TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊMTHAM LU N Ậ
M T S B T Đ NG TH C Đ I S và BÀI TOÁN GTLN & GTNN Ộ Ố Ấ Ẳ Ứ Ạ Ố
C A BI U TH C Đ I S TRONG CÁC Đ THI CĐ - ĐHỦ Ể Ứ Ạ Ố Ề
B t đ ng th c là m t m ng ki n th c khó c a toán h c ph thông, nó th ngấ ẳ ứ ộ ả ế ứ ủ ọ ổ ườ
xuyên xu t hi n trong các đ thi HSG cũng nh thi tuy n sinh CĐ - ĐH. Đã có r t nhi uấ ệ ề ư ể ấ ề
tác gi , nhi u tài li u đ c p v b t đ ng th c; hôm nay, trong khuôn kh c a m t bu iả ề ệ ề ậ ề ấ ẳ ứ ổ ủ ộ ổ
sinh ho t chuyên môn c m 6, chúng tôi xin đ c phép gi i thi u l i m t s b t đ ng th cạ ụ ượ ớ ệ ạ ộ ố ấ ẳ ứ
và bài toán GTLN & GTNN c a m t s bi u th c đ i s đã đ c ra thi ho c t ng t v iủ ộ ố ể ứ ạ ố ượ ặ ươ ự ớ
các d ng trong đ thi CĐ - ĐH trong nh ng năm v a qua .ạ ề ữ ừ
I. D ng s d ng b t đ ng th c Cauchy (AM - GM) cho 2 s :ạ ử ụ ấ ẳ ứ ố
∀ a, b ≥ 0 :
a + b
ab
2
≥
; đ ng th c x y ra khi và ch khi : a = bẳ ứ ả ỉ
Ví d 1 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : ố ươ ỏ
1 1 1
+ + = 4
a b c
.
Ch ng minh r ng : ứ ằ
1 1 1
+ + 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c
≤
(TSĐH - Kh i A - Năm 2005)ố
 Nh n xét : V i x, y > 0, ta có 4xy ≤ (x + y)ậ ớ

 ÷
 
(2)

1 1 1 1 1
+ +
a + b + 2c 8 2a 2b c
 
≤
 ÷
 
(3)
 T (1), (2) và (3) suy ra : ừ
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + = 1
2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c
 
≤
 ÷
 
D u (=) x y ra ấ ả
a = b = c
3
a = b = c =
1 1 1
4
+ + = 1
a b c



4x y 9x z 9y 4z
14 + 2 . + 2 . + 2 .
y x z x z y
≥
= 14 + 4 + 6 + 12 = 36

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 96
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM D u (=) x y ra ấ ả ⇔
1 4 9
+ + = 1
x y z
4x y 9x z 9y 4z
= , = , =
y x z x z y







⇔
x = 6
y = 12
z = 18



 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Áp d ng bđt Cosi , . . . ụ ⇒ (đpcm)
2. Đ t : a = yz , b = zx , c = xy (a, b, c > 0 và abc = 1) ặ
2 2 2
a b c
P = + +
b + c c + a a + b
⇒
 Áp d ng bđt Cosi , ta có : ụ
2 2
a b + c a b + c
+ 2 = a
b + c 4 b + c 4
≥
,
t ng t : ươ ự
2 2
b c + a c a + b
+ b , + c
c + a 4 a + b 4
≥ ≥
 C ng 3 bđt trên v theo v , suy ra : ộ ế ế
3
P . . .
2
≥ ≥


T ng t : ươ ự
3 3
1 + b + c 3

bc
bc
≥
,
3 3
1 + c + a 3

ca
ca
≥

 C ng 3 b t đ ng th c trên v theo v , ta có : ộ ấ ẳ ứ ế ế

3 3 3 3 3 3
1 + a + b 1 + b + c 1 + c + a 1 1 1
+ + 3 + +
ab bc ca
ab bc ca
 
≥
 ÷
 
(1)

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 97


≥
2 2 2
x y z xy + yz + zx
+ + +
2 2 2 xyz
=
2 2 2
x 1 y 1 z 1
+ + + + +
2 x 2 y 2 z
     
 ÷  ÷  ÷
     
 Ngoài ra :
2 2 2
3
x 1 x 1 1 x 1 1 3
+ = + + 3 . . =
2 x 2 2x 2x 2 2x 2x 2
≥
T ng t : ươ ự
2 2
y 1 3 z 1 3
+ ; +
2 y 2 2 z 2
≥ ≥
Suy ra : P ≥
9
2

2 2 2
1 9
+
a + b + c ab + bc + ca
≥
=
2 2 2
1 1 1 7
= + + +
a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca
 
 ÷
 
. . . .

