BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
Đào Văn Dƣơng TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn khoa học của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Các kết quả viết chung
với người hướng dẫn đã được sự nhất trí của người hướng dẫn khi đưa
vào luận án. Các kết quả của luận án đều là mới và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác.
Tác giả
Đào Văn Dương
2
Lời cảm ơn
Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của Giáo sư Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho
tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học và cả những
điều thật quý báu trong cuộc sống. Sự động viên, tin tưởng của Thầy là
một trong những động lực để tác giả hoàn thành luận án. Nhân dịp này,
tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận
được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin,
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả
xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy.
Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả cũng nhận
được sự giúp đỡ, góp ý của GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, GS.TSKH. Nguyễn
Mạnh Hùng, PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, TS. Trần Đình Kế, TS. Cung Thế
Anh. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các Thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo cùng các anh chị
em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên
3
các trường thực, p-adic" do Giáo sư Nguyễn Minh Chương chủ trì, Viện
Toán học, và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu cũng như trong

: Trường các số p-adic, với p là số nguyên tố
Q
n
p
: Không gian véctơ n chiều trên trường Q
p
I
p
: Tập hợp các phần phân thức của số p-adic
Z
p
: Hình cầu đơn vị trong Q
p
Z
∗
p
: Tập hợp các phần tử của Z
p
khác không
I
n
p
: Tích Descartes của n tập I
p
B
γ
(a), B
γ
: Hình cầu tâm a, tâm 0, bán kính p
γ

p
) : Tập các hàm khả tích địa phương bậc q trên Q
n
p
L
1
loc
(R
n
) : Tập các hàm khả tích địa phương trên R
n
B
α,q

(R
n
) : Không gian Besov trên R
n
BMO(R
n
) : Không gian BMO trên R
n
H

(R
n
) : Không gian Hardy trên R
n
5
V MO(R

p
) : Không gian Herz trên Q
n
p
M
λ
q
(Q
n
p
) : Không gian Morrey trên Q
n
p
MK
α
,q
(Q
n
p
) : Không gian Morrey-Herz trên Q
n
p
D(Q
n
p
) : Tập các hàm hằng địa phương có giá compact trên Q
n
p
D


Lời cảm ơn 2
Bảng ký hiệu 4
MỞ ĐẦU 8
Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ 18
1.1 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Tích chập và biến đổi Fourier trên trường thực . . . . . . 20
1.3 Trường số p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic . . . . . . . . . 25
1.5 Biến đổi Fourier và tích chập p-adic . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Các định lý nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 2. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN SÓNG NHỎ TRÊN
MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM 34
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7
2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO và Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov,
BMO có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chương 3. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN HARDY-LITTLEWOOD
CÓ TRỌNG TRÊN TRƯỜNG P-ADIC 56
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Triebel-
Lizorkin trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên không gian Morrey-
Herz trên trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trên
không gian Morrey-Herz trên trường p-adic . . . . . . . . 78
Chương 4. TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VLADIMIROV VÀ
CƠ SỞ SÓNG NHỎ P-ADIC TRONG L
r

[36], [49], [50], [51], ). Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý
thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-
Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian
phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian
phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy,
BMO (xem, chẳng hạn, [21], [36], [49]). Ngược lại, cũng có thể sử dụng
lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc
nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc (xem [18], [19], [20]).
Ngày nay sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các
toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính
khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao.
Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý
thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong
9
những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong
Toán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu,
địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã có
nhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L.
Donoho, Ronald R. Coifman, Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust,
A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang (xem [8], [13], [14], [21], [23], [49],
[52], [59], [64], [69], ) tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình
về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ.
Năm 2004, Ram S. Pathak [59] đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng
nhỏ xác định bởi (W
ψ
φ)(b, a) =

R
n
φ(t)ψ

ˆ
ψ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S.
Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử
tích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu
của thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên
trường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường số
p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương, trên các không
gian siêu metric. Năm 2002, các tác giả trong [53] đã nghiên cứu các kết
quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ý
tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực.
Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue,
10
Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các
hàm suy rộng, (xem, chẳng hạn, [14], [59], [60], [61], [64]), trong đó
các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng
cấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị chặn
của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến
tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và
có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một
số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệm
của phương trình, hay nói theo ngôn ngữ đại số, giải quyết được tính
toàn ánh, đơn ánh, của toán tử. Thậm chí Charles Fefferman [27] đã
đưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi
Fourier trong không gian L
q
[0, 2π] (q > 1) bằng cách nghiên cứu tính bị
chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ,
việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với
tham biến thang bậc a nhỏ, trên một số không gian hàm đang là vấn

Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển
sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý
thuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988,
V. S. Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến
đổi Fourier, tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic D
α
. Đến năm
1994, các tác giả V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov [77]
đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như
đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường
12
thực sang trường p-adic đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan
tâm. Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa p-adic, còn rất nhiều bài toán
quan trọng chưa được nghiên cứu. Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu các
bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có
trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên trường p-adic.
Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng,
thâm nhập lẫn nhau. Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ
dị (giả vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ,
đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng
(xem [2], [3], [8], [9], [41], [45], [49], [52], ). Ở đây, chúng tôi chỉ giới
thiệu mối quan hệ sâu sắc giữa toán tử Vladimirov D
α
với một cơ sở
sóng nhỏ p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này.
Cụ thể, năm 2002 nhà toán học người Nga S. V. Kozyrev trong [45] lần
đầu tiên đã phát hiện mối liên quan đặc biệt giữa giải tích phổ trên
trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường thực nhờ phép biến đổi
p-adic liên tục nhưng không 1 −1 từ Q
p

(gồm các số p-adic có dạng

−1
i=γ
x
i
p
i
) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không. Ngoài ra, S. V.
Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ
∗
: L
2
(R
+
) → L
2
(Q
p
)
xác định bởi ρ
∗
f(x) = f(ρ(x)). Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một
cơ sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L
2
(R
+
) thành một cơ sở trực chuẩn
trong L
2

α
vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic. Rõ ràng, đây là một phát hiện
rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học khác
nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ. Từ đó giải tích sóng nhỏ
và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song.
Kể từ khi S. V. Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng
nhỏ và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã
được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S.
Albeverio, J. J. Benedetto, R. L. Benedetto, A. Yu. Khrennikov, V. M.
Shelkovich, M. Skopina, S. V. Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong
đó các nhà toán học chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân
giải p-adic, phương trình lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic,
bài toán Cauchy đối với phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi
phân p-adic và những ứng dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ
(xem [1], [2], [3], [4], [7], [12], [40], [41], [42], [45], [46] ). Việc nghiên
cứu, phát triển lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các
hàm trong những không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi
phân p-adic, đang là một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay.
Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho
tôi nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán
tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic
14
gồm các hàm riêng của toán tử D
α
trên một số không gian hàm.
II. Mục đích, đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu
Luận án này đề cập đến một số vấn đề của giải tích sóng nhỏ, giải tích
điều hòa trên trường thực cũng như trên trường p-adic. Cụ thể, chúng
tôi nghiên cứu một số vấn đề sau đây:
(a) Nghiên cứu một số tính chất như tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận

cũng đã được nghiên cứu trên một số không gian hàm. Đây là một trong
những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (b). Tuy nhiên việc chuyển sang
nghiên cứu bài toán trên trường p-adic gặp phải những khó khăn nhất
định. Khó khăn thứ nhất là ở sự khác biệt về cấu trúc số học và hình
học giữa hai trường thực và trường p-adic. Điều này làm thay đổi nhiều
kết quả và phải đưa ra một chứng minh hoàn toàn khác so với trường số
thực. Một số kỹ thuật sử dụng trên trường thực khi chuyển sang nghiên
cứu trên trường p-adic sẽ không còn thích hợp. Thứ hai, phép tính tích
phân trên trường p-adic căn bản là khác so với phép tính tích phân trên
trường thực. Do đó không phải kết quả nào cũng dễ dàng chuyển sang
nghiên cứu được trên trường p-adic. Chẳng hạn, bổ đề van der Corput
trên trường p-adic chỉ mới được thiết lập gần đây bởi Keith M. Rogers
[65]. Tuy nhiên cũng có một số thuận lợi khi nghiên cứu trên trường
p-adic, chẳng hạn chuẩn trên trường p-adic thỏa mãn bất đẳng thức tam
giác mạnh (tính chất siêu metric).
Một trong những thuận lợi khi nghiên cứu bài toán (c) là đã có lược đồ
nghiên cứu cụ thể. Tuy nhiên do các hàm sóng nhỏ p-adic có dạng khác
so với các hàm sóng nhỏ trên trường thực và không có đạo hàm hiểu
theo nghĩa cổ điển, cho nên nhiều kỹ thuật chứng minh phải thay đổi.
16
Trong luận án này, chúng tôi chủ yếu sử dụng một số tính chất hình học
đặc thù trên trường p-adic mà trên trường thực không có, một số tính
chất của hàm đặc trưng cộng tính trên trường p-adic. Đặc biệt, sử dụng
một số kiến thức về giải tích điều hòa trên trường p-adic như lý thuyết
hàm cực đại, biểu diễn Calderón-Zygmund.
III. Những đóng góp mới của Luận án
Những đóng góp chính của Luận án, về mặt kết quả là:
1. Thiết lập được tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các
không gian Besov, BMO, VMO và Hardy H
1

