SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
TỔ TOÁN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
KHAI THÁC BÀI TOÁN
TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT
ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN
THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA
Người thực hiện: Ninh Văn Quang
Giáo viên trường THPT Lạng Giang số 1

Lạng Giang, tháng 9 năm 2014
MỤC LỤC
NỘI DUNG Trang
Phần I: Mở đầu……………… ………………………… 1
I. Lý do chọn đề tài 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2
V. Phương pháp nghiên cứu 3
VI. Những đóng góp của đề tài 3
Phần II: Nội dung nghiên cứu và kết quả 4
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài 4
Chương II:
Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng
một số bài toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA
Chương III:
Kết quả nghiên cứu
5

Qua giảng dạy tôi thấy các em học sinh luôn gặp khó khăn khi tiếp cận
1
các bài toán cực trị hình học. Hơn nữa, việc vận dụng các bài toán cực trị hình
học vào giải quyết các bài toán thực tiễn lại càng khó khăn hơn.
Vì những lí do trên, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với tiêu
đề: "Khai thác bài toán tổng khoảng cách nhỏ nhất để xây dựng một số bài
toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi của PISA" với mong muốn giúp các em học
sinh làm quen với những bài toán có nội dung thực tiễn và sử dụng kiến thức, kĩ
năng của chính các em để giải quyết các bài toán thực tiễn đó; đồng thời giúp
các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu và tự xây dựng một số bài toán có dạng
giống như câu hỏi thi của PISA.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Giúp các em học sinh bậc THPT làm quen với những bài toán có nội dung
thực tiễn và biết sử dụng kiến thức, kĩ năng của chính các em để giải quyết các
bài toán thực tiễn đó.
Giúp các thầy cô và các em học sinh tìm hiểu để có thể tự xây dựng một
số bài toán có dạng giống như câu hỏi thi của PISA.
Quy lạ về quen, gắn Toán học với thực tiễn và thực tiễn với Toán học.
Làm rõ hơn câu nói "Học đi đôi với hành".
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Khai thác một số bài toán hình học về tổng khoảng cách nhỏ nhất. Từ đó
xây dựng một số bài toán có nội dung thực tiễn, đảm bảo mục đích nghiên cứu
đã đề ra.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
2
+ Bài toán dựng hình
+ Các phép biến hình như phép đối xứng trục, phép tịnh tiến,
+ Các bài toán cực trị hình học.
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

rộng rãi. Học tốt môn toán và đặc biệt là toán hình đối với học sinh là một vấn
đề không hề đơn gian. Học sinh thường gặp khó khăn trong việc tiếp nhận các
kiến thức và phương pháp và càng khó hơn trong việc vận dụng các kiến thức và
phương pháp ấy vào việc giải các bài toán thực tiễn. Đối với các thầy, cô giáo
dạy toán thì cái khó tiềm ẩn trong khả năng phân tích, dẫn giải giúp học sinh
hiểu được một cách rõ ràng, nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy, cô
giáo muốn truyền đạt. Người thầy trong quá trình truyền đạt tri thức phải là
4
M
M
d
d
A
A
B B
người hướng dẫn và “mở đường” cho các em, còn các em phải tự mình xây
dựng được các kĩ năng, tích lũy được các kinh nghiệm giải toán, từ đó mà chất
lượng học tập của học sinh sẽ ngày được nâng lên.
Các bài toán liên quan đến tổng khoảng cách nhỏ nhất là những bài toán
khó nên học sinh sẽ gặp khó khăn khi học tập và nghiên cứu, việc áp dụng thành
thạo các bài tập ở dạng này đối với nhiều học sinh là chưa được tốt. Khi viết
chuyên đề này tôi luôn quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh dễ hiểu bài để có
thể vận dụng tốt kết quả của bài toán, giúp học sinh biết gắn các bài toàn này với
thực tiễn cuộc sống.
Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ
NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN CÓ DẠNG
CÂU HỎI THI CỦA PISA
Bài toán 1:
Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d.
Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.

* Cách dựng:
- Dựng A’ đối xứng với A qua d.
- Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d tại điểm M cần tìm.

* Chứng minh:
Với điểm M đã dựng và điểm M' bất kì thuộc d mà M' không trùng với M,
ta có:
M'A + M'B = M'A' + M'B
6
A
B
M
A'
M'A' + M'B > A'B
A'B = MA' + MB
MA' + MB = MA + MB
Suy ra M'A + M'B > MA + MB.
Vậy MA + MB là nhỏ nhất.
* Biện luận:
Luôn tìm được duy nhất điểm M thỏa mãn đề bài.
Trực tiếp từ Bài toán gốc có thể xây dựng nên các bài toán thực tiễn và có
thể chọn các bài toán này làm câu hỏi trong các kỳ đánh giá năng lực học sinh
phổ thông của PISA trong lĩnh vực Toán học (được gọi là các câu hỏi thi PISA).
Bài toán thực tiễn 1: Bồ câu nhặt thóc
Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây. Một con chim bồ câu bay từ ngọn
cây thứ nhất xuống sân nhặt thóc ăn rồi bay ngay lên ngọn cây thứ hai. Hỏi bồ
câu phải nhặt thóc tại vị trí nào trên sân để chiều dài đường bay của nó là ngắn
nhất.
7
Sân phơi thóc

A
A’
M
N
B
A
1
a
giống như xác định M trong bài toán gốc. Ban đầu tìm ảnh S' của S qua gương
phẳng (S' đối xứng với S qua gương), sau đó xác định giao điểm của đường
thẳng S'R với mặt gương chính là điểm tới I cần tìm.
Bài toán 3:
Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm về cùng một phía đối
với đường thẳng d. Tìm hai điểm M, N thuộc đường thẳng d sao cho MN = a (a
là một số dương không đổi) và đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
* Phân tích: - Dựng hình bình hành AMNA
1
, suy ra AA
1
= MN = a, AM = A
1
N.
- Từ đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc AA'NB,
và bằng: a + A
1
N + NB. Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất khi

Ở hai đầu sân phơi thóc có hai cái cây. Một con chim bồ câu bay từ ngọn
cây thứ nhất xuống một vị trí trên sân, vừa nhặt thóc ăn bồ câu vừa nhảy đi
được 5 bước, sau đó bay lên ngọn cây thứ hai. Hỏi bồ câu phải đáp xuống vị trí
nào trên sân để chiều dài đường đi của nó là ngắn nhất.

