Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]

III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ QUỸ TÍCH PHỨC
Cho hai số phức z
1
và z
2
được biểu diễn bởi các điểm tương ứng là M
1
và M
2
. Khi đó
− =
1 2 1 2
z z M M

Chứng minh:
Giả sử z
1
= x
1
+ y
1
i ; z

;
z z x x y y
z z x y i x y i x x y y i
M M x x y y
M M x x y y

− = − + −
 − = + − + = − + −
 
⇔
 
= − −



= − + −



1 2 1 2
z z M M
→ − =

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
4 4 10
z i z i
− + + =
, (1)
Hướng dẫn giải:
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

+ =

Ví dụ 2: [ĐVH]. Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
(
)
1 3 2
i z
+ +

trong đó
1 2
z
− ≤
.
Hướng dẫn giải:
Đặt
(
)
1 3 2
w i z
= + +
thì
2
1 3
w
z
i
−
=
+

3; 3
I
, bán kính R = 4 kể cả đường tròn biên.
Đó là hình tròn có phương trình
( )
(
)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
.
Ví dụ 3*: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số
4 2
(1)
2
2
1 (2)
2
z i
i
z
z
z i
− −

= λ

+

6 2
2
R i
= +

3 10
i= + =
nên có phương trình là
( ) ( )
2 2
1 1 10
x y
− + − =
(1’)
+) Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
2, 2
i
−
. Khi đó tập hợp
điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi
qua trung điểm
(
)
1; 1
H
−
của đoạn thẳng CD và nhận
(
)
2; 2

− + − =


( ) ( )
2 2
1 1 10
y x
x x
= −


⇔

− + − − =



2
y x
x
= −

⇔

= ±


2
2
x

2 (4)
3
2
z i
z i
z i
 − − =



+ +
=


+ −


Hướng dẫn giải:
+) Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
1 4
i
+
. Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z
thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính
3
R
=
.
Phương trình đường tròn này là
( ) ( )

2 2
1 4 9
1 2 5
x y
x y

− + − =


+ + − =



2 2
2 2
2 8 8 0
2 4 0
x y x y
x y x y

+ − − + =

⇔

+ + − =



2 2
2 0

x x
= −

⇔

+ − =
1
1
x
y
=

⇔

=

hoặc
2
4
x
y
= −


=

.

là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức.
+) Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm
(
)
3;1
A
, bán kính R = 2 ( kể cả biên ).
+) Ta có
9 5
(6)
2 2
z i
⇔ − − ≥

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
(6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài
hình tròn tâm
9
;1
2
B
 
 
 
, bán kính
5
2
R
=


ng
l
ưỡ
i li
ề
m ” không b
ị
bôi
đ
en trong hình v
ẽ
. Ví dụ 7*:

[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau v
ớ
i
ẩ
n là s

(
)
,z x yi x y= + ∈
ℝ
là t
ọ
a v
ị
c
ủ
a
đ
i
ể
m M b
ấ
t k
ỳ
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c.
+) T
ậ
p h
ợ
p các

ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB
( k
ể
c
ả

đườ
ng trung tr
ự
c ), v
ớ
i
(
)
3;2
A −
và
(
)
1;0
B −
.
+) T

ủ
a h
ệ
b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
giao c
ủ
a hai t
ậ
p h
ợ
p trên.
Đ
ó là ph
ầ
n hình tròn k
ể
c
ả
biên không b
ị
bôi
đ
en trong hình v
ẽ

ng
ứ
ng?
a)

z' (1 i)z 2i
= + +
bi
ết
z z 1 2
+ + =

b)
z' 3z iz
= +
biết
z 2i z 3 i
+ = − +

c)
z' (2 i)z 1
= + +
biết
2
z 1 i 4zz 1
+ − = +

Ví dụ 8:

[ĐVH].

ng?
a)

z' (1 i)z 2i
= + +
bi
ế
t
z z 1 2
+ + =

b)

z' 3z iz
= +
bi
ế
t
z 2i z 3 i
+ = − +

c)

z' (2 i)z 1
= + +
bi
ế
t
2
z 1 i 4zz 1


đạ
t max,
min?
Đ
/s:
max 3 13 ( 2;7)
min 13 (6; 5)
M
M

=
⇒
−

=
⇒
−



BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH].
Trong
cá
c s
ố
ph
ứ
c z′

− ≥ −

b)

z' 2z i
= +
bi
ế
t
z i 1
+ ≤

c)

z' (1 i 3)z 1
= − +
bi
ế
t
2
z 2i 1 9zz 3
+ − ≥ +

d)

z' 2z i 1
= + −
bi
ế
t

z i z i
− − = −
Đ/s:
2 2
z i
= +

b)
1 5 3
z i z i
+ − = + −
. Đ/s:
2 6
5 5
z i
= +

c)
3 4
z z i
= − +

Bài 3: [ĐVH].
Trong
cá
c s
ố
ph
ứ
c

3 6 3 5
z i z
z i z

= + ⇒ =


= + ⇒ =



b)
1 2 4 5
z i+ + =
. Đ/s:
min
max
1 2 5
3 6 3 5
z i z
z i z

= + ⇒ =


= − − ⇒ =



c)

ph
ứ
c z sao cho
1 4
z i
+ −
max, min?
Đ/s:

max 3 10 ( 2;7)
min 10 (0;1)
M
M

= ⇒ −

= ⇒



Bài 5: [ĐVH].
Trong các s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
5
z i+ = , tìm s

1
2
zz
z + =
, tìm qu
ỹ
tích s
ố
ph
ứ
c
(
)
1 2 1
w i z
= + +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Đ/s: Quỹ tích là đường tròn tâm
(
)
1; 4 , 10
I R− − =
Bài 7: [ĐVH]. Cho số phức z thỏa mãn
2 5
z
+ =
, tìm qu
ỹ

z
− =
, tìm s
ố
ph
ứ
c z sao cho
min
z i
− ?
Đ/s:

2 2 1
2
2
z i
−
= +
Bài 9: [ĐVH].
Cho s
ố
ph
ứ
c z th
ỏ
a mãn
1 2
z
− =
, tìm qu