SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
PH Ầ N A
ĐẶT VẤN ĐỀ

Trên bước đường cải tiến và đổi mới phương pháp dạy học cùng với
những nhiệm vụ quan trọng mà Đảng và Nhà nước ta đã vạch ra thì trách
nhiệm của đội ngũ giáo viên chúng ta là phải hình thành được ở học sinh những
cơ sở, nhân cách của người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học
vấn cao, có hiểu biết và chiếm lónh được những nội dung của khoa học tự nhiên
và xã hội, góp phần cho sự phát triển của đất nước trong tương lai.
Tốn học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa
mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ mơn chiếm ưu thế quan
trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao
động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh và
giải các bài tốn cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy dạy tốn.
Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia
các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả
3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm được
những kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu
sâu để sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức
thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các
dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những
hằng thức rất nhiều. Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là
thỏa mãn các u cầu người dạy và người học tốn.
Chính vì lí do đó tơi đã lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề
tài: “ Vận dụng những hằng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung
cấp cho học sinh phương pháp học và làm tốn, nắm được kiến thức cơ bản,
cách tư duy và phương pháp sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức vào
giải tốn. Từ đó tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt những
kiến thức liên quan sau này.
Đây chỉ là những kinh nghiệm ít ỏi qua quá trình giảng dạy môn toán lớp

không tìm ra lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức còn
mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước một bài tốn tự mình giải còn
chưa có niềm tin. Bên cạnh đó một số học sinh còn có tâm lí chán nản và tỏ
ra sợ môn toán mỗi khi vào học tiết toán.

Rất nhiều học sinh lớp 9 hiện nay cũng chưa hiểu và nắm chắc các
hằng đẳng thức để có thể vận dụng linh hoạt vào giải các dạng tốn. Kết quả
Trang 2
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
là nhiều bài tốn học sinh khơng giải được hoặc giải sai. Bên cạnh đó rất
nhiều kiến thức về đại số liên quan đến những hằng đẳng thức nếu biết sử
dụng những hằng đẳng thức để xử lí thì thì bài tốn sẽ có nhiều cách giải
ngắn gọn hơn, giúp các em phát triển tư duy một cách tích cực hơn.
II. NGUYÊN NHÂN
Trong chương trình sách giáo khoa hiện nay thì không phải bất cứ người
học nào cũng có thể đáp ứng được những yêu cầu đưa ra, nhất là đối với những
đối tượng là học sinh ở vùng sâu, vùng xa, ở đòa phương có điều kiện kinh tế
còn khó khăn nói chung và học sinh của trường THCS Binh long nói riêng. Đòa
bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình không ổn đònh, còn khó khăn nên ít
nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.
Bên cạnh đó, một số học sinh còn ham chơi, lười học, ngồi học trong lớp
chưa tập trung còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán. Khi kiểm tra các
em về lý thuyết thì có vẻ như rất hiểu bài nhưng khi yêu cầu các em làm thêm
phần bài tập vận dụng thì rất lúng túng và khó khăn để trình bày. Cách học
của các em là nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối sự kiểm tra của giáo
viên, các em cho rằng: chỉ cần học thuộc lý thuyết là có thể làm được bài tập
mà các em quên rằng: “ Học phải đi đôi với hành”

Vì vậy việc chuẩn bị tốt cho học sinh những kiến thức cơ bản về
những hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là những phương pháp giải các bài

– B
2
= (A– B) (A+B)
4. (A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
5. (A– B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
6. A
3
+ B
3
= (A+ B) (A
2
– AB + B


+ … + ab
n-2
+ b
n-1
)
3. a
2k
– b
2k
= (a + b )(a
2k-1
– a
2k-1
b + … + a
2k-3
b
2
–b
2k-1
)
4. a
2k+1
– b
2k+1
= (a + b )(a
2k
– a
2k-1
b + a

