Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
MỤC LỤC
LỜI NĨI ĐẦU trang 2
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Những vấn đề chung …………………………………………trang 3 -4
II. Đặc điểm tình hình, thực trạng về chất lượng trang 4-6
III. Biện pháp khắc phục trang 6-7
Phần thứ hai. NI DUNG trang 8-21
Phần thứ ba: KT LUN trang 22
PHỤ LỤC trang 23
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 1
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
LỜI NĨI ĐẦU
Viết sáng kiến kinh nghiệm là hình thức rất tốt để rèn luyện chun mơn
nghiệp vụ của mỗi giáo viên trong Ngành giáo dục và Đào tạo. Hàng năm các đơn
vị trường đều phát động và tổ chức phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm. Từ
năm học 2005 – 2006, Sở GD & ĐT ĐăkLăk đã cụ thể hóa việc viết SKKN thành
một nội dung bắt buộc đối với từng giáo viên trong việc thực hiện nhiệm vụ năm
học.
Năm học 2004 – 2005, Sở GD – ĐT đã chấm và trao giải cho những
SKKN có chất lượng, phòng GD – ĐT huyện KrơngAna đạt được 04 giải C.
Trong đó bản thân tơi cũng được cơng nhận sáng kiến “Khai thác bài tập 28 SGK
tốn 6 - tập I”. Phát huy thành tích đã đạt được và mong được góp một phần nhỏ
những gì mà bản thân đã thu thập được trong q trình học tập, giảng dạy vào
phong trào chung của ngành giáo dục huyện nhà (nay là huyện Cư Kuin). Tơi xin
mạnh dạn viết tiếp một bài mong được trao đổi, bài viết có tựa đề “Khai thác bài
tập 87 sách bài tập tốn 6 – tập 2 trang 18”.
Nội dung của bài viết gồm 3 phần:
A. Đặt vấn đề

Do tốn học có vai trò rất to lớn như vậy, nên tốn học được mệnh danh là
“Mơn thể thao của trí tuệ”. Vì vậy việc giải tốn là một trong những vấn đề
trung tâm của cả người dạy và học tốn. Bởi lẽ đó là cơng việc mà cả hai đối
tượng này thường xun phải làm. Đối với học sinh nhỏ thì việc giải tốn là hình
thức chủ yếu của việc học tốn. Thơng qua việc giải tốn, kiến thức tốn của các
em sẽ được củng cố, khắc sâu và mở rộng; Giải tốn là hình thức tốt nhất để các
em rèn luyện các kỹ năng như: Tính tốn, biến đổi, suy luận … Mặt khác, việc
tìm kiếm được lời giải của một bài tốn khó hoặc áp dụng lời giải của một bài
tốn đã giải để giải bài tốn mới, bài tốn tổng qt hơn sẽ tạo nên sự hào hứng,
phấn chấn, vun đắp lòng say mê tốn học của các em ; Giải tốn cũng là hình thức
rất tốt để rèn luyện cho học sinh nhiều đức tính như: Tính cần cù, tính kỷ luật,
tính năng động và sáng tạo … Vậy giải một bài tốn như thế nào?
Thơng thường việc giải một bài tốn hay tiến hành theo 4 bước là:
- Tìm hiểu đề bài tốn;
- Tìm lời giải;
- Thực hiện giải;
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Tuy nhiên trong q trình giải tốn, các em ít quan tâm đến đầy đủ các
cơng việc nới trên, nhất là đối với học sinh nhỏ. Nhiều học sinh học kém tốn,
những học sinh lười học, khơng nắm vững kiến thức đã đành, còn nhiều học sinh
chịu khó học bài, thuộc bài, thậm chí là học khá nhưng nhiều khi vẫn khơng làm
được những bài tập đơn giản hoặc làm sai. Thiếu sót do đâu? Cái chính là do các
em chưa đọc kỹ đề bài tốn, chưa hiểu rõ bài tốn đã vội lao ngay vào giải. Bởi
vậy, khơng biết bắt nguồn từ đâu và do đó nếu gặp khó khăn, các em sẽ khơng
biết tìm ra lời giải. Cũng có thể là do các em chưa chịu nghiên cứu, khảo sát kỹ
các chi tiết của bài tốn, chưa biết kết hợp các chi tiết của bài tốn theo nhiều khía
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 3
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
cạnh khác nhau, hoặc lại chưa sử dụng hết các dữ kiện của bài tốn. Nhiều bài

