Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
MỘT SỐ KINH NGHIỆM THIẾT KẾ MA TRẬN VÀ BIÊN SOẠN
ĐỀ KIỂM TRA TỰ LUẬN MÔN TOÁN BẬC THPT
THEO CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình đổi mới sự nghiệp giáo dục, cùng với việc đổi mới mục tiêu và nội dung
chương trình sách giáo khoa thì việc đổi mới Phương pháp dạy học và Kiểm tra đánh giá là giải
pháp then chốt để nâng cao chất lượng dạy học nói riêng và chất lượng giáo dục toàn diện nói
chung.
 Tham gia bất kỳ một quá trình giáo dục nào, con người cũng thụ hưởng được những biến
đổi nhất định. Muốn biết những biến đổi đó xảy ra ở mức độ nào, chúng ta cần phải đánh giá hành
vi của người đó trong một tình huống nhất định. Sự đánh giá giúp chúng ta xác định được:
- Mục tiêu giáo dục được đặt ra có phù hợp hay không và có đạt được hay không.
- Việc giảng dạy có thành công hay không, người học có tiến bộ hay không.
Một trong những công cụ hỗ trợ tích cực khi đánh giá hoạt động dạy và học là đo lường kết
quả học tập của học sinh sau khi hoàn thành xong một giai đoạn học tập thông qua hình thức tổ
chức các kỳ kiểm tra dưới dạng học sinh phải thực hiện một bài kiểm tra tự luận hay bài kiểm tra
trắc nghiệm hoặc bài kiểm tra có kết hợp cả tự luận và trắc nghiệm.
Để xây dựng một bài kiểm tra như vậy thì mục tiêu của giai đoạn học tập phải được xác định
rõ ràng về kiến thức, kỹ năng cũng như các mức độ nhận thức.
 Trong thực tế giảng dạy, mặc dù có chú trọng đến việc đổi mới Phương pháp giảng dạy
nhưng một số giáo viên còn gặp không ít khó khăn và lung túng trong việc đổi mới Phương pháp
kiểm tra đánh giá. Rất nhiều đề kiểm tra giáo viên mới chỉ dừng lại ở việc lượng giá mức độ đánh
giá theo ý tưởng chủ quan của người dạy mà chưa chú trọng nhiều đến năng lực và trình độ nhận
thức của đối tượng đánh giá. Do đó hạn chế đến tính khách quan, tính tích cực và sự phân hóa của
kết quả đánh giá dẫn đến tính hiệu quả sau đánh giá chưa cao.
II. CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC KHI THỰC HIỆN KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ
A. Nhận biết (Mức độ nhận thức 1)
A-1. Kiến thức và thông tin
Khả năng nhớ được những định nghĩa, kí hiệu, khái niệm và lí thuyết.

x
+
=
+
tại điểm có hoành độ
0
1x = −
.

1
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
 Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 1y x x= + -
.
B. Thông hiểu (Mức độ nhận thức 2)
Khả năng chuyển đổi dữ liệu từ một dạng này sang một dạng khác, khả năng giải thích hay
suy ra ý nghĩa các dữ liệu, theo đuổi và mở rộng một lập luận, giải các bài toán mà ở đó sự lựa chọn
các phép toán là cần thiết.
Mức độ nhận thức này gồm các câu hỏi để học sinh có thể sử dụng các kiến thức học được mà
không cần liên hệ với kiến thức khác, hay nhận ra các kiến thức đó qua những áp dụng của nó.
Những câu hỏi này nhằm xác định xem học sinh có nắm được ý nghĩa của kiến thức mà không đòi
hỏi học sinh phải áp dụng hay phân tích nó.
Các hành vi thể hiện việc hiểu có thể chia thành ba loại sau:
B-1. Chuyển đổi
Đây là quá trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tưởng trong sự giao tiếp thành các dạng tương ứng
khác. Học sinh được yêu cầu thay đổi từ một dạng ngôn ngữ này sang dạng khác, hay từ một dạng
kí hiệu này sang dạng khác; nhận ra hay đưa ra những ví dụ minh họa cho các định nghĩa, mệnh đề
hay nguyên tắc đã cho; khả năng biểu diễn bằng các sơ đồ dựa trên những dữ liệu đã thu được, …

- +
=
-
khi
x - ¥®
.
 Ví dụ 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
2y x x x= - - +
biết rằng tiếp
tuyến này song song với đường thẳng
2y x= − +
.
C. Vận dụng (Mức độ nhận thức 3)
Chỉ việc sử dụng các ý tưởng, quy tắc hay phương pháp chung vào những tình huống mới.
Các câu hỏi yêu cầu học sinh phải vận dụng các khái niệm quen thuộc vào các tình huống không
quen thuộc, có nghĩa là phải vận dụng kiến thức và việc hiểu các kĩ năng vào các tình huống mới
hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới. Phương pháp giải thì không được hàm ý
trong câu hỏi và khả năng tìm kiếm lời giải là khả năng phát triển các bước để giải bài toán chứ
không phải tái tạo lời giải đã được học ở lớp. Do tính không quen thuộc và bản chất có vấn đề của
tình huống được đặt ra nên quá trình tư duy liên đới là cao hơn hiểu. Điều quan trọng là những tình
huống được trình bày cho học sinh là khác với những tình huống qua đó các em nắm được ý nghĩa
của những khái niệm trừu tượng mà các em sẽ được yêu cầu áp dụng, để bảo đảm rằng bài toán
không thể giải được nếu chỉ áp dụng các phương pháp thường gặp. Dạng nhận thức này là cần thiết
vì việc hiểu một khái niệm trừu tượng không bảo đảm rằng học sinh sẽ có khả năng nhận ra sự phù
hợp và vận dụng nó một cách đúng đắn vào những tình huống thực tiễn. Khả năng vận dụng các
khái niệm và quy tắc thu được cho một bài toán mới hoặc khả năng lựa chọn một ý niệm trừu tượng

2
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-

trong một bài toán;
+ phân biệt các sự kiện từ giả thiết và khẳng định giả thiết nào có thể phải tạo nên để chứng minh
những quy tắc đó;
+ kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết đối với những giả định và thông tin đã cho.
Sau khi phân tích cẩn thận một bài toán, một học sinh có thể được yêu cầu sắp xếp các yếu tố
hoặc các phần lại với nhau để có một công thức hay quy luật mà trước đó em thấy chưa rõ ràng, ví
dụ như thiết kế một quy tắc thực nghiệm để giải một bài toán nào đó hay trình bày các kết luận với
những chứng cứ được tổ chức hợp logic. Khả năng này, nếu nó đưa đến sự sáng tạo và tính độc đáo
cho một bộ phận học sinh một cách rõ ràng nhất, được gọi là sự tổng hợp. Sáng tạo toán học đòi hỏi
học sinh phải có những khám phá độc đáo đối với bản thân mình. Ví dụ, một học sinh có thể bắt
đầu từ một số tính chất cơ bản hay biểu diễn kí hiệu khác và em rút ra được những tính chất hay
quan hệ khác, hay trong khi giải toán học sinh này đã chứng tỏ được sự khôn khéo và thông minh,
hay là sáng tạo nên những giả thiết mới, bởi vì các yếu tố trong bài toán không thể cấu trúc lại để có
dạng quen thuộc. Những quy tắc mà học sinh phải có khả năng để nhận ra và áp dụng có thể mới
thoạt đầu là không có liên quan và không xuất hiện cho đến khi có một sự phân tích thông tin và
những quan hệ nội tại của nó xảy ra.
Sau khi phân tích một vấn đề, học sinh có thể được yêu cầu đưa ra một đánh giá như là kết
quả của việc phân tích thông tin. Khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng
hay một sản phẩm và rồi đưa ra một phán xét xác đáng được gọi là đánh giá.
 Ví dụ 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, viết phương trình của mặt phẳng đi qua hai
điểm
(2; 1; 0)M -
,
(0; 1; 2)N -
và tạo với mặt phẳng
( ) : 2 4 0P x y z+ + + =
một góc
0

