SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH
ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
Bài 2. Các phép dời hình trong mặt phẳng
Bài 3. Các ví dụ thực tế
PHẦN II: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ.
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
1) Đại cương về các phép dời hình:
a) Định nghĩa:
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
b) Thuật ngữ và kí hiệu:
- Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M’ là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M’ = F(M) hoặc F(M) = M’.
- Với mỗi hình H, ta goi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M
thuộc hình H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H).
c) Tích của hai phép dời hình:
Khi một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M1, và phép bến hình
g biến M1 thành M’ thì việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình f và g (theo
thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M’ và phép biến hình h như vậy
biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g.
Kí hiệu: g.f
Ta có: f(M) = M1
g(M1) = M’
h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M’
2) Phép dời hình:
a) Định nghĩa:
Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách

góc bằng nó.
e) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
u
r
Trong
mặt
phẳng
tọa
độ
Oxy,
cho
phép
tịnh
tiến
theo
vectơ
. Biết tọa
u
u
r
’ ’
’
độ của u là (a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M (x ; y ). Khi đó ta
 x' = x + a

có: 
 y ' = y + b
2) Phép đối xứng trục:
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a.

’
M thành điểm M đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là OM + OM = 0
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là ĐO. Phép đối
xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng
b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm
x' = 2a − x
’ ’
’
ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M (x ; y ) thì:
y' = 2b − y
c) Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu
phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H’.
BÀI TOÁN 1:
XÁC ĐỊNH CÁC PHÉP DỜI HÌNH. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM, CỦA
MỘT HÌNH QUA PHÉP DỜI HÌNH.
Việc xác định các phép dờ hình, dung ảnh của một điểm (của một hình) qua
một phép dời hình có vai trò quan trọng trong việc giảI nhiều bào toán bằng các
phép biến hình. Do vậy, ta cần lưu ý:
- Nếu đường thẳng d là trung trực của đoạn MM’ thì M’ là ảnh của M trong
phép đối xứng trục; đồng thời ta cũng có M và M’ là ảnh của nhau trong
phép đối xứng trục d.
- Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ thì hai điểm M và M’ là ảnh
của nhau trong phép đối xứng tâm I.
- Nếu
cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo
uuur
ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến
AB . Nếu
uuur
theo AB .

b) Do tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
O1 = O2 và O2 = O3, nên O1 + O2 + O3 + O4 = 2(O1 + O2). Suy ra
M1OM2 = 2 α
Từ (3) và (4) suy ra M2 là ảnh của M1 trong phép quay
tâm O và góc quay có độ lớn là 2α
c) Khi α = 900 , ba điểm M1, O, M2 thẳng hàng. Như vậy M1
và M2 là ảnh của nhau trong phép đỗi xứng tâm O hay cũng
0
quaygiác
tâmABC.
O, góc
quay
Bài là
2: phép
Cho tam
Gọi
M, 180
N và. P theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của
P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E?
Giải:
Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra:
DA = BP và DA // BP.
Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP.
Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3
điểm D, A, E thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Vậy ĐA(D) = E.
uuur uuur

r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
a) Do AM = k . AB ⇒ AM = k . AB
uuur
uuur
uuur
uuur
BN = k .BC ⇒ BN = k . BC .
uuur uuur
uuuu
r uuur
Vì AB = BC nên AM = BN ⇒ AM = BN.
∆OAM = ∆OBN (c.g.c) nên OM = ON và AOM = BON. Suy ra MON = 900.
b) Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C.
c) Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là
ảnh của AN.
Vậy AD ⊥ DM .
Chú
uuur ý:uCó
uu
r thể
uuurgiải câu c) như sau:
AN
u
uuur= AB

đối xứng trục mà trục là đường trung trực của BC cho ta
nên
A → A'
OA → OA' .
'
Do đó OA = OA’ = r, suy ra A ∈ ( O; r ) .


