Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do thực hiện đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình
toán phổ thông. Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số,
Lượng giác và Giải tích. Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh
mẽ từ tính độc đáo của các phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là
chuyên đề được mọi người quan tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không
hề đơn giản, yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết
vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi,
suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng
bất đẳng thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh
không biết cách lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. vì vậy một bài toán đơn
giản cũng trở nên “vô cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất
đẳng thức, đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề
tài:
“Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng
thức trong chương trình đại số lớp10”
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận;
2. Phương pháp điều tra thực tiễn;
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm;
4. Phương pháp thông kê.
Trang 1
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
III. Đối tượng nghiên cứu:

(1)
Hướng dẫn : Bất đẳng thức (1) được chứng minh nhờ việc áp dụng nhận xét trên 3
lần
Bài 2 : Cho a,b,c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có :
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 2 : Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên dưới dạng cách nhìn
khác mà thôi. Tuy nhiên nếu như học sinh không biết vận dụng ví dụ trên thì liệu
bài toán trên học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Và ở bài toán sau
đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc
ab=1. Ta lại có bài toán mới sau.
Bài 3: Cho a và ab=1. Chứng minh rằng
Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Trang 3
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
Bài 4 : Chứng minh rằng
Trong đó a,b,c là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dung bất đẳng thức (*) ta được
(1)

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Trang 5
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 9 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 4 : Nếu ở bài toán trên chúng ta cộng điều kiện nữa abc=1, ta có bài toán
mới sau đây
Bài 10 : Cho a,b,c là ba số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng :
Nhận xét 5 : Nếu ta lại đặt ta lại có bài toán mới sau
Bài 11 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng :
Trang 6
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
Nhận xét 6 : Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12 : Cho x,y,z là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Bài 13 : Cho a,b,c thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a+b+c
Nhận xét 7 : Việc chứng minh các bài toán 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử
dụng linh hoạt các bài toán tương tụ bài 9. Nếu học sinh không biết vận dụng bài 9

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số thực không âm ta có :

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất
đẳng thức sau :
Bài 19 : Cho là các số thực dương , . Chứng minh rằng :
Trang 8
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta
được :

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xét 12 : Từ những ví dụ minh họa thêm chúng ta có thể khai thác bài toán
trên bằng nhiều cách, nhiều hướng khác nhau. Hướng cho học sinh hiểu rõ được
những vấn đề cơ bản của nó, học sinh sẽ giải quyết được các bài toán trên đây dễ
dàng hơn, qua đó nâng cao hứng thú tìm tòi, rèn luyện tư duy khai thác và sáng tạo
của học sinh.
b/Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng nếu (**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
(**)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
(2)
Và áp dụng kết quả Bài 9 ta được
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Bài 5 : Chứng minh rằng :
Trong đó x,y,z là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Trang 11
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bài 6 : Cho a,b,c là ba số thực dương .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (**) cho n=3 ta có
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 13 : Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một
bất đẳng thức
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật
không khó. Tuy nhiên, nếu người thầy biết hướng dẫn nhìn nhận khai thác bài toán

người thầy giáo. Nó đòi hỏi người thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để định hướng
các em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các phương pháp
chứng minh, nhận định bài toán trên nhiều phương diện. Bản thân tôi trong quá
trình dạy học đã thường xuyên áp dụng và thấy rằng tương có hiệu quả. Để đạt
được những hiệu quả đó, tôi đã thực hiện một số biện pháp sau:
Trang 13
Giáo viên : Trần Lê Thuấn Trung tâm GDTX Quảng Xương
- Luôn tăng cường tham khảo tài liệu, đặc biệt là nghiên cứu kĩ sách giáo khoa (đây
là một tài liệu quan trọng hơn bao giờ hết), qua đó cố gắng ghi lại những bài toán
có thể khai thác các ứng dụng của nó, gải bài toán được trong nhiều cách nhằm
phát huy khả năng sáng tạo và tư duy của học sinh.
- Trong quá trình giảng dạy người giáo viên cần phải biết cách hướng dẫn nhằm
cung cấp cho các em học sinh các phương pháp tiếp cận loại bài toán đó và thường
xuyên đặt câu hỏi : Bài toán này có thể khai thác từ bài toán nào ?Ứng dụng của nó
ra sao ?
- Giáo viên cần phải chuẩn bị các kiến thức hướng dẫn để học sinh tự khám phá , tự
đặt bài toán tổng quát và độc lập giải quyết nó
- Đứng trước một bài toán giáo viên cần hướng dẫn và phân tích cho các em học
sinh , phải xem xét nó cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua đó tìm ra được các
định hướng được cách giải bài toán cho học sinh và cách khai thác ứng dụng của
nó.
- Từ việc khai thác các ứng dụng của nó giáo viên có thể hướng các em học sinh
biết lật ngược được vấn đề, hướng dẫn chuyển đổi các dạng bài toán về các bài toán
mới hay hơn và hiệu quả hơn.
C.PHẦN KẾT LUẬN
Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo khoa
vào giải các bài toán khác nhằm phát triển tư duy cho học sinh là việc làm cần thiết
đối với mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh tư duy toán học, khả năng vận
dung và sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề. Đi từ những vấn đề đơn giản giải
quyết các vấn đề phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó làm