27/8/2007 của Chính phủ trên cơ sở điều chỉnh địa giới hành chính của huyện
Krơng Ana (Phòng GD&ĐT huyện ra cùng thời gian này). Trung tâm huyện cách
Thành phố Bn Ma Thuột khoảng 20 km về phía Nam. Diện tích tự nhiên
28.830 ha, trong đó: Đất sản xuất nơng nghiệp 21.451,81 ha, đất lâm nghiệp
878,69 ha, diện tích ni trồng thủy sản 382,6 ha. Tổng dân số 109.770 người với
20.354 hộ, trong đó dân tộc thiểu số 29.870, lao động 53.365 người. Tổng số hộ
nghèo 4.787 hộ với 24.861 khẩu chiếm 23,5%. Số đơn vị hành chính của huyện
gồm 08 xã với 111 thơn, bn.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 4
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Năm học 2007-2008 tồn cấp THCS có 255 lớp với 9931 học sinh (cuối
năm học). Số học sinh DTTS: 2546 (26.0%).
2. Những thuận lợi và khó khăn trong q trình chỉ đạo dạy – học
Có đầy đủ các văn bản chỉ đạo về Nhiệm vụ năm học của các cấp và
thường xun được sự chỉ đạo của Lãnh đạo Sở, các ban ngành địa phương. Thực
hiện chương trình theo biên chế năm học của Bộ và Sở Giáo dục và Đào tạo; Có
sự chuyển biến trong cơng tác quản lí, chỉ đạo đổi mới phương pháp dạy và học
cải tiến phương pháp đánh giá, xếp loại học sinh. Chất lượng đại trà của học sinh
ngày càng thực chất, cơ sở vật chất, thiết bị dạy và học tiếp tục được đầu tư và
ngày càng khang trang, sạch đẹp. Hoạt động dạy và học ngày càng đi vào nề nếp
và có chiều sâu. CSVC ngày càng khang trang hơn, cơ bản đáp ứng được nhu cầu
dạy và học.
Hầu hết đội ngũ giáo viên THCS của huyện đều là những người đạt chuẩn
và trên chuẩn, nhiệt tình và có tâm huyết với nghề, có nhiều giáo viên là giáo viên
dạy giỏi cấp huyện và tỉnh (năm học 2008-2009 có 15 giáo viên được cơng nhận
giáo viên dạy giỏi tỉnh). Đa số giáo viên là người địa bàn, và ở Tp. Bn Ma
Thuột.
Bên cạnh những thuận lợi nói trên, huyện còn gặp khơng ít khó khăn, đó
là:

20.65 %
Trung bình:
5.48 %
Trung bình:
50.03 %
Yếu:
0.44 %
Yếu, kém
26.20 %
- Chất lượng mơn tốn:
Giỏi:
8.0%
Khá:
15.0 %
Trung bình:
36.0 %
Yếu, kém
41.0 %
Kết quả trên cho thấy: Chất lượng học tập mơn tốn tương đối thấp, vậy
ngun nhân do đâu?
Ngồi những ngun nhân như đã nêu ở phần I-lý do còn một số ngun
nhân khách quan nữa cũng ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng nói chung, đó chính
là những khó khăn như đã nêu ở phần trên.
III. Đề xuất một số giải pháp khắc phục:
- Ln ln tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết
khi giải một bài tốn; Tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ, nghiên cứu để tự mình
đi đến lời giải; Ln tạo cho học sinh hứng thú học tập….
- Đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải , phân tích cho
các em thấy nhằm tạo hứng thú và sự say mê .
- Phát huy tinh thần hợp tác giúp đ‹ nhau trong học tập. Tổ chức các

.
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 7
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Phần thứ hai: NI DUNG
Khai thác bài tập 87- SBT tốn 6 tập 2 trang 18
Nội dung của bài tốn như sau:
a. Cho hai phân số và (n
∈
Z, n > 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân
số này bằng hiệu của chúng.
b.
Áp dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
A =
.

+

.

+

.

+

.

+


b. Trong tổng A: Mỗi tích là 2 phân số có tử là 1 và mẫu của chúng là 2 số
tự nhiên liên tiếp có dạng: n và n+1. Như vậy mỗi tích cũng có dạng

.

