SỬ DỤNG ĐẲNG THỨC ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Giáo viên: Trịnh Xuân Tình – Trường THPT Phú Xuyên B – Hà Tây
Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 hiện nay các tác giả đã chuyển một số vấn đề từ lớp 12
xuống, trong đó có phần Đại số tổ hợp. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy rằng có một số bài toán
chứng minh đẳng thức hoặc tính tổng trước kia giáo viên thường hướng dẫn học sinh bằng cách dùng
đạo hàm hoặc tích phân nhưng với học sinh lớp 11 thì các em chưa được học, do đó học sinh rất
lúng túng khi gặp phải những bài toán đó. Trong bài viết này tôi xin được trình bày một hướng giải
quyết các dạng toán đó hy vọng là mang lại điều bổ ích cho thầy cô giáo và các em học sinh.
Bài toán (mở đầu) Chứng minh rằng:
n n
n n n n
C C C nC n
1 2 3 1
2 3 2
−
+ + + + =
Bài giải: Số hạng tổng quát của vế trái (VT) là:
k
n
kC
với
k N k n, 1∈ ≤ ≤
Ta biến đổi
k
n
kC
k
n
n n
k n nC
k n k k n k

− − −
+ + + + = + + + =
(đpcm)
Nhận xét : Điều mấu chốt là ta phải tìm ra đẳng thức (*) . Ta gọi (*) là đẳng thức đặc trưng của bài toán.
Sau đây là một số bài toán được giải quyết bằng cách tìm đẳng thức đặc trưng.
(Các đẳng thức đặc trưng trong các bài toán bạn đọc tự chứng minh)
Bài toán 1: Chứng minh rằng:
n n n n n n n n
n n n n
C C C n C n
0 1 1 1 2 2 2 3 3 1 0 0 1
1.3 .5 2.3 .5 3.3 .5 .3 5 .8
− − − − − − − −
+ + + + =
Bài giải: Số hạng tổng quát của VT là:
k n k n k
n
k C
1
.3 .5
− − −
với
k N 1 k n,∈ ≤ ≤
Ta có đẳng thức đặc trưng của bài toán là :
k n k n k
n
k C
1
.3 .5
− − −

Bài giải: Số hạng tổng quát của VT là:
k
n
k k C( 1)−
với
k N 2 k n,∈ ≤ ≤
Ta có đẳng thức đặc trưng của bài toán là :
k
n
k k C( 1)−
k
n
n n C
2
2
( 1)
−
−
= −
(2)
Trong (2) cho k lần lượt bằng 1, 2, 3, …, n sau đó cộng theo vế các đẳng thức lại ta được:
VT
n n
n n n n
n n C C C C n n
0 1 2 2 2
2 2 2 2
( 1)( ) ( 1)2
− −
− − − −

2 1
( 1) . .2
− −
+
−
k k k
n
n C
1 1 1
2
( 1) .(2 1).2
− − −
= − +
(3) .
Trong (3) cho k lần lượt bằng 1, 2, 3, …, 2n + 1 sau đó cộng theo vế các đẳng thức lại ta được:
VT =
n n n
n n n n
n C C C C n n
0 1 2 2 2 2 2
2 2 2 2
(2 1)( 2 2 2 ) (2 1).(1 2) 2 1+ − + − + = + − = +
Do đó phương trình
n n2 1 2005 1002
⇔ + = ⇔ =
Bài toán 4 (ĐHCĐ KA-2007) Chứng minh rằng:
n
n
n n n n
C C C C

2
1
2
−
=
k
n
C
n
2
2 1
1
2 1
+
+
(4)
Trong (4) cho k lần lượt bằng 1, 2, 3, …, n sau đó cộng theo vế các đẳng thức lại ta được:
VT =
n
n n n n
C C C C
n
2 4 6 2
2 1 2 1 2 1 2 1
1
( )
2 1
+ + + +
+ + + +
+

2
2 1
2 1
−
+
(đpcm)
Bài toán 5 Tính
n n
n
n n n n
S C C C C
n
3 5 2 1
0 1 2
2 2 ( 1) 2

4 6 2 2
+
−
= − + − +
+
Bài giải: Số hạng tổng quát của VT là:
k k
k
n
C
k
2 1
( 1) .2
2( 1)

1 1 1 1
1
( 4 4 ( 1) 4 )
1
+
+ + + +
= − + − + −
+
n n n
n n n n
n n n
n n n n n n
n
n
n
S C C C C
n
C C C C C C
n
C
n n
1 2 2 3 3 1 1 1
1 1 1 1
0 0 1 2 2 3 3 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1
1
1 0 0
1
1
( 4 4 4 ( 1) .4 )

+
− −
=
+
Để kết thúc bài viết tôi đưa ra một số bài tập sau:
Bài 1: Chứng minh rằng:
1)
n n n n n
n n n n
C C C nC n
1 1 2 2 3 3 1
2 2.2 3.2 .3
− − − −
+ + + + =
2)
n n
n
n n n n
C C C C
n n
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2
2 3 1 1
+ +
−
+ + + + =
+ +
Bài 2: Tính tổng: