1
CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN

Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Định nghĩa đường tròn, hình tròn:
- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một
khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O)
* Định nghĩa hình tròn:
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm
nằm bên trong đường tròn đó. + Tính chất của đường tròn:
- Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
- Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường
tròn.

A
D
B
C
A
A
A
B
O
Hình.1
Hình.
Hình.
3

Hình.
4

Hình.
52

Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B
Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.
Giải:
Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB
=> (O;
2
AB


Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA =
5cm, OM = 3cm .
Tính AB ?
Giải:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM
ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
OA AM OM
AM OA OM
AM OA OM 5 3 4
= +
⇒ = −
⇒ = − = − =Vậy AB = 2AM = 8 cm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là
trung điểm của cạnh huyền.
Chứng minh:
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A.
Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC
Nối O với A => OA là đường trung tuyến
C
O
B


3

Do đó OA =
1
2
BC => OA = OB = OC
=> O là tâm đường tròn đi qua A, B, C
Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

a) Tâm đối xứng:
A’ đối xứng với A qua O.
Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn.
O
A'
Ab) Trục đối xứng:
C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB.
Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O)
I
O
C'
C


Hình.1
1

Hình.1
2

O
R

4

Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc
với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

AB là đường kính, CD là một dây của (O);
Nếu AB
⊥
CD tại I thì IC = ID
I
D
C
O
B
AĐịnh lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua
trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây ấy.

Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O?

M
O Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M
qua O
(Vì OM’ = OM)
M'
M
O Bài 2:
Hình.1
3

Hình.1
4

Hình.1
5

Hình.1
6


Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm;
OM = 3 cm. Tính AB =?

Hướng dẫn: Đường kính OM
⊥
AB nên M là trung
điểm của AB
⇒
AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM từ
đó tính AB.

M
B
A
O

3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) AB > HK
Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB)
+ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABK là trung điểm I của AB)
+ (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn
điểm A, B, H, K )
b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) )
HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) )
So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O )


Hình.2
16I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Dây cung và khoảng cách đến tâm
+ Định lý : Trong một đường tròn
Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn
- Dây gần tâm hơn thì lớn hơn

H
K
O
A
B
D
C

+Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi
OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD
- dây AB = CD
⇔
OH = OK

VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau )
VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau )
VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại
I. IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.

Hình.2
2

d < R

H

d

R

d = R

H

d

R

d > R

H


IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm)
Do MN = PQ nên OH = OK

I
K
H
O
Q
P
NM

Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông .
Do đó OH = OK = IH = 6(cm)

Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d
là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) :

R d
Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
5cm
7cm
6cm
3cm
……
8cm
……………….
Tiếp xúc nhau
…………
Giải

=
0
2
I
= 3 (cm)
- Xét tam giác vuông HON có :
HN
2
= NO
2
– OH
2

⇒
HN =
3 15
(cm)
Vì MN = 2 HN vậy MN =
6 15
(cm) H
I
M
O
N
D
C



Tiết 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

Ba vị trí tương đối của đường tròn.
* Hai đường tròn cắt nhau:
+ Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B
+ Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm.
+ Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung.
+ OO’ gọi là đoạn nối tâm.
+ R - R’ < OO' < R + R’ * Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
+ Hai đường tròn có 1 điểm chung A
+ Điểm chung A được gọi là giao điểm.
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
OO' = R + R’

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong:
OO' = R – R’ * Hai đường tròn không giao nhau:
+ Hai đường tròn không có điểm chung.

a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’

O R R' O'
b) O R O'
R'
c)
O O'a)
d
1
Hình.2
6

Hình.2
7

Hình.2
8

1
0

6

O

H9


1
A
(1)
Chứng minh tương tự ta có:
∆
O’AD cân tại O’.
Do đó

2
A
=

D
(2)
Mặt khác: Â1 = Â2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra:

C
=

D

Vậy OC // O’D vì có hai góc so le trong bằng nhau.

3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 2:
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn
đường kính OA.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn.


Hình.3
110

100
o

Tiết 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG
LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc ở tâm , số đo cung
1.Góc ở tâm :
+ Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi
là góc ở tâm.
VD:

AOB
( hình 32) là góc ở tâm
- Cung AB được ký hiệu là:

AB
,

AmB
là cung nhỏ,


AB

VD: Hình 39 cung nhỏ

AmB
có Sđ là 100
0

cung lớn Sđ

AnB
= 360
0
- 100
0
Sđ

AnB
= 260
0A
B
O
m
n
100
∈
(0)
Hình.3
3

Hình.3
211

O
C
B
A
D
H
K
KL
a; AB = CD =>

AB
=

CDb;

AB

a)Chứng minh rằng OH < OK
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Bài giải
a, Trong tam giác ABC theo bất đẳng thức tam giác ta có:
BC > AB – AC
Do AC = AD nên BC > AB – AD hay BC > BD
Theo định lý về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ BC >
BD suy ra OH < OK
b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > BD

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại M. Biết
OM = 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ?
gt
(0); A,B,C,D
∈
(0)
kl

a;


⊥
OM suy ra AN = ON =
OA
⇒
∆
AON đều, nên

AOB
= 60
0
.
Vậy

AOB
= 2

AOM
= 120
0
. A
O
M
B
NTIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

+ A cách đều hai tiếp điểm B và C
+ Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
AB, AC.
+Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC.
Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có:
BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0).
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
AB
⊥
OB, AC
⊥
OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung.
Do đó
∆
OAB =
∆
OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC.


OAB OAC
=
nên AO là tia phân giác của

BAC
.
Hình.3

2
= 32 + 42 = 25 vậy BC
2
= AB
2
+ AC
2

⇒
∆
ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì
A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA).
Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) , kẻ
các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp
điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường
tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D, E .
Chứng minh rằng chu vi
∆
ADE bằng 2AB.
Chứng minh:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AB = AC, DM = DB, EM = EC.
Vậy chu vi tam giác ADE bằng :
AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE
= AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ


14

B
O
C
A

B
C
O
AHình 42 (a;b) :

BAC
là góc nội tiếp.
+ Tính chất của góc nội tiếp :
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ : sđ

BAC
=
1
2
sđ

BC

J
I
H

Hình 44 :

BAC
=

EDF
=>


sdBC = sdEF

Hình 45 :

BAC
=

BJC
=

BIC
và

EDF
=

EHF

Hình 47
0
C
D
E

Hình 46 :

AF
B
=
1
2

OF
B

Hình 47 :

DCF
=90
0
( do DE là đường kính )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
B
O
C
A
Hình.43
Hình.42.b


WY
Z
và

ZXY
cùng chắn
cung ZY ;

WZX
và

WYX
cùng chắn cung WX

WXZ
và

ZYW
cùng chắn cung ZW;

XZY
và

YWX
cùng chắn cung XY.

Bài 3. Trên hình vẽ sau, cho biết ABC là tam giác đều. Số đo cung nhỏ AC bằng :

A. 120

0
C
A
B

A. 2 cặp B. 3 cặp

C. 4 cặp D. vô số cặp

0
Y
Z
W X
Hình.
43

Hình.48
Hình.49

16

Bài 4. Trên hình vẽ sau, cho biết

ADO
= 25
0
. Số đo
cung DB bằng :
A. 25
0


DB
= 2sđ

DAB
=
50
0Bài 5. Trên hình vẽ sau, cho biết

MAB
= 20
0
;

DMB
= 30
0
. Sđ

DnB
bằng :
A. 50
0

B. 30
0


Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Hướng dẫn :
Chỉ ra

ABD
= 1V;

ABC
= 1V =>

CBD
= 180
0
=>
đpcm.

Bài 2. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (o).
Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song
song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S.
Chứng minh SM = SC và SN = SA.