Trong tổng B: Mỗi phân số cũng có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của
các phân số khác nhau, mỗi mẫu có thể viết được dưới dạng n.(n+1). Như vậy
mỗi phân số cũng có dạng
.

Như vậy: Hai tổng A và B là hai cách viết khác nhau ⇒ cách tính là
như nhau.
* Tìm lời giải:
a. Xét hiệu
-
. Ta nhận xét rằng: Mỗi phân số của hiệu đều có tử bằng 1
và mẫu của chúng là 2 số tự nhiên liên tiếp (dạng tổng qt). Hãy quy đồng mẫu 2
phân số.
b. Ta nhận xét: Mỗi tích của tổng A là dạng cụ thể của đẳng thức (1). Như
vậy ta chỉ cần viết mỗi tích trong tổng thành hiệu 2 phân số. (Tổng B là tương tự).
* Cách giải:
a.
Quy đồng mẫu, ta được:
-

=

=

Vậy: (1)

-

=

-=
B = + + + + + +
=-+

-+

-+

-
7,8,9….).
* Khai thác bài tốn:
Bài tốn có 2 câu, ở câu a ta đã chứng minh được
=-

(1), nhờ có (1)
mà việc tính 2 tổng A và B một cách nhanh chóng bằng cách biến đổi phân số
trong dãy thành hiệu của 2 phân số, ta đã biến dãy cộng thành dãy trừ và cộng để
ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng hạn
-

và
+
;
-
và
+
; … Như vậy, có
thể nói: Đẳng thức (1) là chìa khóa để giải câu b của bài tốn. Nếu kết hợp 2 tổng
A và B ta sẽ có được một dãy cộng tổng qt hơn.
BÀI TỐN 1: Hãy tính tổng sau:
C =

+

+


* Khai thác bài tốn:
Tổng đã cho là dãy cộng các phân số có từ bảng 1 và mẫu của mỗi phân số
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần. Áp dụng (1) ta đã viết mỗi phân số
thành hiệu 2 phân số mà số bị trừ có tử bằng 1 và mẫu là thừa số nhỏ hơn. Số trừ
cũng có tử là 1 và mẫu là thừa số lớn hơn. Nếu mẫu của mỗi phân số khơng phải
là tích của 2 số tự nhiên liền nhau mà là tích của 2 số chẵn hoặc 2 số lẻ liền nhau
thì sao? Chẳng hạn: ; ; … hoặc ; ; …
Hãy xét bài tốn sau:
BÀI TỐN 2: Tính các tổng sau:
a.
D =

+

+

+ …… +
b.
E =

+

+

+ …… +
* Tìm hiểu bài tốn:
Bài tốn là tính tổng các phân số có tử giống nhau (bằng 1) và mẫu của
mỗi phân số trong tổng là tích của 2 số tự nhiên khác nhau và hơn kém nhau hai
đơn vị. Ở tổng D, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên chẵn liền nhau. Ở
tổng E, mẫu của mỗi phân số là tích của 2 số tự nhiên lẻ liền nhau.


-

=
;
-

=
; ……;
-=

Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 9
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Nhận xét: Mỗi hiệu trên đều cho ta một phân số có tử giống nhau, bằng 2
(khoảng cách giữa 2 thừa số ở mẫu của mỗi phân số) và mẫu vẫn là tích của 2 số
tự nhiên chẵn liên tiếp hoặc lẻ liên tiếp như ban đầu.
* Cách giải: Từ nhận xét trên , để giải ta có thể nhân D và E với 2 hoặc .
Ta có:
2D =

+

+

+ …… +



-=
⇒
D =

:
2
=
+ 2E = 1

-+

-+

-+
……
+



… Nhờ vậy, ta đã tính được nhanh
chóng 2 tổng D và E đã cho. Từ kết quả trên ta hãy xét tiếp bài tốn dưới đây:
BÀI TỐN 3: Tính nhanh các tổng sau:
a. S
1
=

+

+

+ …… +
b. S
2
=

+

+

+ …… +
c. S
3
=

+

+



; ……
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 10
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán

= 1

-

;
=

-

; ……

= 1

-

;
=

-

; ……
* Cách giải:
Ta có:
a. 3S

-

=

=
⇒
S
1
= :

3 =
( có thể tính
S
1
)
b. 5S
2
=

+

+

+ …… +

= 1

-
=

+

+

+ …… +

= 1

-+

-

+

-+
……
+

-= 1


+ ……
hay:

+

+

+ ……;…
Từ bài tốn ban đầu, ta đã có bài tốn 2, bài tốn 3 và đã tính rất nhanh
chóng các tổng tương đối phức tạp nhưng khơng mấy khó khăn. Bây giờ ta hãy
xét tiếp bài tốn sau:
BÀI TỐN 4: Tính các tổng sau:
a. S
4
=

+

+

+ …… +

b. S
5
=

+

+

-

; ……

-

; -

; ……
Ta có:
-=
;
-=
; ……

-=
;
-


+
……
+

-

=

-=
⇒
S
4
= =
b.
3S
5
=

+

+

+ …… +

=


cho học sinh lớp 8, 9. Với HS lớp 6, ta nên dừng lại ở một số số nhất định nào đó,
chẳng hạn: ;
Tóm lại: Việc tính 2 tổng trên cũng có quy luật như các tổng đã xét. Nếu
thay đổi một chút như bài tốn 2 chẳng hạn:
+
; …… Vậy cách tính có gì khác
khơng? Hãy xét tiếp bài tốn tiếp theo.
BÀI TỐN 5: Tính tổng:
S
6
=

+

+

+
……
+

S
7
=

+

+

+
……

-=
; -

=
; …
* Cách giải:
4S
6
=

+

+

+
……
+

=

-+

* Khai thác bài tốn:
Ta hãy xét bài tốn theo khía cạnh khác, chẳng hạn:
Chứng minh:
A

=
+
+
+…………
+
<
B
=
+

+

+……….+
< 3
(Bài tập 347 – BT nâng cao tốn 6 của Bùi Văn Tun, NXB GD 2003)
Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trên chính là một trường hợp cụ thể
của bài tốn 5. Như vậy từ cách giải bài tốn 5 ta có thể tính được nhanh chóng
giá trị của biểu thức A . Đối với tổng B, tử của mỗi phân số đều bằng 36, mà 36
= 9.4, vậy là cách tính tổng B đã cho cũng khơng khác gì cách tính tổng S
6
. Từ
nhận xét trên, ta có:
A

=

+

+
……
+
)
= 9(
-+

-

+

-

+
……
+

-
)
= 9(
-
) = 9
.
=
Do < = 3. Từ đó suy ra B < 3

nhiên liên tiếp. Dãy cộng trên chính là tổng C ở bài tốn1. Từđó suy ra cách giải.
* Cách giải:
Ta có:

+

+

+
+
…… +
=

+

+

+ …… +
=
1

-+

-+

BÀI TỐN 7: Tìm số tự nhiên x, biết:

+

+

+

+ …… +
= (**)
* Tìm hiểu bái tốn:
Giống như bài tốn 6 , bài tốn 7 cũng u cầu ta tìm x, nhưng vế trái của
(**) khác vế trái của (*) ở chỗ phân số cuối cùng lại có tử bằng 2 còn mẫu số vẫn
là dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Vấn đề là làm thế nào để đưa được các
phân số ở vế trái của (**) thành các phân số như vế trái của (*)?
* Tìm lời giải:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 14
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Xét phân số
. Ta có : = 2
.
= 2(
-
). Như vậy ta cũng phải biến đổi
các phân số ;
;

;


+

+
+
+ …… +
=
+

+

+

+ …… +
= 2.(
+

+

+

+ …… +
)
= 2.(
-+

-



+ …… +
= ,…( là một phân số tuỳ y ù)
Để ý rằng, tất cả các bài tốn đã giải ở trên đều sử dụng đẳng thức (1) –
Đó chính là “chìa khố ” quan trọng giúp ta khơng hề gặp khó khăn nào khi tính
giá trị của một biểu thức, chứng minh, hay tìm thừa số x trong mọi đẳng thức.
Hãy thử với bài tốn sau xem “chìa khố ” đó có còn “mở” tiếp được nữa khơng?
BÀI TỐN 8: Tính nhanh tổng sau:
P =
+