6. (a -b)
n
= a
n
- na
n-1
b +
2.1
)1( −nn
a
n-2
b
2
- …-
2.1
)1( −nn
a
2
b
n-2
+nab
n-1
- b
n
2. VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN:
2.1. Làm thế nào để học sinh tránh được những lỗi cơ bản khi vận dụng
hằng đẳng thức vào giải toán?
Ngay sau khi học xong hai hằng đẳng thức: Bình phương của một
tổng, bình phương của một hiệu. Tôi có mời hai em học sinh ( học lực trung
bình khá) lên bảng với các yêu cầu sau:

2
+ 12xy + 3y
2

Học sinh 2:
a/ (A– B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:
x
2
– 6xy + …3y
2
…… = (……x…. – 3y )
2
Trang 4
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
……y
2
… – 4y + 4 = ( ……y…. – 2 )
2
Điều đó chứng tỏ rằng với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là
một số hoặc chỉ gồm một biến thì các em có thể dễ dàng vận dụng được
hằng đẳng thức vào làm bài tập. Tuy nhiên khi A, B là các biểu thức phức
tạp hơn thì các em lại hay bò mắc phải sai lầm như bài tập trên. Vậy làm thế
nào để các em hạn chế được tối đa những sai lầm trên?
Trước hết tôi lưu ý các em phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả

hay x
2
– 6xy + 9y
2
= (x– 3y )
2
Qua tiết học đó trên lớp, phần lớn các em đã vận dụng vào làm được bài
tập và còn vận dụng vào các hằng đẳng thức tiếp theo.
Ví dụ 2: Tính ( 2x
2
+ 3y)
3
?
Kết quả: ( 2x
2
+ 3y)
3
= 8x
6
+ 36x
4
y + 54x
2
y
2
+ 27y
3
.
2.2. Vận dụng hằng đẳng thức vào làm các dạng bài tập:
2.1.1. Rút gọn các biểu thức.


= - 27
b/ (2x + y)( 4x
2
– 2xy + y
2
) – (2x – y)( 4x
2
+ 2xy + y
2
)
= 8x
3
– 4x
2
y + 2xy
2
+ 4x
2
y – 2xy
2
+ y
3
– 8x
3
– 4x
2
y – 2xy
2
+ 4x

đó các em hình thành cho mình được thói quen phải biết quan sát, biết đặt
những câu hỏi phân tích, tự trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất.
Kết quả là các em đã nhận ra được các hằng đẳng thức trong các biểu
thức đó và rất tự tin bắt tay và làm bài:
Ví dụ 1:
a/ (x + 3)(x
2
– 3x + 9 ) – (54 + x
3
)
= x
3
+ 27 – 54 – x
3

= - 27
b/ (2x + y)( 4x
2
– 2xy + y
2
) – (2x – y)( 4x
2
+ 2xy + y
2
)
= (2x)
3
+ y
3
– [(2x)

Trước hết tôi chuẩn bò bảng phụ:
Hãy điền các biểu thức thích hợp vào vế còn lại của các hằng đẳng thức :
1. A
2
+ 2AB + B
2
= ……
2. A
2
– 2AB + B
2
= ……
3. A
2
– B
2
= …………
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= …………
5. A
3
– 3A
2

2
y + 6xy
2
– y
3
tại x = 6 và y = - 8
Giải
a/ M = x
2
+ 4y
2
– 4xy
M = (x – 2y)
2
Tại x = 18 và y = 4 ta được:
M = ( 18 – 2.4)
2
= 10
2
= 100
b/ N = 8x
3
– 12x
2
y + 6xy
2
– y
3
N = (2x – y )
3

= x
2
– 2xy +y
2
b/ ( x
2
– y
2
+ 6x + 9) : ( x + y + 3)
= [(x
2
+ 6x + 9) – y
2
]: ( x + y + 3)
= ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3)
= x - y + 3
Học sinh sẽ thấy lúng túng khi các em thực hiện phép chia đó như
phép chia thông thường do đó giáo viên cần gợi ý để giúp các em phân tích đề
bài, tìm được lời giải thích hợp.
III. MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Giải
a/ A = 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004

