SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH
ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
Bài 2. Các phép dời hình trong mặt phẳng
Bài 3. Các ví dụ thực tế
PHẦN II: LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ.
PHẦN I: LÝ THUYẾT – VÍ DỤ – BÀI TẬP
Bài 1. Phép dời hình
1) Đại cương về các phép dời hình:
a) Định nghĩa:
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M
’
thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M
’
gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
b) Thuật ngữ và kí hiệu:
- Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M
’
là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M
’
= F(M) hoặc F(M) = M
’
.
- Với mỗi hình H, ta goi hình H
’
gồm các điểm M
’

Người ta cũng nói: Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng
cách giữa hai điểm.
b) Tính chất của phép dời hình:
Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
BÀI 2. CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1) Phép tịnh tiến:
a) Định nghĩa:
Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành
điểm M
’
sao cho
MN u=
uuuur
ur
+ Kí hiệu: T
u
, là vectơ tịnh tiến.
b) Định lí 1:
Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M
’
và
N
’
thì M
’
N




= +
= +
2) Phép đối xứng trục:
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M
’
đối xứng với M qua a.
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đ
a
. a là
trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
b) Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox:
Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M
’
(x
’
; y
’
) thì
'
'
x x
y y




+ Kí hiệu:
,
Q
O
ϕ
 
 ÷
 
b) Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
4) Phép đối xứng tâm:
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M
’
đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là
'
0OM OM+ =
uuuuur
uuuuur r
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là Đ
O
. Phép đối
xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng
b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm
Đ
I
biến điểm M(x; y) thành điểm M
’
(x
’
; y


là ảnh của nhau trong
phép đối xứng trục d.
- Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM
’
thì hai điểm M và M
’
là ảnh
của nhau trong phép đối xứng tâm I.
- Nếu cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo
AB
uuur
. Nếu ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến
theo
AB
uuur
.
- Nếu OA = OB thì B là ảnh của A trong phép quay tâm O, góc quay AOB
theo hướng từ A đến B.
- Nếu một phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A và B của một đường
thẳng d thành hai điểm phân biệt A
’
và B
’
của một đường thẳng d
’
thì d
’
là
ảnh của d trong phép dời hình f. khi đó d

và trục d đI qua một điểm cố định.
b) CMR M
2
là ảnh của M
1
trong một phép quay mà ta cần xác định tâm và góc
quay.
c) Xét trường hợp
0
90
α
=
.
Giải:Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của các
cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của
P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E?
Giải:
Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra:
DA = BP và DA // BP.
Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP.
Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3
điểm D, A, E thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Vậy Đ
A
(D) = E.

.
a) Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M.
b) Xác định các điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) trong phép biến hình trên đay.
c) Chứng minh
AD DM⊥
.
Giải:
a) M và M
1
đối xứng nhau qua Ox cho ta : OM
1
= OM (1)
M và M
2
đối xứng nhau qua Oy cho ta: OM
2
= OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OM
1
= OM
2
(3).
Từ (3) suy ra tam giác M
1
OM
2
cân. Đường thẳng d đI qua O và
vuông góc với M
1
M

+ O
2
). Suy ra
M
1
OM
2
= 2
α
Từ (3) và (4) suy ra M
2
là ảnh của M
1
trong phép quay
tâm O và góc quay có độ lớn là
2
α
c) Khi
0
90
α
=
, ba điểm M
1
, O, M
2
thẳng hàng. Như vậy M
1

và M

0
.
b) Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C.
c) Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là
ảnh của AN.
Vậy
AD DM⊥
.
Chú ý: Có thể giải câu c) như sau:
AN AB BN= +
uuur uuur uuur
DM DA AM= +
uuuur uuur uuuur
Từ đây chứng minh tích vô hướng
. 0AN DM =
uuuruuuur
.
BÀI TOÁN 2.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH
CHẤT HÌNH HỌC.
Phương pháp: Ta có thể sử dụng tính chất của phép dời hình để giải nhiều bài
toán chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn:
- Để chứng minh sự bằng nhau (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai
đường tròn,…) ta chỉ cần chỉ rõ chúng là ảnh của nhau trong một phép dời
hình.
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là ảnh của ba
đường thẳng qua một phép dời hình.
- Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của
ba đường thẳng đồng quy trong một phép dời hình.
- Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng là ảnh của

.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng
song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song
với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và
ABC bằng nhau.
Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài
HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có:
A A→
,
B D→
,
C E→
, nên
ABC ADE∆ → ∆
. Suy ra
ABC ADE∆ = ∆
.
Bài toán 6: Cho tam giác ABC, A
’
, B
’
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
BC, CA và D là điểm đối xứng của B
’
qua A
’
.
a) Chứng minh BD // AC;
b) Tại sao hai đường thẳng AA
’

