SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN
GIẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10"
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do thực hiện đề tài:
1. Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những phần rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông.
Nó có mặt trong tất cả các bộ môn Số học, Hình học, Đại số, Lượng giác và Giải tích.
Các bài toán về bất đẳng thức tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ từ tính độc đáo của các
phương pháp giải chúng. Chính vì thế bất đẳng thức là chuyên đề được mọi người quan
tâm đến rất nhiều.
Tuy nhiên, việc giải quyết một bài toán về chứng minh bất đẳng thức không hề đơn giản,
yêu cầu không chỉ nắm vững các kiến thức cơ bản, mà còn phải biết vận dụng linh hoạt,
sáng tạo các phương pháp đã học kết hợp với kỹ năng biến đổi, suy luận, dự đoán,
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến bất đẳng thức, cho rằng bất đẳng
thức là một phần rất khó không thể giải được. Nguyên nhân là học sinh không biết cách
lựa chọn phương pháp thích hợp để giải. vì vậy một bài toán đơn giản cũng trở nên “vô
cùng khó” đối với các em.
Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học về bất đẳng thức,
đem lại cho học sinh cách nhìn mới về bất đẳng thức, tôi nghiên cứu đề tài:
“Kinh nghiệm áp dụng một số bất đẳng thức đơn giản để chứng minh bất đẳng thức
trong chương trình đại số lớp10”
II. Phương pháp nghiên cứu:
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận;
2. Phương pháp điều tra thực tiễn;
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm;
4. Phương pháp thông kê.
III. Đối tượng nghiên cứu:

Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có :
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta được :
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 2 : Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên dưới dạng cách nhìn khác
mà thôi. Tuy nhiên nếu như học sinh không biết vận dụng ví dụ trên thì liệu bài toán trên
học sinh giải được không phải đơn giản chút nào. Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể
đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1. Ta lại có bài toán mới
sau.
Bài 3: Cho a và ab=1. Chứng minh rằng
Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Bài 4 : Chứng minh rằng
Trong đó a,b,c là ba số thực dương.
Chứng minh :
Áp dung bất đẳng thức (*) ta được
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số thực dương ta được
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chưng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ về
quên tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tương tự nhằm phát
huy tư duy của học sinh.
Bài 5:

Bài 9 : Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
Tương tự
,
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 4 : Nếu ở bài toán trên chúng ta cộng điều kiện nữa abc=1, ta có bài toán mới
sau đây
Bài 10 : Cho a,b,c là ba số thực dương và abc=1. Chứng minh rằng :
Nhận xét 5 : Nếu ta lại đặt ta lại có bài toán mới sau
Bài 11 : Cho x,y,z là ba số thực dương và xyz=1. Chứng minh rằng :
Nhận xét 6 : Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12 : Cho x,y,z là ba số thực dương. Chứng minh rằng :
Bài 13 : Cho a,b,c thỏa mãn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a+b+c
Nhận xét 7 : Việc chứng minh các bài toán 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh
hoạt các bài toán tương tụ bài 9. Nếu học sinh không biết vận dụng bài 9 (Tức sẽ vận
dụng ví dụ 1) thì e là sẽ khó làm đối với các em học sinh, kể cả đội tuyển học sinh giỏi.
Bài 14 : Chứng minh rằng :
Trong đó a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được :
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Nhận xét 8 : Nếu chúng ta lại đặt Ta lại có bài toán mới sau

Nhận xét 12 : Từ những ví dụ minh họa thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên bằng
nhiều cách, nhiều hướng khác nhau. Hướng cho học sinh hiểu rõ được những vấn đề cơ
bản của nó, học sinh sẽ giải quyết được các bài toán trên đây dễ dàng hơn, qua đó nâng
cao hứng thú tìm tòi, rèn luyện tư duy khai thác và sáng tạo của học sinh.
b/Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng nếu (**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh :
(**)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 1 : (Bài toán tổng quát)
Cho là các số thực không âm , . Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+2 số thực không âm ta có :

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất
đẳng thức sau.
Bài 2 : Cho hai số dương a,b .Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dương nên ta được điều phải chứng
minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Bài 3 : Chứng minh rằng :
Trong đó a,b,c là ba số thực không âm.
Chứng minh :
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :

Nhận xét 13 : Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một bất
đẳng thức
(***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật không
khó. Tuy nhiên, nếu người thầy biết hướng dẫn nhìn nhận khai thác bài toán cơ bản trên
thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản, qua đó ta lại có
một bài toán mới .
Bài 7 :
Các số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh rằng :
Chứng minh :
Áp dụng (***) ta có
Tương tự
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =1
Các bài tập tương tự
Áp dụng các bất đẳng thức (*), (**) và các bất đẳng thức tổng quát của chúng giải các bài
tập sau :
Bài 8 : Cho ba số dương a,b,c. chứng minh rằng
Bài 9 : Cho a,b,c là ba số dương và . Chứng minh rằng :
Bài 10 : Cho a,b,c,d là những số thực dương . Chứng minh rằng :
Bài 11 : Cho là các số thực dương , . Chứng minh rằng :
2. Kết Quả :
Khi áp dụng chuyên đề này tôi thấy các em đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập
trên. Cụ thể :
Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung Bình Yếu
10A 25 3 12% 5 20% 15 60% 2 8%
10B 27 1 3,7% 6 22,2% 19 70,4% 1 3,7%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với bất đẳng thức, không bị áp lực
phải ngồi học trong các giờ toán, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong học tập .
3.Bài học kinh nghiệm :
Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy tư duy toán :

thiện hơn và có nhiều kết quả tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !