DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ
Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”
!"#$%&'!"()$*'
+()$#','!"'-.
)/()$*!%!01+2
! '()$-Ở dạng 2: 3 '4'()$*
!5678',67!9:;
+5<:'=!0:#!
=!-Ở dạng 3 và 4:>?&!"1'@A(%
$B'=C!A@! )'-
Ở dạng 9:<D6E
F'AC*-
F;A-
GEH'()$*%I&7&8J0&
A!K%!'0&L'AC*-<M
NEG'0&'O'=C'A&=!
-
P;A*&Q&1;+*&Q-
Ở dạng 10:.)/&1()$*%!
78''R'/+D/L!'+D'!
;)&6)*-
*Bài tập lự luyện:
Bài 1:<ES%T%U%SV%W
-PD()$*-
-HXS&)C*5
-HYVVZ=5[5
Bài 2:<ESVVT%SVSV%SVS\%W%YVSY-
>]SVVTSU\V=D5
Bài 3:<ES%U%SX%SZ%W%
-PD()$*L&XC&8-
g1@DE
(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1
EHC*)E
SZZYcY#EYFSdZZ\C#-
Bài 3:<S%X%_%U%WWW))h)D&!6Db]SZ^S)C@
D5i;'5
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
Giải:
Ta thấy:
HC@+KE SdSFY7V
HC@KE XdSFY7S
HC@KE _dSFY7Y
WWW
<OC:ESZ^SdSFY7ZZV
[$%SZ^S)C@ZZS!-
Bài 4:<EX%S^%T^%ZX%S_X%W
-'C@SVV*-
-HSSUVX)C@D*5
Giải:
- HC@+E XdXFS_7V
HC@E S^dXFS_7S
HC@E T^dXFS_7SFS_7Y
HC@E ZXdXFS_7SFS_jYFS_7X
HC@k'E S_XdXFS_7SFS_7YFS_7XFS_7T
WWW
HC@E XFS_7SFS_7YFS_7XFWWFS_7cS#
[$C@SVV*)E
XFS_7SFS_7YFWWFS_7SVVcS#
dXFS_7SFYFXFWWFZZ#.'=Q,'=A-
dXFS_7SFZZ#7ZZEYdUTY_X
Dạng 4: Tìm số hạng thứ n của dãy số
Bài toán 1:<ES%X%_%U% >]C@SVV*)
Giải:
HJ!6!C@SVV)E
Z^cSdZZ
3R)
XcSd_cXdY
HC@SVV)
SFZZ×YdSZZ
<@A(E
Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cách × (Số số hạng - 1)
Bài toán 2:'C@SVV*!"8()$E
X%^%S_%YT%X_%WS#
X%YT%\X%SYV%SZ_%WY#
S%X%\%SV%S_%W-X#
Giải:#gS# ,CES7X%Y7T%X7_%T7\%_7U%W
X
3RC*S#);*J%J@),aJ
@+Y!a9-<J@+)''=ES%Y%X%T%_%Wbg
C@SVV)SVV-
HC@SVV*S#KESVV7SVYdSVYVV-
#gY# ,CES7X%T7\%U7Z%SV7SY%SX7S_%W
3RC*Y#);*J%J@),aJ@
+Y!a9-<J@+)''=ES%T%U%SV%SX%WbHC
@SVV*S%T%U%SV%SX%W)ESFSVVeS#7XdYZ^-
HC@SVV*Y#KEYZ^7XVVd^ZTVV-
#gX# ,CE
HC@SVV*X#KE
* Bài tập tự luyện:
),->]!D/
T
×
=
100 101
5050
2
Bài 2: ?<Z^U?->]! @1?
!&:D/
Bài 3: <6D/! !*'=+)E
-U_Y-
-SY_S-
Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số
Bài toán 1:. !S( :TX_/->](
!D5
Giải:
. !( !%&)D&1DI!6J
S-g
ZS/
ZVY/
. 6/)
Z×SFZV×YdS^Z/
H/O)C)E
cS^ZdYT\/
H/O)C:! &X/I!6JSVV-
!"
YT\EXd^Y
H( !)
ZZF^YdS^S#
Bài toán 2:
36&D'Y/D/6&D')E
Y7_dSV/#
<)hL'/)
ZZcSS#EYFSdT_#
3R6&D'S/D/6&D')E
S7T_dT_/#
<)hL'X/)E
ZZZcSVS#EYFSdT_V#
<X/!'/*+&)6C*!-
JSVVSl!%'R6,!'=/-H/6D'&K/
6,KE
SVFT_d__/#
['R&,!S/D)hT/)E
__ESd__#
E
cSVVS#EYFSd__
cSVVS#EYd__cSd_T
cSVVS#d_T7YdSV^
dSV^FSVVSdSSVZ
* Bài tập tự luyện:
Bài 1:. 1D)D&I!6JS:U_\/-
>]C:*)D-
Bài 2:. @1?*S ?%&:SSXU/
->]!D?5
Bài 3: ;*'=-nK! !*!