2 2 2
9 21
+
(a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca)
≥

2 2 2
9 21 30
+ 30
(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)
≥ = ≥
2.  Áp d ng bđt Cosi , ta có :ụ
3
x y + z
+ + 2 3x

c d
Ví d 5 :ụ Cho a, b, c là các s d ng th a : abc = 1.ố ươ ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2 2
1 1 1 3
P = + +
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
≥

Cách 1: Đ t x = ặ
1
a
, y =
1
b
, z =
1
c
thì x, y, z > 0 và xyz = 1
BĐT c n ch ng minh t ng đ ng: ầ ứ ươ ươ
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
( BĐT Nesbit)
⇔
1 1 1 9
( )

 

( )
1 1 1
( ) ( ) ( )y z z x x y
y z z x x y
 
≤ + + + + + + +
 ÷
+ + +
 
D u (=) x y ra ấ ả
⇔
x = y = z = 1
⇔
a = b = c = 1
Cách 2: Ta có
2
2
1 1 1 1 1 1
+ + = b + c + c + a + a + b
a b c
a b + c b c + a c a + b
 
 
 ÷
 ÷
 
 


 

 D u (=) x y ra ấ ả ⇔
a = b = c = 1
Ví d 6 :ụ Cho x, y, z là các s d ng thay đ i th a đi u ki n xyz = 1. Tìm GTNN c a bi uố ươ ổ ỏ ề ệ ủ ể
th c : ứ

2 2 2
x (y + z) y (z + x) z (x + y)
P = + +
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y

(TSĐH - Kh i A - Năm 2007)ố
 Nh n xét ậ ∀ y, z > 0 :
2
y + z 2 yz =
x
≥
(vì xyz = 1)

2
x (y + z) 2x x ⇒ ≥ ⇒

2
x (y + z) 2x x

y y + 2z z y y + 2z z
≥

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 99

b + 2c c + 2a a + 2b
 
 
 

[ ]
a b c
a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) + +
b + 2c c + 2a a + 2b
 
≤
 ÷
 
⇔ (a + b + c)
2
≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra
( )
2
a + b + c
S 1
3(ab + bc + ca)
≥ ≥
. Do đó : P ≥ 2
D u (=) x y ra ấ ả ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 1
 V y : Pậ
min
= 2 khi x = y = z = 1

 Bài t p t ng t : ậ ươ ự
1. Cho a, b, c > 0 và th a : a + b + c + ỏ

24.(VT) 4 + + + 9(a + b + c) + ab + bc + ca
a b c
 
≥
 ÷
 4 4 4
+ a + + b + + c + (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
a b c
     
≥
 ÷  ÷  ÷
     

4 4 4
2 .a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
a b c
≥

72
= 12 + 6(a + b + c + 2abc) 12 + 6.10 = 72 (VT) = 6 6
24
≥ ⇒ ≥
2. Ta có :
3x 4y 5z
P = + 3 + + 4 + + 5 - 12
y + z z + x x + y
   

 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
 

2
1
( 3 + 4 + 5) - 12
2
≥
 K t lu n : MinP = ế ậ
2
1
( 3 + 2 + 5) - 12
2
⇔
y + z z + x x + y
= =
2
3 5
IV. D ng s d ng tính ch t c a hàm s - ph ng pháp hàm s :ạ ử ụ ấ ủ ố ươ ố

•
Cho hàm s f(x) xác đ nh trên K (K là m t kho ng, m t đo n ho c n a kho ng)ố ị ộ ả ộ ạ ặ ử ả
Hàm s f(x) g i là đ ng bi n trên K n u : ố ọ ồ ế ế
∀
x
1
, x

) > f(x
2
)