+ 1) – 2
64
Trang 7
Bài tập 1. Tính :
a/ A = 1
2
– 2
2
+ 3
2
– 4
2
+ … – 2004
2
+ 2005
2
b/ B = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) – 2
64
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
B = (2

+ 1) – 2
64
B = 2
64
– 1 – 2
64
B = - 1
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức A
2
– B
2

Giải
a/ A = x
2
– 4x + 7 = x
2
– 4x + 4 + 3 = ( x - 2)
2
+ 3 > 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trò nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
b/ B = x
2
+ 8x = (x
2
+ 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)
2
– 16 > - 16

2
+ 8x – 15
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu
( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
Giải
( a + b + c )
2
= 3(ab + bc + ac )
 a
2
+ 2ab + b
2
+ 2bc + 2ac + c
2
= 3ab + 3bc + 3ac
 a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc – ac = 0
 2a
2
+ 2b
2
+ 2c

 a = b = c
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2

Giải
a/ 7.5
2n
+ 12.6
n
= 7.(25
n
– 6
n
) + 19.6
n

n+2
+ 12
2n+1


133 = 11
2
. 11
n
+ 12.12
2n

= 12.( 144
n
– 11
n
) + 133.11
n


133
Vì (144
n
– 11
n
)

(144 – 11) nên (144
n
– 11

2x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz) + (x
2
+ 10x + 25) + (y
2
+ 6y + 9) = 0
⇔ ( x + y + z)
2
+ ( x + 5)
2
+ (y + 3)
2
= 0
Trang 9
Bài tập 4. Chứng minh rằng:
a/ 7.5
2n
+ 12.6

= 0
⇔ x = - 5 ; y = -3; z = 8
* Chú ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
Giải
Ta có : y =

1 số chữ n
19 11
=

1 số chữ n
15 11
+ 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x


1 số chữ n
19 11

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
SKKN: VËn dơng h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí vµo gi¶i to¸n líp 8
PH Ầ N C
KẾT LUẬN
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Tôi cũng đã đưa nội dung đề tài ra để trao đổi cùng quý đồng nghiệp
trong tổ chuyên môn và được sự hưởng ứng đồng tình của quý đồng nghiệp
trong tổ. Xin được rút ra những kinh nghiệm sau:
• Tạo mối quan hệ hợp lí giữa dạy kiến thức và dạy kó năng, phương
pháp suy nghó và hành động.
• Cần có quan điểm là: Tư duy quan trọng hơn kiến thức, nắm vững
phương pháp hơn thuộc lí thuyết.
• Dạy cách suy nghó, dạy học sinh thành thạo các thao tác của tư duy
(phân tích, tổng hợp, tương tự…)
• Đừng bỏ qua mà hãy khai thác ngay câu trả lời của học sinh,
khuyến khích các câu trả lời tốt.
• Vừa giảng, vừa luyện, vừa vận dụng kiến thức là cách tốt nhất để
học sinh nắm kiến thức.
• Không chỉ dừng lại ở những gì đã biết mà phải luôn tư duy, sáng
tạo, tìm tòi và học hỏi.
Chất lượng học tập của các môn học nói chung, chất lượng của môn toán
nói riêng còn thấp không phải là nỗi trăn trở của riêng bản thân tôi, của các
đồøng nghiệp trong tổ chuyên môn, của nhà trường mà của toàn xã hội, của
những người luôn quan tâm đến sự nghiệp giáo dục của nước nhà. Chất lượng
học tập của các em thấp cũng dẫn đến tâm lí bi quan, chán nản và đó cũng là
một trong những nguyên nhân các em nghỉ, bỏ học.

Léc Hµ: th¸ng 04 n¨m 2009
Ngêi thùc hiƯn
mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp để nội dung được hoàn hảo
hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày càng cao
của xã hội.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của quý đồng ngiệp để giúp tôi
hoàn thành đề tài này.
Léc Hµ: th¸ng 04 n¨m 2009
Ngêi thùc hiƯn
Trang 12
SKKN: Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8

Trang 13