&:X^ZU/5
Bài 4:. !*'=( %&:'R
T/->]( !D5
Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy
Bài toán 1:<S%Y%X% >]/@YVV)/5
Giải:
H$&&QK&Q)ESEUdV%STY^_USTY^_
.Q)$&&QC6-+@\/)$&S'
STY^_U-[,YVSV/')EYVSVE\dXX_'#-[$/@
YVSVl&6$&&Q*$&&QK&Q)/U-
Bài toán 4: <SY/%'=!"CDKQ!/
!a9*L=,/B%)C(b&B
$,J$!" [;B )E_Z%YX%^%S\%SX% #-'@
YVSV*@+)ST-
Giải:
)$&!"E
ST%Z%S^%SU%S_%SS%X%\%SY%_%SV%S%Y%T%^%S\%SX%U%ST%Z%S^%SU%S_%
+@S^)C!")0&)CS^!6-
[,YVSV')E
YVSVES^dSSS'SY#
SY)*'@SSY)6)")EST%Z%S^%SU%S_%SS%X%\%SY%_%SV%
S-[$@YVSV*)S-
* Bài tập tự luyện:
Bài 1:<EY%_%^%SS% >'/@YVV*!-
Bài 2:<EY%T%\%^% nC3'!"/@YVSV*)
/V%]C'!M5
Bài 3: nC3!&Q,C$&&Q-+C
a%3)E.C'!"/@SVVl&6$&&Q*$&
U
&Q',!-qS;L)E!)/\-r'
C)!M5
Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
Bài toán 1:<ES%Y%X% %->'A*)SX\
Giải:
s&B@;AE
j+&J'=E
;E4dSFYFXF FZ^FZZFSVV
+A4SVVC%_V'%'R'A)SVS
E
4dSFSVV#FYFZZ#FXFZ^#F F_VF_S#dSVSFSVSF FSVSd
_V7SVSd_V_V-.Q)')M)DUA?i7a!;+
A1DJS!SVV,1CD*6
Ct:),&-P$D)al!6D! M'
^
D'+$&a1%!"!lC%
!"&Bl )C*)E;%'%
%@'-. (!"C!M6&I'!"
()$*%'!"CA(%6&"&/
B/-
Cách giải:
PC*!A*C!!6
C!K-[$EAC*K
A*'=0&C!6C!6Q,C*
Y-
Viết thành sơ đồ:
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)
Từ sơ đồ trên ta suy ra:
H!6*dA7YECeC-
H*dA7YECe!6-
H!Q)'=$&!"&Q )C%!!&Q
CDE
Bài 1:;A*SZ)h)D&!6D-
Giải:
SZ)h)D&!6D)ES%X%_%Z%SS%SX%S_%SU%SZ%YS%YX%Y_%YU%YZ%
XS%XX%X_%XU-
Gnchẵn,Hd7FS#EY
Gn lẻ,eSfE
SFYFWWFeS#deS#7EY
J!vE
HdeS#7EYF
dcS#7EYFY7EY
dweS#7FY7xEY
deSFY#7EY
d7FS#EY
G?!)'(812C,y?&B
@)'6'0&AK-
Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Bài 3: ;rdSV%SSFSS%SYFSY%SXF FZ^%ZZFSVV
Lời giải
!C*ADC1DKQ
,SVV%!E
SVV7rdSVSSFSSSYFSYSXF FZ^ZZFSVVV
s&B@;A;!"A)rdTZ_T%Z_
>0E
+ESS%SYcSV%SSdSY%SXcSS%SYd dS%VS
[$!Q)!S%VS!a9-
gC)ESVVcSV%SS#ES%VSFSdZVC
A*)ESV%SSFSVV#7ZVEYdTZ_T%Z_
Bài 4:<ES%Y%X%WWSZ_-;A/5
Giải:
)CAD'EV%SZ\%SZU%SZ^%SZZE V%
S%Y%X%WW%Z
SV%SS%SY%SX%WW%SZ
ZV%ZS%ZY%ZX%WW%ZZ
Đáp số: 9499,5
Bài 6:{D'ACEY%T%\%^% %YT\;+
D!a9! !"SVV5
Giải:
.Q)f)D&!Y!a9-
gC)EYT\cY#EYFSdSYXC-
A*)EYT\FY#7SYXEYdSYY_Y
[SVVc_YdT^D&D'A*;+T^!a9-
Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.