•
Cho hàm s f(x) có đ o hàm trên kho ng K . N u fố ạ ả ế
’
(x) ≥ 0 ,
∀
x
∈
K (ho c fặ
’
(x) ≤ 0 ,
∀
x
∈
K ) và f
’
(x) = 0 ch t i m t s h u h n đi m c a K thì hàm s f(x) đ ng bi n (ho cỉ ạ ộ ố ữ ạ ể ủ ố ồ ế ặ
ngh ch bi n) trên K.ị ế
L u ý :ư Kho ng K trong k t qu này đ c thay b i m t đo n ho c m t n aả ế ả ượ ở ộ ạ ặ ộ ử
kho ng thì ph i b sung gi thi t “Hàm s f(x) này liên t c trên đo n ho c n a kho ngả ả ổ ả ế ố ụ ạ ặ ử ả
đó”
Ví d 7ụ : Cho a, b là các s th c th a mãn : 0 < a < b < 1. ố ự ỏ
Ch ng minh r ng : ứ ằ
2 2
a .lnb - b .lna > lna - lnb

(TSCĐ - Kh i A, B, D - Năm 2009)ố

a b
1 1
2 + 2 +
2 2
   
≤
 ÷  ÷
   

(TSĐH - Kh i D- Năm 2007)ố
 Ta có : (đpcm) ⇔
( ) ( )
a b
b a
a b
ln(4 + 1) ln(4 + 1)
4 + 1 4 + 1
a b
≤ ⇔ ≤
 Xét hàm s : ố
x
ln(1 + 4 )
f(x) =
x
v i x > 0 ớ
⇒
x x x x
'
2 x
4 .ln4 - (1 + 4 ).ln(1 + 4 )

b
⇔
 Xét hàm s : ố
2(x - 1)
f(x) = lnx -
x + 1
v i x > 1 ớ
⇒
2
'
2 2
1 4 (x - 1)
f (x) = - = > 0 , x (1; + )
x (x + 1) x(x + 1)
∀ ∈ ∞
⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (1; + ố ồ ế ả ∞)
 Khi đó : a > b > 0 ⇒
a
b
> 1 ⇒ f(
a
b
) > f(1) = 0
a
- 1
a
b
ln - 2 > 0
a
b

−

Và :
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
xy + 1
- 2x y
x + y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + 1
2
P = = = =
2xy + 1 2xy + 1 2xy + 1 8xy + 4
 
 ÷
 
 Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ
1 1
t ;
5 3
 
∈ −
 
 
Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố
2
-7t + 2t + 1
f(t) =
8t + 4
v i ớ
1 1

x + y =
1
Max P = Max f(t) = . . .
2
4
xy = 0
 
 
 


⇔ ⇔


2 2 2 2
1 1
- ;
5 3
2 2
x + y = x + y =
2
3 5
Min P = Min f(t) = . . .
1 1
15
xy = xy = -
3 5


4. Cho x, y ≥ 0 th a : x + y = 1. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c : ỏ ủ ể ứ
P = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy
(TSĐH - Kh i D- Năm 2009)ố
 H ng d n : ướ ẫ
1.  V i : 0 < a < b < 4 . ớ Ta có : (đpcm) ⇔
a b
ln - a < ln - b
4- a 4- b
 Xét hàm s : ố
x
f(x) = ln - x
4 - x
v i 0 < x < 4 ớ ⇒
2
'
(x - 2)
f (x) = 0 , x (0; 4)
x(4 - x)
≥ ∀ ∈
và f
’
(x) =
0 khi x = 2
⇒ f(x) là hàm s luôn đ ng bi n trên kho ng (0; 4)ố ồ ế ả
 Khi đó : 0 < a < b < 4 ⇒ f(a) < f(b) ⇔ (đpcm)

 Đ t : ặ
a
x =
b
, x > 1 . Xét hàm s : ố
5
f(x) = x - 5x + 4
v i x > 1 ớ
L p BBT, d dàng k t lu n : f(x) > 0 v i m i x > 1 , suy ra : (đpcm)ậ ễ ế ậ ớ ọ
4.  Bi n đ i : P = 16(xy)ế ổ
2
- 2xy + 12
 Khi đó, đ t : t = xy , đk : ặ
1
t 0;
4
 