mức độ nhận thức của học sinh (đánh giá theo 4 mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, những
khả năng cao hơn). Trong mỗi ô là kiến thức kĩ năng (mục tiêu giáo dục) của chủ đề hay mạch kiến
thức thuộc phần chương trình cần đánh giá, số lượng câu hỏi và tổng số điểm của các câu hỏi. Ở
mỗi ô, số lượng câu hỏi cho từng mục tiêu tùy thuộc vào mức độ quan trọng của mục tiêu đó, lượng
thời gian làm bài kiểm tra và cấp độ nhận thức tương ứng.
- Các bước cơ bản thiết lập ma trận đề kiểm tra:
B
1
. Liệt kê tên các chủ đề (nội dung, chương …) cần kiểm tra;
B
2
. Viết các chuẩn cần đánh giá đối với mỗi cấp độ tư duy;
B
3
. Quyết định phân phối tỉ lệ % tổng điểm cho mỗi chủ đề (nội dung, chương …);
B
4
. Quyết định tổng số điểm của bài kiểm tra;
B
5
. Tính số điểm cho mỗi chủ đề (nội dung, chương …) tương ứng với tỉ lệ %;
B
6
. Tính số điểm và quyết định số câu hỏi cho mỗi chuẩn tương ứng;
B
7
. Tính tổng số điểm và tổng số câu hỏi cho mỗi cột;
B
8
. Tính tỉ lệ % tổng số điểm phân phối cho mỗi cột;

5) Từ ngữ, cấu trúc của câu hỏi phải rõ ràng và dễ hiểu đối với HS;
6) Mỗi phương án nhiễu phải hợp lí đối với những HS không nắm vững kiến thức;

4
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
7) Mỗi phương án sai nên xây dựng dựa trên các lỗi hay nhận thức sai lệch của HS;
8) Đáp án đúng của câu hỏi này phải độc lập với đáp án đúng của các câu hỏi khác trong một bài
kiểm tra;
9) Phần lựa chọn phải thống nhất và phù hợp với nội dung của câu dẫn;
10) Mỗi câu hỏi chỉ có một đáp án đúng và chính xác;
11) Không đưa ra phương án “Tất cả các đáp án trên đều đúng” hoặc “Không có phương án nào
đúng”; cần hạn chế sử dụng câu hỏi dạng “Phương án khác”.
◙ Bước 5. Xây dựng đáp án và biểu điểm
Việc xây dựng đáp án và biểu điểm (hướng dẫn chấm và thang điểm) đối với bài kiểm tra cần
đảm bảo các yêu cầu: nội dung khoa học và chính xác, trình bày cụ thể, chi tiết nhưng ngắn gọn, dễ
hiểu và phù hợp với ma trận đề kiểm tra.
◙ Bước 6. Xem xét lại việc biên soạn đề kiểm tra
- Đối chiếu từng câu hỏi với hướng dẫn chấm và thang điểm, phát hiện những sai sót hoặc thiếu
chính xác của đề và đáp án. Sửa các từ ngữ, nội dung nếu thấy cần thiết để đảm bảo tính khoa học
và chính xác.
- Đối chiếu từng câu hỏi với ma trận đề, xem xét các câu hỏi có phù hợp với chuẩn cần đánh giá
không? Số điểm có thích hợp không? Thời gian dự kiến có phù hợp không?
- Thử đề kiểm tra để tiếp tục điều chỉnh đề cho phù hợp với mục tiêu, Chuẩn kiến thức kỹ năng
và đối tượng học sinh (nếu có điều kiện).
- Hoàn thiện đề, hướng dẫn chấm và thang điểm.
IV.2. Thiết kế ma trận mục tiêu giáo dục và mức độ nhận thức (Ma trận nhận thức)
Ma trận nhận thức là một công cụ đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học và
kiểm tra đánh giá dựa theo Chuẩn; làm rõ ý tượng kiểm tra đánh giá, thúc đẩy đổi mới phương pháp
dạy học; đồng thời thực hiện giáo dục có chất lượng, hiệu quả cho các đối tượng học sinh thuộc