Bài toán 1: A&Q`K'y*&Q)
+&'y*&Q),Y)6-
Ví dụ:-
\T
S
XY
S
S\
S
^
S
T
S
Y
S
+++++
Cách giải:
Cách 1:
Bước 1:.04d
\T
S
S
^
S
−=
SS
Bước 3:[$4d
−++
−+
−+
T
S
Y
S
Y
S
S
−++−+−+−
dSc
\T
S
d
\T
\X
\T
S
\T
\T
=−
d
\T
\X
Cách 2: A = A X 2 - A
Bài toán 2: ;A*&Q`K'y*&Q
)+&'y*&Q),)6|S#-
Ví dụ:nd
T^\
_
S\Y
_
_
d
S\Y
_
_T
_
S^
_
\
_
Y
_
Y
S_
+++++
Bước 2:;n7cn
n7Xcnd
+++++
S\Y
_
_T
_
S^
_
\
_
Y
_
−−−−−
n7Yd
T^\
_
Y
S_
−
d
T^\
_X\T_
−
d
T^\
X\TV
=
nd
YE
T^\
X\TV
d
T^\
S^YV
=
d
YTX
ZSV
+
−
d
\_
_
\_
\
_T
T
_T
_
TX
X
TX
T
XY
Y
XY
X
xxxxxxxx
−+−+−+−
d
\
S
_
S
_
S
T
X
^_
X
_Y
X
xxxx
+++
d
-
STSS
SSST
SS^
^SS
^_
_^
_Y
Y_
xxxx
−
+
−
+
−
+
−
d
STSS
SS
STSS
ST
S
−+−+−+−
d
U
X
ST
\
ST
S
ST
U
ST
S
Y
S
==−=−
* Bài tập tự luyện:
Bài 1:;AE
#<*+)hmaSVV
#SFTFZFS\FWWFS\Z
Bài 2:
#;A*+X/-
#S%Y%X%\%SY%YT%T^%Z\%SZY%X^T-
Dãy số trên có mười số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh
Đố em, đố chị, đố anh
Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài.
Bài 3:;E
}
YUYX
}
XTV
S
SX^
S
S_T
S
^^
S
TV
S
SV
S
+++++
Bài 4:
S
Y
F
S
T
F
S
^
F F
S
SVYT
F
S
YVT^
F
S
%
Y
S
# >;A*SVC!6D*D-
#H
SVYVV
S
&)'=C*D5[5
Dạng 10: Dãy chữ
G,C%C/!O]?
&;&@C&-P")C! /C%!O]?
&$BC/@?!a%/ 7
=%J!'$BC!'?
-
Các ví dụ:
Bài toán 1:P)D&'/EHOCSINHGIOITINH '=
/)D&E>~<H•P>i•~••P>>~<H•P>i•~•WW]/@YVVZ*
)/5
Giải:
+'R'/EHOCSINHGIOITINH L'S_/-i`
/YVVZ/E
YVVZES_dSXX'#OST/-
[$/@YVVZ*/HOCSINHGIOITINH )/N*
TINH!@l9;@ST*'/@SXT-
Bài toán 2:3=)D&'/THIXAHAIDƯƠNG
THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG WW>]E
-</@YVVY)/5
-P!'!"_V/>!D
/45nD/P5 -nC>!'!"YVVS/4->]
* Bài tập tự luyện:
Bài 1:3=)D&'/ETOANNAM E
TOANNAMTOANNAMTOAN…… >]E
-</@YVSV)/5
-P!'!"_V/P!D/
45nD/~5
-3=!'!"YVVZ/4%]!!'!M
5i;C5
-P'/8@1XANH, ĐỎ, TÍM,
VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍMWW]/@YVVZ!"'5
Bài 2:P/D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T%WWE
DAYTOTHOCTOTDAYTOTWKX'xanh, đỏ, tím%'R'='-
>]/@YVSV)/535
Bài 3:nCga)D&'/DIENBIENPHU E
DIENBIENPHUDIENBIENPHU >]E
#</@SZ_T)/5
#P!YVSV/ED/H5
Bài 4:3=)D&'/~‚ƒ~<[•rP43
~‚ƒ~<[•rP43~‚ƒ~<[•rP43W>]E
#</@SZU_)/5
#P!'!"!_V/!D/
~5nD/•5 #nC4!'!"SZT_/~->]C+
!'!M5[5 #P'/D
8@1E7%!]%;'%%7%!]%;'%%W>]/@YVSV!"
'5
S_
Copyright: Tài liệu đại học ©