∈
 
 
Bài toán đ a v tìm GTNN và GTLN c a hàm s : ư ề ủ ố
2
f(t) = 16t - 2t + 12
v i ớ
1
t 0;
4
 
∈
 


;
1
0;
4
x + y = 1
191
Min P = Min f(t) = . . .
1
16
xy =
16
 
 
 


⇔ ⇔




V. D ng s d ng mi n giá tr đ tìm GTLN & GTNN :ạ ử ụ ề ị ể

Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 103
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊMVí d 11 :ụ Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s : y = ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2sin cos

y
≤
5
2
Suy ra : maxy =
5
2
và miny = –
5
2
Ví d 12 :ụ Cho hai s th c x, y th a mãn xố ự ỏ
2
+ y
2
= 2(x + y) + 7 . Tìm giá tr l n nh t , giá trị ớ ấ ị
nh nh t c a bi u th cỏ ấ ủ ể ứ
P =
3 3
( 2) ( 2)x x y y− + −

HD: G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ
∈
T
⇔
H sau có nghi m ệ ệ
2 2
3 3
2( ) 7
( 2) ( 2)
x y x y

 
+ = + =
 
⇔
3
7
3
m
uv
m
u v m

−
=



+ =

(II)
u, v là hai nghi m ph ng trình ệ ươ
3
2
7
0
3
m
t mt
m
−



+ + ≥

⇔
3
2
3
4( 7)
0
3
2 0
7
1 0
3
m
m
m
m
m
m
m

−
− ≥



+ ≥


28

Ví d 13 :ụ Cho x,y là các s th c th a mãn 3xố ự ỏ
2
+ 2xy + y
2
= 11. Tìm GTLN, GTNN c a bi uủ ể
th c ứ
P = x
2
+ 2xy + 3y
2

HD:G i T là t p giá tr c a P. Ta có mọ ậ ị ủ
∈
T
⇔
H sau có nghi m ệ ệ
2 2
2 2
3 2 11
2 3
x xy y
x xy y m

+ + =


+ + =


2 2
(3 2 ) 11
(1 2 3 )
x t t
x t t m

+ + =


+ + =



Một số Bất Đẳng Thức đại số và bài toán GTLN & GTNN của biểu thức đại số trong các đề thi CĐ - ĐH 104
TỔ TOÁN - TIN , TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM⇔
2 2
2 2
(3 2 ) 11(1 2 3 )
(3 2 ) 11
m t t t t
x t t

+ + = + +


+ + =


1
2
−
+Xét m
≠
33, khi đó (1) có nghi m ệ
⇔
'
t
∆ ≥
0
⇔
(m – 11)
2
– (m – 33)(3m – 11)
≥
0
⇔
– 2m
2
+ 88m – 242
≥
0
⇔
m
{ }
[22 11 3, 22 11 3] \ 33∈ − +
+ K t h p các tr ng h p trên ta đ c các giá tr đ h có nghi m là mế ợ ườ ợ ượ ị ể ệ ệ
[22 11 3, 22 11 3]∈ − +
Do đó T =

∈
A
⇔
H sau có nghi m xệ ệ
≠
0, y
≠
0
⇔
2 2
3 3
( )
1 1
xy x y x xy y
m
x y

+ = − +


+ =


⇔
2 2
2 2
3 3
( )
( )( )
xy x y x xy y

Đ t S = x + y, P = xy, Sặ
2

≥
4P ta có h ệ
2
2
2
3SP S P
S
m
P

= −


=


(II)
H (I) có nghi m xệ ệ
≠
0, y
≠
0
⇔
H (II) có nghi m (S,P) th a mãn Sệ ệ ỏ
2

≥

8u v
uv m
+ =


=

.
Khi đó u, v là hai nghi m ph ng trình tệ ươ
2
– 8t + m = 0 (1)
+ H có nghi m ệ ệ
⇔
(1) có nghi m tệ
1
, t
2
th a mãn ỏ
1 2
1
4
t t− ≤ ≤
1 2
1 2
' 0
33
( 1/ 4)( 1/ 4) 0 16
16
( 1/ 4) ( 1/ 4) 0
t t m