. Do đó
AB EC→
.
Suy ra AB // EC.
Trong câu b) ta đã chứng minh BE là ảnh của AC trong phép đối xứng tâm A’.
Trong phép đối xứng này, ảnh của B’ là D mà B’ là trung điểm của AC và D
phải là trung điểm của BE.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác ta dung các tam
giác đều ABD, ACE, BCF.
a) Chứng minh rằng BE = CD = AF.
b) Gọi I, J theo thứ tụ là trung điểm của các đoạn thẳng BE, CD. Chứng minh
tam giác AIJ là tam giác đều.
c) Chứng minh ba đường thẳng BE, CD, AF đồng quy.
d) Dựng tam giác đều BKC (K khác F). Chứng minh rằng tứ giác AEKD là
hình bình hành.
Giải:
a) Vì AD = AB, DAB = 60
0
,
AC = AE, CAE = 60
0
. Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 60
0
thì:
D B→
,
C E→
,
CD EB→
. Suy ra CD = EB.

,
C E→
,
'M M→
.
Do phép quay bảo toàn tính thẳng hàng nên từ sự thẳng hàng của ba điểm B,
M’, E ta suy ra ba điểm D, M, C thẳng hàng hay CD đI qua M.
d) Thực hiện phép quay tâm B, góc quay 60
0
theo chiều dương của mặt phẳng,
ta có:
C K→
,
A D→
, nên
CA KD→
. Suy ra CA = KD mà CA = AE nên
KA = EA (1)
Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEKD là hình bình hành.
BÀI TOÁN 3.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp: Để tìm tập hợp các điểm M’, ta chỉ ra rằng M’ là ảnh của M
trong một phép dời hình f mà tập hợp các điểm M’ là hình (H’), ảnh của hình
(H) trong phép dời hình f trên đây.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H
của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
a) Sử dụng phép đối xứng trục:
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

xứng tâm I, trung điểm của cạnh BC.
c) Sử dụng phép tịnh tiến
Gọi Đ
O
(A) = A’, I là trung điểm của BC.
Dễ thấy tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là trung điểm của AH. Kết hợp
với O là trung điểm của AA’ trong tam giác AA’H thì OI là đường trung bình
nên OI // AH và OI = AH/2. Suy ra
2AH OI=
uuur uur
.
Đẳng thức này chứng tỏ H là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H di chuyển
trên đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qau phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
. Dễ thấy OO’ = 2OI.
BÀI TOÁN 4.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DUNG HÌNH.
Phương pháp: Việc dựng các hình thường được quy về việc dung các điểm,
chẳng hạn để dung tam giác, đa giác thì ta cần duwngj các đỉnh của nó, việc
dung đường ròn thường là việc dung và xác định tâm của nó. Trong hình học,
một điểm được xác định bởi hai điều kiện, do vậy, ta thường căn cứ vào các
điều kiện của điểm cần dung để xem xét nó là ảnh của một điểm điểm đã cho
trong giả thiết, trong một phép dời hình f nào đó và thông thường ta sử dụng
phương pháp dung hình bằng quỹ tích để xác định điểm cần dung.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) và một đường thẳng d. Tìm trên đường

sao cho: A là trung điểm của MN.
Giải:
Do AM = AN nên Đ
A
(N) = M. Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện:
- M thuộc đường tròn (O’),
- M thuộc đường tròn (O
1
), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A.
Từ đó, ta suy ra cách dung:
- Dựng đường tròn (O
1
) đối xứng với đường tròn (O) qua tâm A.
- Dựng giao điểm M của hai đường tròn (O
1
) và (O’).
- Kẻ đường thẳng AM, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại N.
Ta co ngay AM = AN và cát tuyến AMN là cát tuyến cần dựng.
BÀI 3. PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Phép vị tự:
a. Định nghĩa: Cho một điểm I cố định và một số
0k ≠
. Phép biến hình biến
mỗi điểm M trong mặt phẳng thành điểm M’ sao cho
' .IM k IM=
uuuur uuur
Gọi là
phép vị tự tâm I, tỉ số k, kí hiệu V
(O,k)
.

nó.
d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính
.k R
.
c. Tâm vị tự của một hình: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự
biến đường tròn này thành đường tron kia.
2. Phép đồng dạng:
a) Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0),
nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ưúng của chúng ta luôn
có M’N’ = k MN.
b) Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
.
c) Tính chất:
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm ấy.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng.
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó.
- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R.
d) Khái niệm hình đồng dạng: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu
có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
BÀI TOÁN 5:
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG.
Phương pháp: tương tự như phép dời hình, đối với phép vị tự và phép đồng
dạng ta cũng có các loại bài tập: