Chuyên đề ii. Con lắc lò xo
A. lý thuyết.
* Khi bỏ qua ma sát và lực cản của môi trờng thì dao động của con lắc lò xo quanh VTCB là dao động
điều hoà với phơng trình: x = Acos(

t +

). Trong đó A;

và

là những hằng số.
* Tần số góc, chu kì và tần số của con lắc lò xo:
* Tần số góc: =
m
k
với k là độ cứng của lò xo, m là khối lợng của quả cầu con lắc.
* Chu kì: T = 2
k
m
.
* Tần số: f =
m
k

2
1
Lu ý: Đối với con lắc lò xo dọc, ngoài những công thức trên ta còn có thể sử dụng các công thức sau:
* =
l
g

* Khi con lắc nằm trên mặt phẳng nghiêng 1 góc (hình
2.1c) : k
l
=mgsin
* Lực đàn hồi cực đại: F
max
= k(
l
+ A)
* Lực đàn hồi cực tiểu: F
min
= 0 (nếu A
l
) và F
min
= k(
l
- A) (nếu A <
l
)
Lu ý: A =
2
'BB
(với BB là chiều dài quỹ đạo của quả cầu con lắc)
* Hệ con lắc gồm n lò xo mắc nối tiếp thì:
* Độ cứng của hệ là:
n
k
1
=

2
= (trong đó k
1
, k
2
, k
3
là độ cứng của các lò xo)
* Hệ con lắc lò xo gồm n lò xo mắc song song:
* Độ cứng của hệ là: k
hệ
= k
1
+ k
2
+ k
3

=> Chu kì: T
hệ
= 2

he
m
k
&
* Năng lợng dao động:
* Động năng: W
đ
=

(t + ), (với k = m
2
)
* Cơ năng: W = W
đ
+ W
t
=
2
1
kA
2
=
2
1
m
2
A
2
= W
đmax
= W
tmax
= const
B. bài tập.
O(VTCB)
x
Hình 2.1a
l
l


=
l
.
Đối với con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang: T =
2
sing


l
; f =
1 sin
2
g


l
.
Trong đó: m là khối lợng quả cầu con lắc; k là độ cứng của lò xo (hoặc độ cứng tơng đơng của hệ lò
xo ghép); g là gia tốc trọng trờng; là độ biến dạng của lò xo ở VTCB (đối với con lắc lò xo dọc).
Hệ lò xo ghép nối tiếp:
1
k
=
1
1
k
+
2
1

1
gắn vào lò xo thì dao động với chu kỳ T
1
= 0,6s. Thay quả cầu này bằng quả
cầu khác có khối lợng m
2
thì hệ dao động với chu kỳ T
2
= 0,8s. Tính chu kỳ dao động của hệ gồm hai quả cầu
trên cùng gắn vào lò xo.
3. Lò xo có độ cứng k = 80N/m. Lần lợt gắn hai quả cầu có khối lợng m
1
; m
2
và kích thích. Trong cùng
khoảng thời gian, con lắc lò xo gắn m
1
thực hiện đợc 10 dao động trong khi con lắc gắn m
2
thực hiện đợc 5 dao
động. Gắn đồng thời hai quả cầu vào lò xo. Hệ này có chu kỳ dao động
2

s. Tính m
1
; m
2
.
4. Quả cầu có khối lợng m gắn vào một đầu lò xo. Gắn thêm vào lò xo một vật có khối lợng m
1

. cho biết m
2
= 225g. Lấy
2
10 =
.
8. Mt vt khi lng m dao ng vi chu k 0,3s nu treo v o lò xo có cng k
1
, có chu k 0,4s nu
treo vt v o lò xo có cng k
2
. Tìm chu kỳ dao động của quả cầu nếu treo nó vào một hệ gồm:
a. Hai lò xo k
1
và k
2
ghép nối tiếp.
b. Hai lò xo k
1
và k
2
ghép song song.
9. Treo vật m vào hệ gồm hai lò xo k
1
và k
2
ghép song song thì chu kỳ dao động của hệ là
s
5


số dao động của vật.
Daùng 2. Xác định lực cực đại và cực tiểu tác dụng lên vật và điểm treo lò xo.
* Phơng pháp.
2.1. Tính lực tác dụng lên vật (lực hồi phục).
Lực hồi phục:
F k x ma= =
ur r r
luôn hớng về VTCB.
Độ lớn: F =
2
k x m x

=
.
Lực hồi phục đạt giá trị cực đại F
max
= kA khi vật đi qua các vị trí biên (x =

A).
Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu F
min
= 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng (x = 0).
2.2. Tính lực tác dụng lên điểm treo lò xo.
Lực tác dụng lên điểm treo là xo là lực đàn hồi: F = k
x +l
.
Khi con lắc lò xo nằm ngang = 0.
Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng:
2
mg g