2014
+ Nếu tổng số điểm là 400, thì đó là phương án lựa chọn tốt nhất dựa theo chuẩn chọn nội dung và
mức độ cho dạy, kiểm tra đánh giá.
+ Nếu tổng số điểm là 250 = (400 + 100):2, thì đó là phương án lựa chọn trung bình dựa theo chuẩn
chọn nội dung và mức độ cho dạy, kiểm tra đánh giá.
+ Nếu tổng số điểm là 100, thì đó là phương án lựa chọn yếu kém dựa theo chuẩn chọn nội dung và
mức độ cho dạy, kiểm tra đánh giá.
IV.3. Thiết lập ma trận đề kiểm tra theo ma trận nhận thức
 Ví dụ 11. Ma trận nhận thức và ma trận đề kiểm tra Giải tích lớp 12
Chương III. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
(Thời gian làm bài 45 phút)
◙ Ma trận nhận thức
Chủ đề
cần đánh giá
Tầm quan trọng
của KTKN
Mức độ nhận
thức của KTKN
Tổng điểm
Tổng điểm theo
thang điểm 10
Nguyên hàm. 40 2 80 2,5
Tích phân. 40 4 160 5,5
Ứng dụng. 20 3 60 2,0
100% 300 10
◙ Ma trận đề dựa trên ma trận nhận thức
Chủ đề
cần đánh giá
Mức độ nhận thức – Số điểm tương ứng
Tổng điểm theo

2 80
1
1,0
1
1,5
2
2,5
Tích phân. Phương
pháp tính tích phân.
4 160
1
1,5
1
2,0
1
1,0
1
1,0
4
5,5
Ứng dụng hình học
của tích phân.
3 60
1
1,0
1
1,0
2
2,0
Tỉ lệ % và điểm 300 35% 35% 30% 10,0

điểm 10
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng & Những khả
năng cao hơn
TL TL TL
Tọa độ của điểm và
vectơ
0,9 0,9 0,7 2,5
Mặt cầu 0,9 0,9 0,7 2,5
Mặt phẳng và khoảng
cách.
1,7 1,7 1,6 5,0
Tỉ lệ % 35% 35% 30% 10
◙ Ma trận đề sau khi chỉnh sửa
Chủ đề cần đánh giá
Ma trận
nhận thức
Mức độ nhận thức.
Hình thức câu hỏi
Tổng điểm
theo thang
điểm 10
Mức độ Điểm
1 2 3 4
TL TL TL TL
Tọa độ của điểm và
vectơ.
2 72
1
1,0

Mức độ nhận thức KTKN
Số câu
hỏi và
Mức độ
nhận
thức
Điểm
Biết
1
Hiểu
2
V. dụng
3
V. dụng
4
Hàm số và đồ thị của
hàm số.
3 87
Câu I.1
2,0
Câu I.2
1,5
2
3,5
Phương trình, bất
phương trình mũ và
lôgarit.
2 24
Câu II.1
1,0

1,0
Câu IV.2
1,0
2
2,0
Số câu hỏi, số điểm
và tỷ lệ %.
241
2
(30%)
3,0
4
(45%)
4,5
2
(25%)
2,5
8
10
BẢNG MÔ TẢ TRONG MỖI Ô
I. Phần chung cho cả hai chương trình
Câu I.1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số dạng
ax b
y
cx d
+
=
+
.
Câu I.2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn

2
( ) 4 ln
2
x
f x x= -
trên đoạn
[1; 4]
.
Câu II (2 điểm).
1) Giải phương trình
1
4 2 8
x x +
- =
.
2) Tính tích phân
1
2
0
1
d
( 1)
x
I x
x
-
=
+
ò
.

Oxyz
cho hai điểm
(2; 3; 3)I
,
(0; 1; 1)E -

và mặt phẳng
( ) : 2 5 0x y z
a
+ + - =
.
1) Viết phương trình của mặt cầu
( )S
có tâm là điểm
I
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
a
.
2) Tìm tọa độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
E
trên mặt phẳng
( )
a
.
Câu Va (1 điểm). Trên mặt phẳng với trục hệ tọa độ
Oxy
, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số

Câu Vb (1 điểm). Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số
phức
z
thỏa mãn
3 2 3z z i+ = -
.
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Ý Đáp án Điểm
I
3,5 điểm
1) 2,0
Tập xác định:
\ { 2}D = -¡
.
Sự biến thiên:
2
5
0
( 2)
y
x
¢
= >
+

2x" -¹
.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

y
+
-®
= - ¥

2x = -Þ
là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:
Đồ thị của hàm số đi qua các điểm:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5

9
x
y
¢
y
- ¥
2-
+ ¥
+
+
2

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,
; ( 3 7)
,
;
9
4
2


ữ

.
2) 1,5
Hm s liờn tc trờn on
; [1 4]
v
4
( )f x x
x
Â
= -
.
Vy
2
( ) 0 4f x x

;
[1; 4]
min ( ) 2 4 ln 2
x
f x
ẻ
= -
.
0,25
0,25
0,5
0,5
II
2 im
1) 1,0
t
2
x
t =
,
0t >
Phng trỡnh tr thnh
2
2 8 0t t- - =
(nhaọn)
(loaùi).
4
2
t
t

1 2
dI u
u
u
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ
2
1
2
ln u
u
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= +
ỗ
ữ
ỗ
ữ

x
-2
2
-1/ 2
1/ 2
-3
7
-4
9/ 2
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
1
.
3
A BCD
V S SA=
.
Tính được:
2 3SA a=
,
3BC a=
,
2
3
A B CD
S a=
.
Do đó
3
2V a=

.
Đường thẳng
d
đi qua điểm
E
và vuông góc với
( )
a
nên nhận
n
ur
làm một vectơ chỉ phương.
Vậy
1 1
:
1 1 2
x y z
d
- +
= =
.
Chỉ ra:
( )H d
a
= Ç
, suy ra
; ;(1 2 1)H
.
0,25
0,25

1) 1,0
Chỉ ra tâm của
( )S
là
; ;( 0 0)I a
.
Phương trình
( )S
có dạng:
2 2 2
2 0x y z ax d+ + - + =
.
Dẫn đến:
6 2 0 1
10 6 0 4.
a d a
a d d
ì ì
ï ï
- + = =
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = = -
ï ï
î î
Phương trình mặt cầu
( )S
là:

z t
ì
ï
= +
ï
ï
ï
= - -
í
ï
ï
= -
ï
ï
î
0,25
0,25
0,25
0,25
Vb
1 điểm
Gọi
z x yi= +

( , )x y Î ¡
.
Chỉ ra:
3 ( 3)z x yi+ = + +
2 2
3 ( 3)z x y+ = + +Þ

Ma trận nhận
thức KTKN
Mức độ nhận thức KTKN
Số câu
hỏi và
Mức độ
nhận
thức
Điểm
Biết
1
Hiểu
2
V. dụng
3
V. dụng
4
Hàm số lượng giác.
Ph. trình lượng giác.
3 75
Câu I.1
1,0
Câu I.2
1,0
Câu IV
1,0
3
3,0
Đại số tổ hợp. Nhị
thức Niu-tơn và xác

2,0
9
10
BẢNG MÔ TẢ TRONG MỖI Ô
Câu I.1: Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Câu I.2: Giải phương trình quy về bậc nhất đối với sin và cosin.
Câu II.1: Tìm hệ số của số hạng chứa
k
x

*
( )k ∈ N
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức
chứa
x
.
Câu II.2: Tìm số các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước từ 6 số nguyên dương đầu tiên.
Câu II.3: Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên ra một tam giác có đỉnh là các đỉnh của một đa giác cho
trước và thỏa mãn điều kiện cho sẵn.
Câu III.1: Vẽ hình chóp; xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.
Câu III.2: Xác định hình dạng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng. Chứng minh đường thẳng
song song với mặt phẳng.
Câu III.3: Tính diện tích của thiết diện.
Câu IV: Tìm GTLN hay GTNN của một hàm số lượng giác.
B. NỘI DUNG ĐỀ KIỂM TRA
Câu I (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:
1)
( )
2
3 t an 1 2 t anx x− =

. Tính xác suất để từ tập hợp
S
có thể lấy được một tam
giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác đã cho.
Câu III (3,5 điểm). Cho hình chóp
.S A BCD
có đáy
A BCD
là hình thang với
/ /AB CD
và
3CD A B=
.
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
( )SA B
và
( )SCD
; giao tuyến của hai mặt phẳng
( )SAD
và
( )SBC
.
2) Gọi
M
là trung điểm của
BC
,
N
là trung điểm của
A D

MNEF
.
Câu IV (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
sin 2 cos 2
sin
x x
y
x
−
=
.
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
Câu I.1
1,0 điểm
Phương trình đã cho
2
3 tan 2 t an 3 0x x⇔ − − =
.
Tìm được:
t an 3x =
hoặc
3
t an
3
x = −
.
Nghiệm của phương trình là:
3

