Đường tròn
A.Tóm tắt lí thuyết
1, Định nghĩa
Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là quĩ tích của tất cả
những điểm trên một mặt phẳng , cách đều một điểm cho trước bằng một
khoảng cách cho trước. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn
khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.
2, Phương trình đường tròn

*
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a,b) bán kính R có
phương trình :
(C): (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

*
Nếu a
2
+ b
2
– c > 0 thì phương trình x
2
+ y
2

2
= R
2
-
Đường tròn đơn vị có phươnh trình x
2
+ y
2
=1
3, Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x
0;
y
0
)
của đường tròn (C): (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

có phương trình: (x –a)(x
0
- a) + (y –b)(y
0
- b) = R
2
(6)

0
) + c = 0
dựa theo qui tắc : x
2
= x.x thay bằng x.x
0
y
2
= y.y thay bằng y.y
0

2ax = a( x + x) thay bằng a( x + x
0
)
2by = b( y + y) thay bằng b(y + y
0
)
c, Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc ( là tiếp tuyến)
với đường tròn ( C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi:
d(I;(d)) =R
B,Vận dụng
1, Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm
và bán kính đường tròn.

*
Phương pháp
Cách 1: - đưa phương trình về dạng : x
2
+ y
2

c)x
2
+ 2y
2
- 2x + 5y + 2 = 0; (3)
Giải
a, (1) có dạng x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0, với a = 3, b = 4, c = 100.
Ta có a
2
+ b
2
– c = 9 + 16 -100 < 0
Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn.
b, (2) có dạng x
2
+ y
2
- 2ax – 2by + c =0, với a = 1, b = 3, c = -6 .
Ta có a
2
+ b
2
– c = 1 + 9 - 6 > 0
Vậy (2) là phương trình đường tròn có tâm là điểm (1;3), bán kính bằng
2 2
a b c

2
+ b
2
– c > 0 m
2
+ 4m
2
– 6m + > 0
5m
2
- 6m + > 0

m >
b, khi m > thì (1) là phương trình đường tròn tâm I( m; -2m) và có bán
kính R =
2, Lập phương trình đường tròn

*
Phương pháp:
Cách 1: - Tìm toạ độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của (C)
- Viết phương trình (C) theo dạng (x –a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

Cách 2: Gọi phương trình của đường tròn (C) x
2

(C) đi qua A, B IA
2
= IB
2
= R
2

(C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng tại A IA =d(I, )
(C) tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
và d
2
d(I,(d
1
)) = d(I, (d
2
)) = R
*
Các ví dụ
Ví dụ 1:Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
a, (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3).
b, (C) có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0
c, (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5).
Giải.
a, (C) có tâm I và đi qua M => bán kính R = IM
=
=>(C) có phương trình : (x + 2)
2
+ (y – 3)
2

⇔
(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).
(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3).
Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1
=> Đường tròn (C) dạng : x
2
+ y
2
– 6x – y – 1 = 0
3, Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn

*
Các dạng bài và phương pháp:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm M
0
(x
0
, y
0
) thuộc đường tròn.
Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.
- Nếu phương trình đường tròn là: x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
thì phương trình tiếp tuyến là: xx
0
+ yy
0

2
+ b
2
khác 0 (1)
B3: Để là tiếp tuyến của (C) d(I, )= R a, b
B4: Thế a,b vào (1) =>
• Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.
· Dạng 3: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của D có phương cho trước (phương trình chứa
tham số t).
– Dựa vào điều kiện: , ta tìm được t. Từ đó suy ra
phương trình của Δ
Dạng 4: tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
- Giả sử (d) : Ax + By + C = 0, A
2
+ B
2
> 0 là tiếp tuyến chung của (C)
và (C’)
- Thiết lập điều kiện tiếp xúccủa (d) với (C) và (C’)
d(I
1
,(d)) = R
1
d(I
2
,(d)) = R
2

Kết luận

c, tiếp tuyến vuông góc d : 3x -4y +5 = 0 => tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0
(C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 => : bán kính R = d( M, Δ)
<=> = 5
<=> |c – 4| = 25
<=> c – 4 = 25 hoặc c – 4 = -25
<=> c = 29 hoặc c = -21
tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = 0 ; 4x + 3y -21 = 0.
Ví dụ 3: cho (C) : x
2
+ y
2
+ 2x – 4x – 4= 0, A(3;5). Tìm phương trình tiếp
tuyến kẻ từ A đén đường tròn.
Giải:
Gọi đường thẳn (d) qua A có dạng : a( x – 3) +b(y – 5) = 0 , a
2
+ b
2
0
(C) có tâm I(-1; 2), R = 3
(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I,(d)) = R = 3
=> = 3
)5(42
22
−−+
22
34
|128|
+
+− c