Bài toán 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng
song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song
với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và
ABC bằng nhau.
Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài
HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có: A → A , B → D ,
C → E , nên ∆ABC → ∆ADE . Suy ra ∆ABC = ∆ADE .
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, A’, B’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
BC, CA và D là điểm đối xứng của B’ qua A’.
a) Chứng minh BD // AC;
b) Tại sao hai đường thẳng AA’ và BD cắt nhau. Goi E là giao điểm của AA’
và BD. Chứng minh rằng A’ là trung điểm của đoạn thẳng AE.
c) Chứng minh CE // AB và D là trung điểm của doạn thẳng BE.
Giải:
a) Xét phép đối xứng tâm A’, ta có:
ĐA’(B’) = D, ĐA’(C) = B, ⇒ B ' C → DB . Suy ra B’C // DB hay AC // BD.
b) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì AA ' → AA ' và CA → BD .
Mà AA’ và CA là hai đường thẳng cắt nhau nên ảnh của chúng qua phép đối
xứng tâm A’ là AA’ và BD cũng phảI cắt nhau và từ đây suy ra E là điểm đối
xứng của A qua tâm A’ nên A’E = A’A.
d) Cũng trong phép đỗi xứng tâm A’ thì: A → E , B → C . Do đó AB → EC .
Suy ra AB // EC.

d) Thực hiện phép quay tâm B, góc quay 600 theo chiều dương của mặt phẳng,
ta có: C → K , A → D , nên CA → KD . Suy ra CA = KD mà CA = AE nên
KA = EA (1)
Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEKD là hình bình hành.
BÀI TOÁN 3.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp: Để tìm tập hợp các điểm M’, ta chỉ ra rằng M’ là ảnh của M
trong một phép dời hình f mà tập hợp các điểm M’ là hình (H’), ảnh của hình
(H) trong phép dời hình f trên đây.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H
của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
a) Sử dụng phép đối xứng trục:
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
µ (cùng phụ với B)
Ta có: µA1 = C
1
µ
µ
A = C (cùng chắn cung BH’)
2

1

µ =C
µ
Suy ra C
1
2

chẳng hạn để dung tam giác, đa giác thì ta cần duwngj các đỉnh của nó, việc
dung đường ròn thường là việc dung và xác định tâm của nó. Trong hình học,
một điểm được xác định bởi hai điều kiện, do vậy, ta thường căn cứ vào các
điều kiện của điểm cần dung để xem xét nó là ảnh của một điểm điểm đã cho
trong giả thiết, trong một phép dời hình f nào đó và thông thường ta sử dụng
phương pháp dung hình bằng quỹ tích để xác định điểm cần dung.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) và một đường thẳng d. Tìm trên đường
thẳng d một điểm sao cho các tiếp tuyến kẻ từ điểm ấy đến các đường tròn
(O) và (O’) nhân đường thẳng d làm phân giác.
Giải:
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d mà từ đó ta vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến
đường tròn (O) và các đường thẳng MA, MB tạo thành một góc nhận d làm
phân giác. Dễ thấy MA và MB đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Do vậy,
thực hiện phép đối xứng trục là đường thẳng d thì MB → MA .
Trong phép đối xứng này, đường tròn (O) biến thành đường tròn (O1) và điểm
B thành điểm B’ và AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O’) và (O1).
Từ đó ta có cách dựng sau:
- Dựng đường tròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng trục
d.
- Dựng tiếp tuyến chung B’A của hai đường tròn (O’) và (O1). Khi đó M là
giao điểm của B’A và d.
Số điểm M cần tìm phụ thuộc vào số giao điểm của các đường tiếp tuyến chung
của hai đường tròn (O) và (O1) với đường thẳng d.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A va B. Hãy dung qua A
một cát tuyến d, cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại các điểm M, N
sao cho: A là trung điểm của MN.
Giải:
Do AM = AN nên ĐA(N) = M. Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện:
- M thuộc đường tròn (O’),
- M thuộc đường tròn (O1), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A.

Tính chất 1: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tuỳ ý theo thứ tự thành M’,
uuuuuu
r
uuuu
r
N’ thì M ' N ' = k .MN và M ' N ' = k .MN .
Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hang và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.
b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k .R .
c. Tâm vị tự của một hình: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự
biến đường tròn này thành đường tron kia.
2. Phép đồng dạng:
a) Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0),
nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ưúng của chúng ta luôn
có M’N’ = k MN.
b) Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
c) Tính chất:
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.


- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng