
+ b
2
+ c
2
4
S3
x = tg
222
C
tgz;
B

Với tam giác ABC nhọn x= cotgA; y = cotgB; z = cotgC. Ta có:
cotgB.cotgA + cotgB.cotgC + cotgA.cotgC = 1
4S =
gCcotgBcotgAcot
cba
++
++
222
(áp dụng định lí cotg)
a
2
cotgA + b
2
cotgB + c
2
cotgC
gCcotgBcotgAcot
cba
++
++
222
ở bài 5 với x = y = 3; z = -1. Ta có bất đẳng thức:
3a
2
+ 3b
2
c
2
4
S3

Chứng minh rằng: x+y+z+
2
15111
++
zyx
Hớng dẫn:
Cách 1: x+
1
2
1
2
4
1
= .
x

( )
3
111
4
1










3
29111
=++
.
zyx

2
9
4
36111
4
3
=








++
.
zyx
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: x+y+z+
2
15111
++
zyx

+
với 0 < x 3/2 f(x) 15/2
Dấu = xảy ra x = y = z = 1/2
Bài 2:
Cho x, y, z > 0; x+y+z 3/2
Chứng minh rằng:
17
2
3111
2
2
2
2
2
2
+++++
z
z
y
y
x
x
Hớng dẫn:
VT
( )
2
2
111



2
2
2
2
2
2
2
2
62
3
6
92
3
2
62
3
6
2
3
62
3 aababa


















+






a+b
2
2
2
2
3
6
2
3
2






3
6
2
2
=






+
Bài 3:
Cho x
1
, x
2
, ,x
n
là n số thực không âm. Chứng minh rằng:
nếu: x
1
+ x
2
+ + x
n
<
2
1
thì: (1-x

0 x
i
< 1 i =
n,1
).
Bài 4:
Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn: abc = 1.
Chứng minh rằng:
cbaaccbba +
+
+
+
+

++
+
++
+
++ 2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1

2
24x 3y 27 0

0273933
3
12
3
4
3
33
5
3
5
2
2
2
2
2
22
++








+



)xy()xxy(x
xy
xyxy
xy
y
xy
xyx
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do x 3; y 3
Dấu = xảy ra a = b = c = 1.
Bài 5:
Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x+y+z = 1.
Chứng minh rằng: 0 xy+yz+zx-2xyz
27
7
Hớng dẫn:
Nghuyễn Hữu thiêm
100
Sáng kiến kinh nghiệm
Đặt S = xy+yz+zx-2xyz = xy(1-2z) + x+y)z
Không mất tính tổng quát giả sử z
3
1

0++ z)xy(xy
3
1
S
Mặt khác:
S=xy(1-2z) +(x+y)z

Bài 6:
Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x+y+z = 1.
Chứng minh rằng: 7(xy+yz+zx) 2+9xyz
Hớng dẫn:
Do x+y+z = 1 nên bất đẳng thức tơng đơng:
7(xy+yz+zx)(x+y+z) 2(x+y+z)
3
+9xyz
xy
2
+ yx
2
+ xz
2
+ zx
2
+ y
2
z + z
2
y 2(x
3
+ y
3
+ z
3
)
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
yxyxzxx
2

a
bc
c
ab
Bài 8:
Cho x, y, z là các số dơng mà: x
2
+y
2
+z
2
= 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =
y
xz
x
yz
z
xy
++
H ớng dẫn:
Đặt a =
y
xz
c;
x
yz
b;
z
xy

a
c
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
++++
Bài 11:
Cho a, b, c, d > 0 và a+b+c+d = 1.
Chứng minh rằng: (1+a+b)(1+b+c)(1+c+d)(1+d+a) 16(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)
Bài 12:
Cho a, b, c [0; 1]. Chứng minh rằng:
2
111

+
+
+
+
+ ba
c
ca
b
bc

+
a
c
c
b
b
a
Hớng dẫn:
Cách 1:
x
z
c;
z
y
b;
y
x
a ===
(x, y, z dơng)
(x-y+z)(-z+y+xz-x+y) xyz (luôn đúng)
Cách 2: Ta có:
2
1
1
1
1
1
2
1
1


++






+
=






++






+
b
ab
a
c
c
a

) dơng. Đặt P =
k
k
n
i
i
a
P
P;a =

=1
Chứng minh rằng:

=


+
n
i
i
n
i
i
P)n(a
P
1
1
1
1
Hớng dẫn:




i
n
i
i
P)n(a
P)n(
1
1
1
1
1

+


i
n
i
n
i
P)n(a
a
1
1
1
Theo bất đẳng thức Côsi:
(n-1)P

1
1
1
a
i
n-1
+ (n-1)P
i


=

n
i
n
i
a
1
1


+


i
n
i
n
i
P)n(a

n
i
P)n(a
a
1
1
1
1

1
1
1
=




n
i
n
i
a
a
(đpcm)
áp dụng bài 14 ta đợc các bài toán cụ thể sau:
1) Cho a, b, c dơng.
Chứng minh rằng:
1
222
222

bcd
Việc chứng minh 1) và 2) hoàn toàn dựa vào bài 14 với trờng hợp n = 4, 3.
Bài 15:
Cho a, b, c > 0. chứng minh rằng:
1
3
1
1
1
1
1
1
+

+
+
+
+
+ abc)a(c)c(b)b(a
Nghuyễn Hữu thiêm
103
Sáng kiến kinh nghiệm
Hớng dẫn:
Ta có:











+
+
+
+
+
+
=+
+
a
)b(a
)a(c
c
abcabc)a(c
c
)a(c
)c(b
b
abcabc)c(b
b
)c(b
)b(a
a
abcabc)b(a
1
1
1

=
+

+ abc

abcabc
VT
1
3
+abc
Trên đây là 1 số bài toán về các số dơng và mối liên hệ giữa các độ dài cạnh trong
một tam giác. Trong bài viết có su tầm 1 số bài toán từ các kỳ thi chọn học sinh giỏi,
IMO, báo Toán học và Tuổi trẻ, các kỳ thi Olympic các nớc Do thời gian và năng
lực còn nhiều hạn chế, nên bài viết không khỏi thiếu những thiếu sót. Mong nhận đợc
sự đóng góp, góp ý từ phía các thầy cô.
Em xin chân thành cảm ơn !

Nghuyễn Hữu thiêm
104