+ y
2
– 2x – 6y + 8=0 b, (C) : x
2
+ y
2
= 25)
Bài 2: lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có 3 cạnh trên 3
đường thẳng sau: x – 5y – 2 = 0; x – y +2 = 0; x + y – 8 = 0
(Đ/s: x
2
+ y
2
– 4x – 22 = 0)
Bài 3: cho 2 đường thẳng : (d
1
): 2x + y – 1 = 0; (d
2
) : 2x - y – 2
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng (d
1
), (d
2
) và có tâm
thuộc đường thẳng (d) : x – y -1 = 0
(Đ/s: (C
1
) : ( x - )
2
+ ( y - )

20
121
4
1
4
5
80
121
AOB∆
AOB∆
AOB∆
Bài 6: Cho điểm M(-4;-6) và đường tròn (C) có phương trình :
x
2
+ y
2
– 2x - 8y – 8 = 0
Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua M (Đ/s: (d): x + 4 = 0
(d’): 3x – 4y -12 =0)
Bài 7: Cho 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình:
(C): (x – 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1
(C): (x – 2)
2
+ (y + 1)
2
= 4

+ (y – 2)
2
= 4 ;
2
C
: (x + 10)
2
+ (y – 10)
2
= 100
Bài 10: Cho đường tròn (C) :
2 2
2 4 2 0x y x y+ − + + =
. Viết phương trình đường
tròn (C’) tâm M(5,1) biết (C’) cắt (C) tại các điểm A,B sao cho AB=
3
.
(Đ/s: (C’) : (x - 5)
2
+ (y - 1)
2
= 0 ).
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương
trình:
2 2
4 3 4 0x y x+ + − =
. Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn
(C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A.
(Đ/s: (C’):
( )

− =

⇒ =

− = −

và R
2
= 8
(C) :
2 2
2 6 2 0x y x y+ − + + =
b) R =
2
7
5 2 2( 2) 50
3
m
m
m
=

→ − = ⇔

= −

Vậy (C
1
): x
2

và hai đường thẳng
1 2
: 2 5 0, : 2 0d x y d x y+ − = + =
. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (C)
tại A và cắt
1 2
,d d
lần lượt tại B và C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng
AC.
Giải: (h.1) lấy đối xứng đường thẳng
2
d
qua
1
d
ta được đường thẳng
3
: 2 10 0d x y+ − =
.

Do
1
d
song song với
2
d
nên suy ra
3
A d∈
. Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ PT

và điểm
M(2;3). Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M cắt (A) tại P và Q sao cho
MP
2
+ MQ
2
= 18.
Giải : Đường tròn (A) có tâm I(-1;2) và R=3. Dễ thấy M nằm ngoài đường
tròn nên MP.MQ = MI
2
– R
2
= 10 – 9 = 1.
2
2 2
18
( ) 16 4
. 1
: ( 2) ( 3) 0
MP MQ
MP MQ PQ
MP MQ
PT a x b y

+ =
⇒ − = ⇒ =

=

= ⇔ + − = ⇔

=
+

PT hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2x – y – 1 = 0
và x + 2y – 8 = 0.
Bài 7: Cho hai đường thẳng
1 2
: 4 3 14 0, :3 4 8 0d x y d x y− + = + − =
và điểm
M(-2;2). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua M tiếp xúc
1
d
và cắt
2
d

theo dây cung AB = 8.
Giải:
Vì
1
M d∈
nên M là tiếp điểm của (C) và
1
d
. Do
1 2 2 1
6 8 13
( ; ) ( ; ) 3

= −

Ta có
2 2
5 16 9 5.IM t t= ⇒ + =
Tìm được t = 1 hoặc t = -1 suy ra I(2;-1) hoặc
I(-6;5).
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn với phương trình là
2 2 2 2
( 2) ( 1) 25;( 6) ( 5) 25x y x y− + + = + + − =
Bài 8: Cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
6 2 6 0x y x y+ + + + =
và điểm
A(1;3)
a) Chứng minh rằng điểm A ở ngoài đường tròn.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) từ đỉnh A.
Bài 9: Cho đường tròn có phương trình là
2 2
4 4 17 0x y x y+ + + − =
. Viết
phương trình tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Điểm tiếp xúc là M(2;1)
b) d đi qua A(3;6)
c) d song song với đường thẳng 3x – 4y – 2008 = 0
Bài 10: Cho đường tròn
2 2
2 2 6 0x y x y+ − − + =
và điểm M(2;4)
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B

9 1
25 100 5 40
16 16
I m m
R m m m m
 
 ÷
 
= + − + = −
Điều kiện
8m
≠
Tập hợp tâm I là đường thẳng (
∆
): 3x – 4y = 0, loại điểm A(8;6).
b) nhận xét A(8;6) thuộc (C) với mọi M
phương trình tiếp tuyến với (C) tại A(8;6) là:
8x + 6y – m(x + 8) -
3
4
m
(y + 6) + 25m – 100 = 0
⇔
4x + 3y – 50 = 0 (do m
≠
8)
c)
( ) à(d)v∆
cố định đều đi qua A(8;6) và
( ) ( )