Hướng dẫn :
Do

MCB
=

ACM
( cùng chắn hai cung bằng nhau,

mà

ANM
=

NMC
(=

ACM
)
=>


CAN ANM
=
hay SAN là tam giác cân => SA
= SN
0
B
A
D

n
A

Hình.52
Hình.51

17

Tiết 28: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

xAB
họăc

yAB

- Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Sđ

xAB
=
1
2
Sđ

AnB

Ví dụ: Cho

AnB
có số đo 50

- Hình 2: Một cạnh không phải tia tiếp tuyến.(Là cát tuyến)
- Hình 3: Không có cạnh nào là dây cung.
- Hình 5: Hai cạnh của góc chứa hai dây cung.
Bài 2: Cho hình vẽ 6. Biết cung

AmB
có số đo 60
0
.
Tính

xAB
= ?
Giải:

Áp dụng công thức ở mục 1 ta có: Sđ

xAB
=
0
60
2
= 30
0
Hình 60

Bài 3: Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB, bán kính 0C vuông góc với AB. Tính số đo
góc tạo bởi dây AC và tia tiếp tuyến tại A?

GT Cho (0;
Giải:
Vì 0C
⊥
AB =>

AOC
= 90
0
=> Cung nhỏ

AC
= 90
0

Theo công thức ở mục 1 ta có Sđ

xAC
=
1
2
Sđ

AC
=
0
90
2
= 45


Áp dụng công thức ở mục 1 ta có Sđ

xAC
=
1
2
Sđ

AC
=
0
120
2
= 60
0

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn, Gọi T là
giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh:


APO
=

PBT
.
Hướng dẫn:
Kéo dài P0 cắt (0) tại Q. Nhận xét hai góc 0
1

T
P
O
B
A
F
O
n
m
D
C
B
A
Hình.
61

Hình.62
Hình.63

19

1) Đặc điểm:
- Đỉnh ở bên trong đường tròn
- Hai cạnh là 2 cát tuyến .
2) Định lí : Số đo của một góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai
cung bị chắn
Nối AD ta có

DFB
là góc ngoài của tam giác ADF

- Hai cạnh đều là cát tuyến hoặc 1 cạnh là cát tuyến, 1 cạnh là tiếp tuyến hoặc hai cạnh là
tiếp
2) Định lí: Số đo của một góc có đỉnh ở bên ngoài đường
tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn
a) Hai cạnh đều là cát tuyến :
Nối AB Ta có :

DAB
là góc ngoài của
∆
EAB


DAB
=

DEB
+

ABC

Ta có:

DEB
=

DAB
-

ABC

ACE
=


2
sdDnC sd AmC
−

c) Hai cạnh đều là tiếp tuyến :
Nối AC Ta có :

CAx
là góc ngoài của
∆
EAC

AEC
=

CAx
-

ACE
=


2
sd AnC sd AmC
−



AMB
=
α
là hai cung chứa góc
α
dựng
trên đoạn AB
E
O
n
m
D
C
A
E
O
n
m
C
A
E
B
O
n
m
D
C
A
m

ta phải chứng minh hai phần:
+ Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
+ Kết luận: Quỹ tích(tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho hình vẽ:
Hãy tính :

DAB
+

ADCGiải:
Ta có :

ADC
và

DAB
là góc nội tiếp của đường tròn (O)
Nên:

ADC
=

1

ASC
=

MCA

Hướng dẫn :

ASC
là góc có đỉnh ở bên ngoài (O) và

MCA
là góc nội tiếp (O)

ASC
⇒
=


2
sd AB sdCM
−
=


2
sd AC sdCM
−
=

1

∆
ABC cần dựng .
- Biện luận : bài toán có 2 nghiệm hình . Tiết 30: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
S
O
M
C
B
A
B
F
O
n
m
D
C
A
Hình.70
Hình.69
Hình.68