VTCB, nâng vật lên theo phơng thẳng đứng đến khi lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ thì lực cực đại và cực tiểu
tác dụng vào điểm treo lò xo là bao nhiêu?
2. Con lắc lò xo thẳng đứng, khối lợng 100g. Kéo vật xuống dới VTCB theo phơng thẳng đứng rồi
buông. Vật dao động với phơng trình:
))(
2
5cos(5 cmtx


+=
. Lấy g = 10 m/s
2
. Lực dùng để kéo vật trớc khi
dao động có cờng độ bao nhiêu?
3. Con lắc lò xo gồm vật nặng khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 20 N/m treo thẳng đứng. Cho
con lắc dao động với biên độ 3cm. Lấy g = 10 m/s
2
. Tính lực cực đại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo lò xo?
4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động với phơng trình
cos(10 5 )( )
2
x t cm

= +
. Lấy g = 10 m/s
2
.
Tính lực cực dại và cực tiểu tác dụng vào điểm treo lò xo?
5. Con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 40 N/m. Năng lợng
dao động của con lắc là W = 18.10

9. Con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động điều hoà với biên độ 10 cm. Tỉ số giữa lực cực đại và cực
tiểu tác dụng vào điểm treo trong quá trình con lắc dao động là
3
7
. Lấy
2
2
10
s
m
g ==

. Tính tần số dao động
của con lắc.
10. Con l¾c lß xo treo th¼ng ®øng, ®é cøng k = 100 N/m,khèi lỵng vËt nỈng m = 1kg. Dao ®éng ®iỊu
hoµ víi ph¬ng tr×nh
))(
3
cos(10 cmtx
π
ω
−=
. TÝnh ®é lín cđa lùc ®µn håi t¸c dơng vµo ®iĨm treo lß xo vµ lùc
t¸c dơng vµo vËt khi vËt cã vËn tèc
50 3
cm
s
vµ ë díi VTCB.
11. Qủa cầu có khối lượng 100g , treo vào lò xo nhẹ có k = 50N/m. Tại vtcb truyền cho vật một năng
lượng ban đầu W = 0,0225J để quả cầu dao

= ℓ
0
- ∆ℓ)
ChiỊu dµi cùc ®¹i cđa lß xo: ℓ
max
= ℓ
0
+ ∆ℓ + A (trêng hỵp con l¾c lß xo trªn mỈt ph¼ng nghiªng mµ
®iĨm treo lß xo ë phÝa ch©n mỈt ph¼ng nghiªng th×: ℓ
max
= ℓ
0
- ∆ℓ + A).
ChiỊu dµi cùc tiĨu cđa lß xo: ℓ
min
= ℓ
0
+ ∆ℓ - A (trêng hỵp con l¾c lß xo trªn mỈt ph¼ng nghiªng mµ
®iĨm treo lß xo ë phÝa ch©n mỈt ph¼ng nghiªng th×: ℓ
min
= ℓ
0
- ∆ℓ - A).
ChiỊu dµi lß xo ë li ®é x: ℓ = ℓ
0
+ ∆ℓ + x (trêng hỵp con l¾c lß xo trªn mỈt ph¼ng nghiªng mµ ®iĨm
treo lß xo ë phÝa ch©n mỈt ph¼ng nghiªng th×: ℓ = ℓ
0
- ∆ℓ + x).
min

. §Ỉt hƯ lªn mỈt ph¼ng
nghiªng gãc α = 30
0
so víi ph¬ng ngang. Bá qua ma s¸t, tÝnh ®é dµi ℓ
2
cđa lß xo khi hƯ ë tr¹ng th¸i c©n b»ng.
2. Con l¾c lß xo treo th¼ng ®øng, dao ®éng ®iỊu hoµ víi tÇn sè 4,5Hz. Trong qu¸ tr×nh dao ®éng chiỊu
dµi lß xo biÕn thiªn tõ 40 cm ®Õn 56 cm. LÊy g = 10 m/s
2
. TÝnh chiỊu dµi tù nhiªn cđa lß xo.
3. Mét lß xo khèi lỵng kh«ng ®¸ng kĨ, treo vµo mét ®iĨm cè ®Þnh, cã chiỊu dµi tù nhiªn ℓ
0
. Khi treo vËt
m
1
= 0,1kg th× nã dµi ℓ
1
= 31cm. Treo thªm vËt m
2
= 100g th× ®é dµi míi lµ ℓ
2
= 32cm. T×m ®é cøng k vµ chiỊu
dµi tù nhiªn ℓ
0
cđa lß xo.
4. Mét lß xo khèi lỵng kh«ng ®¸ng kĨ, chiỊu dµi tù nhiªn ℓ
0
, ®é cøng k, treo vµo mét ®iĨm cè ®Þnh. NÕu
treo mét vËt m
1

