PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I
NĂM HỌC 2013-2014.
MÔN THI: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −

b) Chứng minh B = a
5
- 5a
3
+ 4a chia hết cho 120.
c) Tìm số nguyên m để C =
2
1m m+ +
là số nguyên.
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
1 1
4
x x x+ + + = +
b)

Chứng minh rằng:
bc
aA
2
2
sin
≤
Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2
n+1
- 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n
số có tổng là một số chẵn.
Hết ./.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
TT Ý Nội dung Điểm
Bài 1
(2.5
điểm)
a
A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −
=
2( 5 3) 2(3 5)

- 4a
2
+4)
B = a[a
2
(a
2
- 1) - 4(a
2
- 1)] = a(a
2
- 1)(a
2
- 4)
B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
0.25
0.5
0.25
c
Để C =
2
1m m+ +
là số nguyên thì
2 2
1 ( )m m k k Z+ + = ∈

2 2 2 2
4 4 4 4 (2 1) 3 4m m k m k⇔ + + = ⇔ + + =
2 2
(2 ) (2 1) 3 (2 2 1)(2 2 1) 3k m k m k m− + = ⇔ + + − − =

 
3 1
1
4 2
x x⇔ + + = +
3 1
4 2
x x⇔ + = +
Với
3 1
4 2
x
− −
≤ ≤
Pt vô nghiệm; với
1
2
x
−
≥
bình phương hai vế HS
tìm được x =
2
2
0.25
0.25
0.25
b
Đk:
2x

2
1 2x x+ =

⇔
1
3
x =
0.25
0.25
Bài 3
a
Đk:
5 5x− ≤ ≤
.
*)Ta có M
2
= (
2
2 5x x+ −
)
2

2 2 2 2
(2 1 )( 5 ) 25x x≤ + + − =

⇒

2
25M ≤
⇒

2 5−
khi x
=
5−
0.5
b ĐK:
1 ; 1x y− ≤ ≤
.theo bài ra ta có
2 2 2 2
1 1 1 1x y y x x y y x− + − ≤ − + −
=
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x y y x
x y y x
+ − + −
− + − ≤ + =
Dấu bằng xảy ra khi:
2
1x y= −
và
2
1y x= −
hay x
2
= 1- y
2

.
AD
BD DC
(1)
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có
·
·
DAC DBH=
vì cùng phụ
với góc C nên ta có :
AD BD
ADC BDH
DC DH
∆ ∆ ⇒ =:
. .AD DH DB DC⇒ =
⇒
2
.
AD AD
BD DC HD
=
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
tanB.tanC =
AD
HD
.
0.5
0.25

= =
suy ra
.sin
2
A
BM c=
Tương tự
.sin
2
A
CN b=
do đó
( ).sin
2
A
BM CN b c+ = +
Mặt khác ta luôn có:
BM CN BF FC BC a
+ ≤ + = =
Nên
( ).sin
2
A
b c a+ ≤

sin
2
2 .
A a a
b c