Có thể thấy bài toán trên được xét trong không gian nhưng được quy về
xét trong mặt phẳng và nó trở thành Bài toán 3 ở trên. Đường đi của bồ câu
10
O
M
N
P
x
y
chính là đường gấp khúc AMNB trong Bài toán 3 và vị trí đáp xuống cần tìm
của bồ câu chính là vị trí cần tìm của điểm M.
Ta có thể phát triển Bài toán gốc với phép lấy điểm đối xứng qua một
đường thẳng để được bài toán dùng phép lấy điểm đối xứng qua hai đường thẳng
như sau.
Bài toán 4:
Cho góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Tìm điểm M thuộc
cạnh Ox và điểm N thuộc cạnh Oy sao cho chu vi tam giác PMN nhỏ nhất.
Lời giải
* Cách dựng:
- Lấy điểm A đối xứng với P qua Ox và B đối xứng với P qua Oy.
- Đường thẳng AB cắt các cạnh Ox và Oy lần lượt tại M, N.
* Chứng minh:
Ta có:
PM = AM
NP = NB

P
2
cắt AB và AC lần lượt tại các điểm M và N
cần tìm.
12
A
M
N
P
B
P
2
P
1
C
Bây giờ thay vì sử dụng phép lấy đối xứng qua hai cạnh của một góc nhọn
ta xét đến phép lấy đối xứng qua hai đường thẳng song song.
Bài toán 6:
Cho hai đường thẳng song song d và d'. Hai điểm A và B nằm khác phía
đối với cả d và d' như hình vẽ. Hãy tìm điểm M thuộc d và điểm N thuộc d' sao
cho MN vuông góc với d và d', đồng thời đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ
nhất.
Lời giải
* Phân tích :
- Giả sử hai đường thẳng song song d và d' cách nhau một khoảng bằng a
(a > 0).
- Vì M thuộc d, N thuộc d', MN vuông góc với d và d' nên MN = a.
- Tịnh tiến điểm A theo vectơ
MN
uuuur

d'
M'
M
N
N'
A
A’
B
A
B
N
M
d
d'
Làng B
N
M
Bờ sông 1
Cầu
Làng A
A'
Bờ sông 2
Sông
Bài toán thực tiễn 4: Xây cầu ở đâu?
Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông. Cần bắc một cây cầu phục
vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang làng
kia) sao cho đường đi là ngắn nhất. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để
bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song và cầu phải
bắc vuông góc với hai bờ sông.
Hướng dẫn

+ Nếu
∆
và d' trùng nhau thì mọi cặp điểm M, N trên d và d' sao cho MN vuông
góc với d và d' đều thỏa mãn yêu cầu đề bài.

∆
Từ Bài toán 7 ta có thể xây dựng nên bài toán thực tiễn sau.
Bài toán thực tiễn 5: Xây cầu chỗ nào?
Hai làng A và B nằm ở hai bên bờ một con sông. Cần bắc một cây cầu
phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng (đi từ làng này qua cầu rồi sang
làng kia) sao cho đường đi từ mỗi làng đến cầu là dài bằng nhau. Hãy tìm địa
điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cây cầu đó, biết rằng hai bờ sông là hai
đường thẳng song song và cầu phải bắc vuông góc với hai bờ sông.
16
A
B
M
NBờ sông 2
Bờ sông 1
A'
Cầu Sông
Làng A
Làng B
M
N
Hồ nước
Hướng dẫn
Gọi hai bờ sông đó là d và d' (d song song với d'). Hai làng A và B là hai
điểm A và B. Cây cầu chính là đoạn MN cần dựng như trong Bài toán 7.
Như vậy bài toán này trở thành bài toán 7 với cách giải quyết tương tự.

đề xuất nhân rộng mô hình giáo viên và học sinh làm quen với việc gắn các bài
18
Lớp
Sĩ
số
Điểm từ 8
trở lên
Điểm từ 6.5
đến dưới 8
Điểm từ 5
đến dưới 6.5
Điểm từ 3.5
đến dưới 5
Điểm dưới
3.5
10A3 44 0 8 30 6 0
10A4 44 10 25 9 0 0
toán trừu tượng với những tình huống thực tế gần gũi, góp phần nâng cao chất
lượng, hiệu quả dạy và học trong nhà trường.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ
I. KẾT LUẬN
Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham
khảo chưa có nhiều nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tôi mong rằng sáng kiến
kinh nghiệm này ít nhiều có thể giúp thầy cô và các em học sinh trong công tác
dạy và học đáp ứng yêu cầu giáo dục trong giai đoạn hiện nay.
Bằng những kinh nghiệm sau một số năm giảng dạy ở trường phổ thông,
nhất là những bài học rút ra khi dự giờ thăm lớp của các đồng nghiệp cũng như,
cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn,
tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm
"Khai thác bài toán tổng khoảng cách

3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên). Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục 2006.
21