2
. TÝnh chiỊu dµi lß xo ë thêi ®iĨm t = 0?
7. Con l¾c lß xo gåm vËt nỈng khèi lỵng m = 400g, lß xo cã ®é cøng k = 200N/m, chiỊu dµi tù nhiªn ℓ
0
= 35cm ®ỵc ®Ỉt trªn mỈt ph¼ng nghiªng gãc
0
30=
α
so víi mỈt ph¼ng n»m ngang. §Çu trªn cè ®Þnh, ®Çu díi
g¾n vËt nỈng. Cho vËt dao ®éng ®iỊu hoµ víi biªn ®é 4cm. LÊy g = 10m/s
2
. TÝnh chiỊu dµi cùc ®¹i vµ cùc tiĨu
cđa lß xo trong qu¸ tr×nh dao ®éng cđa vËt?
8. Một vật treo v o lß xo lµm nã gi·n ra 4cm.à Cho g = 10m/s
2
, lÊy

2
10π =
. BiÕt lùc ®µn håi cùc ®¹i, cùc
tiĨu t¸c dơng vµo ®iĨm treo lß xo lÇn lỵt lµ 10N vµ 6N. ChiỊu dµi tù nhiªn cđa lß xo 20cm. TÝnh chiỊu dµi cùc
®¹i vµ cùc tiĨu cđa lß xo trong qu¸ tr×nh con l¾c dao ®éng.
9. Hai lß xo khèi lỵng kh«ng ®¸ng kĨ, ®é cøng lÇn lỵt lµ k
1
= 1N/cm vµ k
2
= 150N/m cã cïng chiỊu dµi
tù nhiªn ℓ
0
= 20cm ®ùoc ghÐp song song vµ treo th¼ng ®øng. §Çu díi cđa hai lß xo nèi víi vËt cã khèi lỵng m =

=
2
1
mv
2
=
2
1
mω
2
A
2
sin
2
(ωt + ϕ)
* ThÕ n¨ng: W
t
=
2
1
kx
2
=
2
1
mω
2
A
2
cos

W
t
= W – W
®
* Khi W
®
= W
t

2
A
x⇒ = ±
⇒
kho¶ng thêi gian gi÷a hai lÇn W
®
= W
t
liªn tiÕp lµ
4
T
t∆ =
.
* Trong dao ®éng ®iỊu hoµ, thÕ n¨ng vµ ®éng n¨ng biÕn thiªn ®iỊu hoµ víi tÇn sè gãc
' 2
ω ω
=
, chu kú
'
2
T

năng E
đ1
và E
đ2
của quả cầu khi nó đi qua các vị trí có li độ x
1
= 3 cm và x
2
= -3 cm. Mốc thế năng ở VTCB.
7. Con l¾c lß xo gåm vËt m, g¾n vµo lß xo ®é cøng K = 40N/m dao ®éng ®iỊu hoµ theo ph¬ng ngang, độ
biÕn d¹ng cùc ®¹i của lß xo lµ 4 (cm). Mốc thế năng ở VTCB . Ở li ®é x=2(cm) ®éng n¨ng của vật lµ bao nhiêu?
8. Mét con l¾c lß xo cã khèi lỵng m = 2(kg) dao ®éng ®iỊu hßa víi c¬ n¨ng W = 0,125(J) t¹i thêi ®iĨm
ban ®Çu vËt cã v
0
= 0,25(m/s), a
0
= - 6,25
3
(m/s
2
). Mốc thế năng ở VTCB . T×m ®éng n¨ng vµ thÕ n¨ng cđa con
l¾c lß xo ë thêi ®iĨm t = 7,25T.
9. Con l¾c lß xo gåm vËt nỈng khèi lỵng m, lß xo khèi lỵng kh«ng ®¸ng kĨ ®é cøng k ®ỵc ®Ỉt trªn mỈt
ph¼ng nghiªng gãc α =30
0
so víi ph¬ng ngang. Chän gèc O trïng VTCB, trơc Ox trïng víi mỈt ph¼ng nghiªng,
chiỊu (+) híng lªn. §a vËt vỊ vÞ trÝ lß xo kh«ng biÕn d¹ng råi bu«ng nhĐ, vËt dao ®éng ®iỊu hoµ víi ω
=20(Rad/s). Mốc thế năng ở VTCB . TÝnh vËn tèc cđa vËt t¹i vÞ trÝ mµ ®éng n¨ng nhá h¬n thÕ n¨ng 3 lÇn.
10. Con lắc lò xo dao động theo phương ngang với biên độ A = 10cm. Mốc thế năng ở VTCB. TÝnh li
độ cđa vật khi động năng bằng nửa thế năng.