 ÷
 

2 2
3
x x k
p
p
 
⇔ = ± − +
 ÷
 
.
Nghiệm của phương trình là:
2
3
x k
p
p
= − +
,
2
9 3
x k
p p
= +

( )k ∈ Z
.
0,25

( )P x
là
4
60x
.
Do đó hệ số cần tìm là
60
.
0,50
0,50
0,25
0,25
Câu II.2
1,0 điểm
Số cách chọn vị trí cho chữ số
2
là
4
.
Số cách chọn ba chữ số còn lại là
3
5
60A =
.
Vậy số các số tự nhiên cần tìm là
4.60 240=
.
0,25
0,50
0,25

0,25

13
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
Vậy xác suất cần tính là
77 7
165 15
p = =
.
0,25
Câu III.1
1,5 điểm
Hình vẽ đạt được:
+ Nét vẽ đúng quy ước; có
/ /A B CD
và
A B CD<
.
+ Giao tuyến của
( )SA B
và
( )SCD
; giao tuyến của
( )SAD
và
( )SBC
.
Ta thấy
/ /A B CD

suy ra
( ) ( )SAD SBC SI∩ =
.
0,50
0,5
0,5
Câu III.2
1,0 điểm
Ta có
/ /MN A B

/ / ( )MN SA B⇒
.
( ) ( )EF MNE SAB= ∩
nên
/ /EF MN
, suy ra
MNEF
là hình thang.
E
là trung điểm của
SA
và
/ /EF A B

F⇒
là trung điểm của
SC
.
Vì

,
3
2 2
SD a
EN = =
,
3 2
2 2
SC a
FM = =
.
Lấy điểm
H MN∈
sao cho
/ /FH EN
. Ta có
2 2 2
FH MH FM+ =
,
suy ra
FH MN⊥
hay
EN MN⊥
.
Diện tích của thiết diện
MNEF
là
2
1 15
( ).

1 cot 2cotx x= − +
2
2 (cot 1) 2x= − − ≤
, đẳng thức xảy ra
cot 1x
⇔ =
.
Vậy
max 2
x k
y
p
≠
=
khi
4
x k
p
p
= +
,
k ∈ Z
.
0,25
0,25
0,25
0,25
 

14

Hiểu
2
V. dụng
3
V. dụng
4
Giới hạn của dãy số.
Hàm số liên tục.
3 90
Câu I.1
Câu I.2
1,5
Câu I.3
1,0
Câu III
1,0
4
3,5
Đạo hàm. Ý nghĩa
hình học của đạo
hàm.
2 80
Câu II.1
1,0
Câu II.2
2,0
2
3,0
Quan hệ vuông góc.
Góc và khoảng cách. 4 100

.
Câu II.1: Tính giá trị của biểu thức liên quan đến hàm số và đạo hàm của hàm số.
Câu II.2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức có hệ số góc cho trước.
Câu II.3: Tính xác suất để lấy ngẫu nhiên ra một tam giác có đỉnh là các đỉnh của một đa giác cho
trước và thỏa mãn điều kiện cho sẵn.
Câu III: Sử dụng tính chất của hàm số liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm.
Câu IV.1: Vẽ hình chóp; xác định quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Câu IV.2: Tính diện tích của thiết diện.
Câu IV.3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
B. NỘI DUNG ĐỀ KIỂM TRA
Câu I (2,5 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1)
2
2
2
4
lim
2
x
x
x x
→
−
−
; 2)
1
2 3
lim
1
x

A f f
p
p
 
′
= −
 ÷
 
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
2 1y x x x= − + +
, biết hệ số góc của
tiếp tuyến là
1k =
.
Câu III (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số thực
m
, thì phương trình
2 2013 2012
( 1)( 1) ( 1) 4 3 0m x m x x− + − + + + =

15
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
luôn có ít nhất một nghiệm âm.
Câu IV (3,5 điểm). Cho hình chóp
.S A BC

và
A C
. Mặt phẳng
( )P
qua
MN
và song song với
SA
cắt các
cạnh bên
SC
,
SB
lần lượt tại
E
và
F
.
1) Chứng minh:
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )A BC
và
·
0
60SIA =
;
2) Chứng minh rằng
MNEF
là hình chữ nhật. Tính diện tích của thiết diện

