PHẦN I: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
CHƯƠNG I: ĐƯỜNG THẲNG
I) CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n

2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n

n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)

cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H






3
32
0;
.
Bài6: Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lƣợt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đƣờng thẳng d.
3) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d' đối xứng với d qua O. Bài7: Cho ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phƣơng trình các cạnh ABC.
2) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng chứa đƣờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng chứa trung tuyến BI của ABC.
2) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A và  BI.
III) CHÙM ĐƢỜNG THẲNG:
Bài1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đƣờng thẳng (d
1
): x + 3y - 9 = 0 và (d
2
): 3x -

): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phƣơng trình đƣờng phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ABC, các cạnh có phƣơng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ABC.
2) Tìm phƣơng trình đƣờng phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đƣờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới
đƣờng thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đƣờng thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đƣờng thẳng qua P cắt (d
1
),
(d

1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phƣơng trình: x - 2y - 2 = 0, 2x + 5y + 3 =
0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh ABC.
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần tƣ thứ nhất.
2) Viết phƣơng trình 2 đƣờng chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I






0
2
1
;
,
phƣơng trình đƣờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh
A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ABC vuông tại A, phƣơng trình đƣờng
thẳng BC là:
033  yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đƣờng tròn nội tiếp bằng 2.
Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG BẬC HAI
I) ĐƢỜNG TRÕN:
Bài1: Lập phƣơng trình đƣờng tròn trong các trƣờng hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.

2
+ y
2
- 2x + 4y - 20 = 0.
2) Viết phƣơng trình đƣờng tròn qua giao điểm của hai đƣờng tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0 và
(C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) Lập phƣơng trình đƣờng tròn qua giao điểm của hai đƣờng tròn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x + 2y - 2 = 0 (C
2
):
x
2
+ y

2
+ y
2
- 4x - 4y - 1 = 0
2) (C
1
): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đƣờng tròn (C): x
2
+ y
2
= 4 và một điểm M(2; 4). Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT
1
, MT
2
với đƣờng tròn,
trong đó T
1
, T
2

 
233 ;
và N
 
323;
. Tìm M  (E) sao cho MF
2
= 2MF
1

2) TIẾP TUYẾN CỦA ELÍP, QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài1: Cho (E):
1
49
2
2

y
x
. Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (): x - y + 6 = 0
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của:
(E
1

nhận các đƣờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5 = 0 làm tiếp
tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phƣơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2

y
x
. Viết phƣơng trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E).
Bài5: Cho (E
1
):
1
36
2

1
, F
2
của
(E) nhìn đoạn MN dƣới một góc vuông. Hãy xác định vị trí của M, N trên tiếp tuyến ấy. Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2

b
y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ đƣợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phƣơng trình:
1
916
2
2

y
x
.
Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đƣờng thẳng MN luôn tiếp

y
x
, M(-2; 3), N(5; n). Viết
phƣơng trình các đƣờng thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi
qua N và có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2

Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F
1
(
03;
);
 
03
2
;F
và một đƣờng chuẩn có phƣơng trình: x =
3
4
.
1) Viết phƣơng trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức:
P =
MF.MFOMMFMF

- 20y
2
= 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x =
8
và tính khoảng cách từ điểm đó đến hai
tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đƣờng thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol trên.
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x
2
- 9y
2
= -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phƣơng trình đƣờng tròn (C) đƣờng kính F
1
F
2
và tìm giao điểm của (C) và (H).
3) Viết phƣơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình
chữ nhật cơ sở của (H).
Bài3: Lập phƣơng trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3
4
.
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đƣờng tiệm cận có phƣơng trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đƣờng tiệm cận vuông góc với nhau

1
):
1
45
2
2

y
x
(H
2
)
1
54
2
2

y
x

Bài4: Biết rằng Hypebol (H):
1
2
2
2
2

b
y
a

(x
0
; y
0
) nào đó nằm trên (H) cắt hai đƣờng tiệm cận tại A và B. Tính
toạ độ của A và B.
2) CMR: M
0
là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
0
.
V) PARABOL:
Bài1: Cho (P): y
2
= 8x. Viết phƣơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.
1) Vuông góc với đƣờng thẳng (
1
): x - 2y + 6 = 0.
2) Song song với đƣờng thẳng (
2
): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2).
Bài2: Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P
1
): y = x
2
+ 2x + 2 và (P
2

x
và Parabol (P): y
2
= 8x
5) Hypebol (H):
1
94
2
2

y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
Bài3: Cho Parabol (P): y = x
2
- 2x + 2 và đƣờng thẳng (d) là đƣờng thẳng cùng phƣơng với đƣờng thẳng (d
1
):
y = x sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
1) Viết phƣơng trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau. 2) Viết phƣơng trình của (d) khi độ dài AB = 4.

I) MỞ ĐẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
Bài1: Cho ba véctơ

a

3) Tính diện tích BCD và đƣờng cao của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
BTVN:
Câu 1: Cho ba véctơ

a
= (2; -5; 3)
b

= (0; 2; -1)
c

= (1; 7; 2). Tính tọa độ của các véctơ sau:
a)
u

= 4

a
-
1
3
b

+ 3
c

b)
v

= 5

,
w

.
a)

a
= (3; 7; -7),
u

= (2; 1; 0),
v

= (1; -1; 2)
w

= (2; 2; -1)
b)

a
= (8; 9; -1),
u

= (1; 0; 1),
v

= (0; -1; 1)
w

= (1; 1; 0)

tọa độ các đỉnh A, B, C, D
a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0), D(9; -6; 7)
b) A(0; 13; 21), B(11; -23; 17), C(1; 0; 19), D(-2; 5; 5)
Câu 7:Cho A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3)
a) Xác định D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đƣờng chéo
Câu 8: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có A(3; -1; 6) B(-1; 7; -2) D’(5; 1; 6). Xác định tọa độ
a) Tâm của hình hộp b) Đỉnh C’
Câu 9:Tìm
u

biết rằng
a)
u

thỏa mãn đồng thời 3 phƣơng trình:

a
.
u

= -5;
u

.
b

= -11;
u



= (2; -1;
1)
Câu 10: a) Tìm điểm E trên trục Oy cách đều hai điểm A(3; 1; 0), B(-2; 4; 1)
b) Tìm điểm F trên trục Ox cách đều hai điểm M(1; -2; 1) N(11; 0; -7)
Câu 11: Tìm điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Nếu biết
a) M  (Oxz) và A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
b) M  (Oxy) và A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3)
Câu 12: Tính góc tạo thành bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD biết: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-
2; 1; -1)
Câu 13: Chứng minh rằng ABC có A(4; 1; 4) B(0; 7; -4), C(3; 1; -2) là tam giác tù
Câu 14: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh
A’D’, D’C’, CC', A’A. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ
giác MNPQ theo a
Câu 15: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các cạnh BB’ CD, A’D’ lần lƣợt lấy các
điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1). Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng
(MNP)
Câu 16: Cho ABC biết A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -2). Gọi D là điểm chia đoạn AB theo tỷ số -2 và E là
điểm chia đoạn BC theo tỷ số 2.
a) Tìm tọa độ các điểm D, E
b) Tìm coossin của góc giữa hai véctơ
AD

và
AE


Câu 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Tính độ dài phân giác ngoài góc A của ABC
Bài4: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua AB và // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Bài5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
Viết phƣơng trình mặt phẳng (R) qua A và  (P); (Q)
III) ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
Bài1: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đƣờng thẳng (d):
1
3
32
2





 z
y
x

Bài2: Xét vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):





05
010632
zyx
zyx

):





032
022
zx
yx
(d
2
):





0642
0104
zyx
zyx

Bài4: Cho (d):






   


Bài7: Cho d:
x 1 y 1 z 3
1 2 2
  


và (P): 2x - 2y + z - 3 = 0. Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Tính
góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P)
Bài8: Chứng minh rằng hai đƣờng thẳng d
1
:
x y 2z 0
x y z 1 0
  


   

và d
2
:
x 2 2t
yt
z 2 t
  

'
'



  





Bài10: Viết phƣơng trình cho A(1; 2; 1) và đƣờng thẳng d:
x y 1 z 3
3 4 1


.
1. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đƣờng thẳng d.
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đƣờng thẳng d
Bài11: Cho đƣờng thẳng d:
x 1 2t
y 2 t
z 3t








02
023
zy
yx

Bài14: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d
1
) và (d
2
)
(d
1
):
z
y
x




1
2
8
1
(d
2
):




01
02
x
zyx

Bài16: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đƣờng thẳng: (d
1
):








tz
ty
tx
2
1
2

(t  R) (d
2
):









1
1
1
1
3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
 R)
CMR: (d
1
) // (d
2
). Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)

). Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) đi qua (d
1
) và (d
2
)
Bài19: Cho hai đƣờng thẳng (d
1
):








tz
ty
tx
2
23
31
(t  R) (d
2
):






022
032
zy
zx

1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) 3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d
1
), mặt phẳng (Q) chứa (d
2
) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (d) // Oz và cắt (d
1
) và (d
2
).
Bài21: Cho (d):





017322
0322
zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài27: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phƣơng trình tham số của BC. Hạ AH  BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phƣơng trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài28: Cho A(2; 3; -1) (d):
1
3
42


z
y
x

Lập phƣơng trình đƣờng thẳng qua A  (d) cắt (d). Bài29: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M  (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài30: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d):
2

+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 67 = 0
(d):





032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).

VI) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN:
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) M, N lần lƣợt là trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến
(SBD).
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Biết rằng số đo góc nhị
diện (B, SC, D) bằng 150
0
.
Bài7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với DC = 2a, AB = AD = a, SD
= a và vuông góc với đáy.
1) CMR: SBC vuông và tính diện tích của tam giác đó.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đƣờng tròn đƣờng kính AB = 2a,
SA = a
6
và vuông góc với đáy.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đƣờng thẳng AB đến mặt phẳng (SCD). 5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng  song song với mặt phẳng (SAB)
và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M,
N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC).
3) Tính khoảng cách giữa AM và SC.
4) Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB = a, SA = a
2
và vuông góc
với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài11: Cho ABC có đƣờng cao AH = a