1.1 Kiến thức vật lí
Chu kì:
l
T 2
g
= π

Động năng:
2
d
1
W mv
2
=
Thế năng:
= − ≈
α α
2
t
1
W mgl( 1 cos ) mgl
2
(
α
nhỏ)
Cơ năng: W =
+ = = = −
2 2
d t 0 max 0
1 1
W W mgl mv mgl( 1 cos )

r
r
Lực điện trường:
d
F qE=
r r

d
F
r
cùng phương với
E
r
Nếu q > 0:
d
F
r
cùng hướng với
E
r
Nếu q < 0:
d
F
r
ngược hướng với
E
r
Lực quán tính:
qt
F ma= −

r
+
c
r

Nếu
b
r
và
c
r
ngược hướng:
a
r
=
b c−
r
r

Nếu
b
r
vuông góc với
c
r
:
2 2
a b c
= +
r

1
l
T 2
g
= π
;
2
2
l
T 2
g
= π

2 2
1 1
T l
T l
=
( chu kì tỉ lệ thuận với căn bậc hai
của chiều dài )
Kết luận:
2
2 1
1
l
T T
l
=
Ví dụ 1: Một con lắc đơn có độ dài 1m dao động điều hòa với chu kì 2s. Tại cùng vị
trí thì con lắc đơn dài 3m sẽ dao động điều hòa với chu kì bao nhiêu?

l
2
; chu kì
T
−
khi con lắc có chiều dài
l
1
-
l
2
(với
l
1
>
l
2
) và
chu kì
*
T
khi con lắc có chiều dài
l
1
.
l
2
2
1
1

g
+
+
= π

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
l l l l
T 4 4 4 T T
g g g
+
+
= π = π + π = +
1 2
l l
T 2
g
−
−
= π

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
l l l l
T 4 4 4 T T
g g g
−
−

Ví dụ 2: Tại cùng một nơi, một con lắc đơn có độ dài l
1
dao động với chu kì T
1
=
0,8 s. Một con lắc đơn khác có độ dài l
2
dao động với chu kì T
2
= 0,6 s. Tính chu
kì của con lắc đơn có độ dài l
1
+ l
2
; l
1
- l
2
và
1 2
l .l
( lấy g=10m/s
2
và
2
10π ≈
)

+
= + = + =

khi con lắc ở nhiệt độ
t
2
(cho chất làm dây treo có hệ
số nở dài
α
)

1
l
=
+ α
0 1
l (1 t )
;
2
l
=
+ α
0 2
l (1 t )
2 2 0 2 2
1 1 0 1 1
T l l (1 t ) 1 t
T l l (1 t ) 1 t
+ α + α
= = =
+ α + α

Kết luận:

T T 2. 2,00024s
1 t 1 2.10 .20
2.2 Sự phụ thuộc của chu kì vào gia tốc trọng trường khi chiều dài không đổi
Bài toán 4: Tại vị trí có gia tốc trọng trường
1
g
con lắc dao động điều hòa với
chu kì
T
1
. Tính chu kì
T
2
của con lắc đó tại vị trí có gia tốc trọng trường
2
g

( coi chiều dài dây treo không đổi )
1
1
l
T 2
g
= π
;
2
2
l
T 2
g

= = ≈
1
2 1
2
g
T T 1,5 5,9 3,64s
g
Bài toán 5: Chu kì dao động điều hòa của con lắc khi ở gần mặt đất là
T
0
. Tính
chu kì
h
T
của con lắc khi nó ở độ cao h so với mặt đất ( bỏ qua sự thay đổi
chiều dài dây treo )

0
2
GM
g
R
=
;
h
2
GM
g
(R h)
=


= + = + =
h 0
h 0,32
T T (1 ) 2(1 ) 2,0001s
R 6400
Ví dụ 6: Hỏi phải đưa con lắc đơn lên đến độ cao nào để chu kì của nó tăng thêm
0,004% so với chu kì của con lắc ấy tại mặt đất. Biết bán kính trái đất là 6400km và
bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ

5
h 0
0
T T
0,004% 4.10
T
−
−
= =

5 5
h 0
h 0
0
h h T T
T T (1 ) 4.10 h 4.10 .R 0,256km 256m
R R T
− −
−
= + ⇒ = = ⇒ = = =

và
P
r
vuông góc
d.
d
F
r
và
P
r
hợp với nhau góc
α
/
d
P P F= +
r r r
;
/
/
P
g
m
=
;
/
/
l
T 2
g

d
F
r
và
P
r
ngược hướng:
/
d
P P F mg q E= − = −
;
/
q E
g g
m
= −
/
l
T 2
q E
g
m
= π
−
c.
d
F
r
và
P

P
r
hợp với nhau góc
α
:

/ 2 2 2 2 2 2
d d
P P F PF cos m g q E mg q Ecos= + + α = + + α2 2 2 2
2 2
/ 2
2
m g q E mg q Ecos
g q Ecos
q E
g g
m m m
+ + α
α
= = + +

/
2 2
2
2
l
T 2

ngược hướng:
/
l
T 2
q E
g
m
= π
−
6

d
F
r
và
P
r
vuông góc:
/
2 2
2
2
l
T 2
q E
g
m
= π
+


4
10
V/m . Lấy
( )
2
g 10 m/s=
,
3,14π =
. Tính chu kì dao động điều hòa của con lắc khi
a.
E
r
hướng thẳng đứng xuống dưới
Vì q > 0 nên
d
F
r
cùng hướng
E
r
=>
d
F
r
hướng thẳng đứng xuống dưới =>
d
F
r
cùng
hướng

F
r
hướng thẳng đứng lên trên =>
d
F
r
ngược
hướng
P
r
=>
/
6 4
l 0,5
T 2 2 1,99s
5.10 .10
q E
10
g
0,01
m
−
= π = π ≈
−
−
c.
E
r
có phương nằm ngang
7

hợp với
P
r
một góc 30
0

Vì q > 0 nên
d
F
r
cùng hướng
E
r
=>
d
F
r
hợp với
P
r
một góc 30
0
=>
0
30α =
=>
/
6 4 2 6 4 0
2
2

P P F mg ma= + = −
r r r
r r
;
/
/
P
g g a
m
= = −
r
r r r
;
/
/
l
T 2
g
= π
Chọn chiều dương cùng chiều
g
r
a. Thang máy đi lên nhanh dần
⇒
a
r
cùng hướng chuyển động
⇒
a
r

g a
= π
−
c. Thang máy đi xuống nhanh dần
⇒
a
r
cùng hướng chuyển động
⇒
a
r
hướng thẳng
đứng xuống dưới
⇒
/
g g a= −
⇒
/
l
T 2
g a
= π
−
d. Thang máy đi xuống chậm dần
⇒
a
r
ngược hướng chuyển động
⇒
a

m/s
2
. Khi thang máy đứng yên con lắc dao động với chu kì 2 s. Lấy
2
10π ≈
. Tính
chu kì dao động của con lắc trong các trường hợp:
a) Thang máy đi lên nhanh dần đều với gia tốc 2 m/s
2
.
b) Thang máy đi lên chậm dần đều với gia tốc 5 m/s
2
.
c) Thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc 4 m/s
2
.
d) Thang máy đi xuống chậm dần đều với gia tốc 6 m/s
2
.
l
T 2
g
= π ⇒
= = =
π
2 2
2
T g 2.10
l 1m
4 4.10

T 2 2 1,58s
g a 10 6
π π
Ví dụ 9: Một con lắc đơn được treo vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển
động thẳng đứng đi lên nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động
điều hòa của con lắc là 2,52 s. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên chậm
dần đều với gia tốc cũng có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
3,15 s. Tính chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên
Gọi
1
T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên nhanh dần đều

2
T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đi lên chậm dần đều

T
là chu kì dao động điều hòa của con lắc khi thang máy đứng yên

= ⇒ =
2 2
l 1 1 g
T 2 .
g T 4 l
π
π

+
= ⇒ =

π

⇒

1 2
2 2 2 2
1 2
TT 2 2,52.3,15. 2
T
T T (2,52) (3,15)
= = =
+ +
2,78s
10
Bài toán 8: Một con lắc đơn được treo trên trần của một ôtô. Tính chu kì dao
động điều hòa
/
T
của con lắc khi ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên
đường ngang với gia tốc có độ lớn a

/
qt
P P F= +
r r r

Ôtô chuyển động thẳng biến đổi đều trên đường ngang =>
a
r
có phương ngang

/
/
2 2
l l
T 2 2
g
g a
= π = π
+
Ví dụ 10: Treo con lắc đơn vào trần một ôtô tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8
m/s
2
. Khi ôtô đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2 s. Nếu ôtô
chuyển động thẳng nhanh dần đều trên đường nằm ngang với gia tốc 2 m/s
2
thì chu
kì dao động điều hòa của con lắc bằng bao nhiêu?

2 2
2 2
l T g 2 .9,8
T 2 l 0,993m
g 4 4
= π ⇒ = = ≈
π π

/
2 2 2 2
l 0,993
T 2 2 1,98s

0
n 1
Ví dụ 11: Một con lắc đơn dđđh với biên độ góc là 9
0
. Xác định li độ góc khi thế
năng bằng
1
2
lần động năng

t d d t
1
W W W 2W n 2
2
= ⇒ = ⇒ =
0
0
9
5,2
n 1 3
α
α = ± = ± ≈ ±
+
Bài toán 10: Một con lắc đơn dao động điều hòa với tốc độ lớn nhất là
max
v
.
Xác định vận tốc khi vật có thế năng bằng n lần động năng (
=
t d

+
Bài toán 11: Con lắc đơn có chiều dài dây treo l dao động điều hòa với biên độ
góc
0
α
tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính tốc độ
v
α
của vật tại vị trí có li
độ góc
α
. Từ đó suy ra tốc độ con lắc tại VTCB
= + ⇔ − = + −
2
d t 0
1
W W W mgl( 1 cos ) mv mgl( 1 cos )
2
α
α α

⇔

0
v 2gl(cos cos )
α
= α − α
Tại VTCB (
0α =
):


= = − = − ≈
0
max VT CB 0
v v 2gl(1 cos ) 2.9, 8.0,5(1 cos9 ) 0,35m/ s
α
Bài toán 12: Con lắc đơn vật nhỏ khối lượng m dao động điều hòa với biên độ
góc
0
α
tại nơi có gia tốc trọng trường g. Tính lực căng dây
T
α
tác dụng vào
vật tại vị trí có li độ góc
α
. Từ đó suy ra
max
T
và
min
T
Định luật II Niutơn:
P T ma+ =
r
r
r
Chọn chiều dương cùng chiều lực căng
T
r

Kết luận:
0
T mg(3cos 2cos )
α
= α − αmax 0
T mg(3 2cos )= − α
;
min 0
T mgcos= α
Ví dụ 14: Một con lắc đơn có vật khối lượng 50g dao động ở nơi có gia tốc trọng
trường 9,8 m/s
2
với biên độ góc 9
0
. Tính lực căng tại VTCB, biên và vị trí có li độ
góc là 4
0

= = − α = − ≈
0
VT CB max 0
T T mg(3 2cos ) 0,05.9,8(3 2cos9 ) 0,5N

= α = ≈
0
min 0
T mgcos 0,05.9,8.cos9 0,48N