21

O
A
B
D


C
= 180
0
hoặc

B
+

D
= 180
0
⇒
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
* Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn :
 Tứ giác nội tiếp đường tròn có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180
0
.
 Hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc không đổi.
 Hai đỉnh đối diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
 Bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cố định.
 Chứng tỏ tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.
Ví dụ 1: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các tứ giác nội tiếp được đường tròn .
O
O
O
A


DAB
=

MCB

N
A
D
M
C
BII. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Qua A kẻ tiếp tuyến AB và cát
tuyến AMN với đường tròn (O). Lấy điểm I là trung điểm MN. Chứng minh ABIO là tứ
giác nội tiếp .
Giải

Hình.72
Hình.73
Hình.71

22

*Trường hợp 1: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về hai nửa mặt phẳng chứa đoạn
thẳng OA
Ta có:
AB là tiếp tuyến của (O) nên

N
M
O
B
A*Trường hợp 2: Cát tuyến AMN và tiếp tuyến AB nằm về cùng nửa mặt phẳng chứa đoạn
thẳng OA
C1.Ta có:
I và B cùng thuộc cùng chứa góc 90
0
dựng trên đoạn
OA nên tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn
C2. Lấy C là trung điểm của OA
Ta có :
CB = CA = CO (∆ABO vuông tại B) (1)
//
//
C
I
N
M
O
B
A

Ta có : CI = CA = CO (∆AIO vuông tại I) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CA=CB = CI = CO
vậy A, B, I,O cùng thuộc (I) hay tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn

1
2

A C
(đối đỉnh với góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung chắn

A C
) (1)

KBI
=
1
2

BD
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến v
à dây cung)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra

KCI
=

KBI
hay C,B cùng thuộc
cung chứa góc dựng trên đoạn KI
⇒
Tứ giác KIBC nội tiếp đường tròn.
M

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Hình.74
Hình.74
Hình.
74

Hình.75
Hình.75

23

Bài tập 1: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi:
Khẳng định Đúng Sai
a,


+ =
0
DAB BCD 180b, Bốn đỉnh A, B, C, D cách đều điểm I.
c,


DAB BCD.
=


tư
ưư
ưi
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu 


-

- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 –
––
– 0989824932
0989824932 0989824932
0989824932

http://www.xuctu.com E mail: [email protected] -
Trang
1

-

b/ Tứ giác ABDE nội tiếp
Ta có :

AEB
= 900 (AD là đường cao)

ADB
= 900 (BE là đường cao)
H
D
E
O
C
A
B
M
N

Mà

AEB
và

ADB
cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABDE nội tiếp .
c) Chứng minh
∆
MCN cân tại C
⇒
CM = CN .

0
của đường tròn có bán kính 2dm là:
l =
3,14.2.60
180
= 2,1(dm)
3. Công thức tính diện tích hình tròn
Hình.76
TT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sTT Giáo viên & Gia s
TT Giáo viên & Gia sư
ưư
ư t
t t
tư
ưư
ưi
ii
i TP Hu
TP Hu TP Hu
TP Hu 


-

- ĐT: 2207027
ĐT: 2207027 ĐT: 2207027

S
q
=
2
360
R n
π
hay Sq =
2
lR

R là bán kính của đường tròn tâm O

π
: Là một số vô tỉ, giá trị gần đúng của nó là 3,14.
l : là độ dài cung tròn n
o

Ví dụ 4:
Tính diện tích hình quạt tròn của đường tròn có bán kính 6cm biết số đo cung là 360.
Sq = ?, R = 6cm, n
0
= 360, Công thức S
q
=
2
360
R n
π


π
=
12
2.3,14
= 1,91cm
Bài 2:
Biết S
q
=114cm2 của đường tròn có bán kính 12 cm tìm số đo cung tròn ứng với diện tích hình
quạt tròn đã cho.
Hướng dẫn
Sq =
2
360
R n
π
=
0
.
360
S n
=> n
0
=
.360
q
S
S
mà S =
2