KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ
Nếu biến ngẫu nhiên gốc không tuân theo luật phân phối chuẩn, việc xác định
khoảng tin cậy cho EX sẽ rất phức tạp và đòi hỏi các kỹ thuật hiện đại hơn. Tuy nhiên
trong trường hợp n đủ lớn, cả hai thống kê Z trong: và T trong
đều có phân phối xấp xỉ chuẩn N(0,1). Do đó các thủ tục ước lượng khoảng làm giống
như bài toán phương sai đã biết.
Ta xét một trường hợp cụ thể khi dấu hiệu X~ B(1,p) ( phân phối Béc nu li). Khi
đó nếu ta chọn ra phần tử từ tập nền (theo dạng mẫu ngẫu nhiên) thì số lần xuất hiện dấu
hiệu quan tâm cùng phân phối với X. Như vậy chính là tần số ước lượng điểm của xác
suất hay tỉ lệ . Mặt khác từ kết quả chương BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN
PHỐI XÁC SUẤT, sẽ có phân phối nhị thức B(n,p), từ đó và . Nếu ta chọn thống kê
(với là tần suất mẫu xuất hiện dấu hiệu quan tâm)
(*)
Thì khi n khá lớn
Bài toán 1 ( tìm khoảng tin cậy cho xác suất)
Dựa vào (*) ta có 2 cách đi tìm khoảng tin cậy khi n đủ lớn.
1)
Chọn , ta có
(khoảng tin cậy đối xứng). Gỉai hệ bất phương trình trên đối với p
.
Gỉai và tìm nghiệm phương trình bậc 2 ở vế trái, ta có 2 nghiệm
(**)
Và khoảng tin cậy cần tìm sẽ là (, với . Tuy nhiên việc tính toán theo (**) sẽ khá
khó khăn.
2)
Ta tìm ước lượng khoảng gần đúng theo cách khác. Để ý nếu n khá lớn, thống
kê
Với được thay bằng ước lượng điểm . Bây giờ quy trình giải bài toán này đã có thể
được áp dụng (thay bằng f, thay bằng
Từ đó:
a, Khoảng tin cậy đối xứng