r
(Q
n
p
).
IV. Bố cục của Luận án
Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,
gồm 4 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue,
trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier. Đây là những
kiến thức cần thiết cho việc trình bày các chương sau.
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận
ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên
các không gian Besov, BMO và Hardy H
1
cũng như trên các không gian
Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm
trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử
Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-
Herz trên trường p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của
toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng
với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz
trên trường p-adic.
Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedy
của hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân
Vladimirov D
α
trong không gian L
r

q
(X)
=



X
|f(x)|
q
dµ


1
q
< ∞. (1.1)
Ký hiệu L
∞
(X) là tập hợp tất cả các hàm giá trị phức, đo được trên X
sao cho tồn tại B > 0 để
f
L
∞
(X)
= inf {B > 0 : µ({x ∈ X : |f(x)| > B}) = 0}. (1.2)
Khi đó L
q
(X), với 0 < q ≤ ∞, là một không gian véctơ trên trường phức.
Hai hàm trong không gian L
q
(X) được gọi là bằng nhau nếu chúng bằng

1
(X) và

X
f(x)dµ = lim
k→∞

X
f
k
(x)dµ.
Định lý 1.1.2. (Bất đẳng thức H¨older [56, trang 153]) Nếu f ∈
L
q
(X) và g ∈ L
q

(X), thì fg ∈ L
1
(X) và
fg
L
1
(X)
≤ f
L
q
(X)
g
L



Y
f(x, y)dν(y)






q
dµ(x)


1
q
≤

Y



X
|f(x, y)|
q
dµ(x)


1
q

n
sao cho với
mọi đa chỉ số α, β ∈ N
n
,
sup
x∈R
n
|x
α
(D
β
ϕ(x))| < ∞,
trong đó D
β
= D
β
1
1
D
β
2
2
···D
β
n
n
, D
β
j

).
Tô pô trên S(R
n
) được xác định như sau: dãy {ϕ
j
} ⊂ S(R
n
) được gọi là
21
hội tụ về 0 khi j → ∞ nếu với mọi đa chỉ số α, β ∈ N
n
ta có
sup
x∈R
n
|x
α
(D
β
ϕ
j
(x))| → 0 khi j → ∞.
Không gian Schwartz S(R
n
) trù mật trong L
q
(R
n
) với 1 ≤ q < ∞. Ký
hiệu S

(R
n
) và g ∈ L
q
(R
n
), với 1 ≤ q ≤ ∞, thì tích chập f ∗ g ∈ L
q
(R
n
).
Hơn nữa, ta có
f ∗ g
q
≤ f
1
g
q
.
Nếu f ∈ S

(R
n
) và ϕ ∈ S(R
n
) thì tích chập của hàm f và hàm ϕ
được định nghĩa bởi (f ∗ϕ)(x) = f, ϕ
x
 với ϕ
x

(R
n
) vào chính nó.
22
1.3 Trường số p-adic
Cho p là một số nguyên tố, ta định nghĩa chuẩn p-adic |·|
p
như sau. Đặt
|0|
p
= 0. Với mọi số hữu tỷ x ∈ Q khác không có biểu diễn x = p
γ
m
n
,
trong đó m, n là các số nguyên không chia hết cho p, ta đặt |x|
p
= p
−γ
. Dễ
thấy rằng chuẩn p-adic |·|
p
cảm sinh một metric tự nhiên ρ(x, y) = |x−y|
p
trên trường các số hữu tỷ Q. Ta có không gian metric (Q, ρ) là không
đủ. Thật vậy, dãy số {x
n
} xác định bởi x
n
=

∈ {0, 1, , p − 1}.
(b) Nếu số p-adic x có biểu diễn (1.3) thì |x|
p
= p
−γ
. Chuẩn | · |
p
thỏa
mãn các tính chất sau đây:
(i) |x|
p
≥ 0 với mọi x ∈ Q
p
và |x|
p
= 0 ⇔ x = 0;
(ii) |xy|
p
= |x|
p
|y|
p
với mọi x, y ∈ Q
p
;
(iii) |x + y|
p
≤ max(|x|
p
, |y|

2
p
2
+···). Phép cộng hai phần tử x và y
xác định bởi x+y = p
γ(x+y)
(a
0
+a
1
p+a
2
p
2
+···), trong đó γ(x+y) ∈ Z,
các a
j
∈ {0, 1, , p − 1}, a
0
= 0 được xác định bằng phương pháp hệ số
bất định lấy theo modulo p. Phép nhân trên Q
p
được định nghĩa tương
tự. Với hai phép toán cộng và nhân như vậy, Q
p
là một trường có phần
tử không, ký hiệu là 0, và có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1.
Ví dụ 1.3.2. Số −1 trong Q
p
được biểu diễn dưới dạnh chính tắc là

p
: |x − a|
p
= p
γ
}, S
γ
= S
γ
(0);
B
γ
(a) = {x ∈ Q
p
: |x − a|
p
≤ p
γ
}, B
γ
= B
γ
(0).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tính chất hình học đặc thù của
trường số p-adic.