+
+
+ ……

+

* Tìm hiểu bài tốn:
Khác với các bài tốn ở trên, bài tốn 8 là tính nhanh tổng các phân số có
tử bằng 1, còn mẫu của mỗi phân số trong tổng đều bằng 2 và có số mũ khác nhau
(Từ 1 đến n). Vậy làm thế nào để tính nhanh được và có thể áp dụng được (1)
khơng?
* Tìm lời giải:
Để ý, ta có: = 1
–

= 1
–

= =

Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 15
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
= (1
-
)
+
(
-

)
+
(
-

)
+
(
-

)
+ …… + (

-

)
= 1
-

+

-
+

+
=
+
= = 1
-
= 1
- +

+

+
=
+
= = 1
-
= 1
-

…………………………………

+


+

+ …… +

+

= 1
+

+

+

+

+ …… +

+

=>
2P
-
P

= 1

+

+

Nhận xét: Cách giải trên cũng giúp ta tính được tổng P khơng mấy khó
khăn, vì 2P – P = P. Với cách giải này ta lại có vơ số bài tốn tương tự, chẳng
hạn:
BÀI TỐN 9: Tính tổng
Q

=

++

+ + …… +

R
=

++

+ + …… +
; v v….
Áp dụng cách là trên ta có:
3Q
=

+


(
++

+ +…… +
)
Q

= 1

-

(Cách tính R tương tự )
* Khai thác bài tốn:
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 16
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
Nếu ta suy xét bài tốn 8 theo hướng khai thác bài tốn 5 ta cũng có:
P =+

+
+
+
……

c.

+

+
+
+ …… +
<
d.

+

+
+
+ …… +
< 1
* Tìm hiểu bài tốn:
Tương tự bài tốn 5, bài tốn cũng u cấu ta chứng minh mỗi tổng đã cho
nhỏ hơn một giá trị cho trước. Mỗi tổng là dãy các phân số có tử là 1 và mẫu của
mỗi phân số khác nhau.
Câu a: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên chẵn liên tiếp có số mũ là 2
Câu b: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp cũng có số mũ là 2
Câu c: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên liên tiếp có số mũ là 3
Câu d: Mẫu số là một dãy các số tự nhiên liên tiếp cũng có số mũ là 2
Như vậy, khác với các tổng trong các bài tốn đã giải ở trên, mẫu số của
các phân số trong các tổng này lại hồn tồn khác.
* Tìm lời giải: (xin trình bày hai câu c và d)
Câu c: Trong bài tốn 5, ta đã biết: <
=
. Để ý ta cũng có:


)
………………………
Câu d: Ta cũng có:

=
<
= 1

-
=
<
=

-
=
<
=

-………………………
Mặt khác, ta cũng có: Nếu a < x, b < y, c < z Thì: M = a + b + c < N= x

+

-

+

-

+
……
+

-

)
=
(
-

)
Giáo viên:Trần Quốc Toản trang: 17
Sáng kiến kinh nghiệm Môn:
Toán
=

-

.

<

-+

-

+ …… +

-= 1
-

< 1
Nhận xét: Việc chứng minh hai biểu thức trên bằng cách áp dụng kết quả
các bài tốn đã giải, ta khơng gặp mấy khó khăn. Như vậy, các bài tốn đã xét
đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu ta tiếp tục suy xét, chắc chắn ta lại có
các bài tốn với lời giải và cách giải cũng sẽ rất thú vị. Hãy thử xem!
Phần thứ ba: KT LUN
Trên đây là một số bài tốn có tính chất mở rộng và sử dụng kết quả của
bài tập 87 sách bài tập tốn 6 tập 2 trang 18. Trong q trình suy xét và trình bày
chắc chắn sẽ có những thiếu sót hoặc chưa được logic lắm. Mặt khác ,nếu tiếp tục
suy xét và khai thác nữa chúng ta sẽ thu được nhiều bài tốn cùng loại hoặc tương
tự phù hợp cho đối tượng học sinh lớp 7, 8 hoặc 9 … các lớp trên các em có thể
giải các bài tốn tổng qt dễ dàng bằng phương pháp quy nạp.
Dạy học tốn , ngồi việc cung cấp cho học sinh các kiến thức tốn học ,
hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng tốn cơ bản . Việc dạy học sinh có
thói quen tư duy tốn học là một trong những cơng việc đặc biệt quan trọng của