( 2)( 2)
lim
( 2)
x
x x
x x
→
− +
=
−
2
2
lim
x
x
x
→
+
=

2=
.
0,25
0,5
Câu I.2
0,75
điểm
Ta thấy:
1
lim(2 3) 1

0,5
0,25
Câu I.3
1,0 điểm
(
)
2
lim 3
x
x x x
→−∞
+ +

2
3
lim
3
x
x
x x x
→−∞
=
+ −
3
lim
3
1 1
x
x
x

( )
x x x
f x
x
−
′
=
Tính được:
2
2
f
p
p
 
= −
 ÷
 
,
3
( )f
p
p
′
= −
.
Suy ra
1
A
p
=

= − +
.
Vậy
2
0 0 0
( ) 1 3 4 0y x x x
′
= ⇔ − =

0
0x⇔ =
hoặc
0
4
3
x =
.
+ Với
0 0
0 1x y= ⇒ =
, ta được tiếp tuyến
1y x= +
.
+ Với
0
4
3
x =
0
31

( 1) 1f − = −
,
2
(0) 2f m m= − +
.
Vậy
2
1 7
( 1). (0) 0
2 4
f f m
 
− = − − − <
 ÷
 

m∀ ∈ R
.
Vậy phương trình
( ) 0f x =
luôn có nghiệm
;
0
( 1 0)x ∈ −
, suy ra phương
trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm âm.
0,25
0,25
0,25
Câu IV.1

0,25
0,5
0,25
0,25
Câu IV.2
1,5 điểm
Vì
( ) / /P SA
nên
/ /MF SA
và
/ /NE SA

/ /MF NE⇒
.
Mà
( )SA A BC⊥
, nên ta có
( )MF ABC⊥
MF MN⇒ ⊥
.
Vậy
MNEF
là hình chữ nhật.
Ta có
A I MN a= =
,
0
. t an 60 3SA AI a= =
,

.
Vì
A I BC⊥
nên
BD A D⊥

( )BD SA D⇒ ⊥
.
Kẻ
A H SD⊥
( )H SD∈
, ta có
( )A H SBD⊥
.
Vì
2 2 2 2
1 1 1 4
3A H A D SA a
= + =
, nên
3
2
a
A H =
Vậy
,
3
( )
2
a

Số câu
hỏi và
Mức độ
nhận
thức
Điểm
Biết
1
Hiểu
2
V. dụng
3
V. dụng
4
Hàm số bậc hai.
Phương trình quy về
bậc nhất, bậc hai.
3 90
Câu 1.a
1,5
Câu 3.a
1,0
Câu 1.b
1,0
3
3,5
Hệ phương trình bậc
nhất, bậc hai với hai
ẩn số.
2 70

2,0
9
10
BẢNG MÔ TẢ TRONG MỖI Ô
Câu 1.a: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai.
Câu 1.b: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho
trước.
Câu 2.a: Tìm nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số.
Câu 2.b: Tìm GTLN hay GTNN của biểu thức liên quan đến nghiệm vừa tìm của hệ.
Câu 3.a: Giải phương trình có ẩn số nằm dưới dấu căn bậc hai bằng phép biến đổi tương đương.
Câu 3.b: Giải hệ phương trình bậc hai với hai ẩn số ở dạng quen thuộc.
Câu 4.a: Sử dụng kiến thức về vec-tơ để tìm tọa độ của điểm trên hệ trục tọa độ.
Câu 4.b: Sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tìm điểm.
Câu 5: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng để tính độ dài cạnh của một tam giác.
B. NỘI DUNG ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số
2
2 3y x x= − −
.
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm các giá trị của tham số
b
để đường thẳng
y b=
cắt đồ thị
( )C
tại hai điểm
A

;
0 0
( )x y
của hệ phương trình (1) theo
m
.
b) Với nghiệm
;
0 0
( )x y
vừa tìm được ở phần a), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
0 0 0
2S x y x= − −
.
Câu 3 (2,5 điểm). Giải phương trình và hệ phương trình:
a)
2
2 3 1 1x x x+ + − =
; b)
2 2
8 21
5.
x y xy
x y xy

+ + =


+ + =

H
.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác
A BC
có
·
0
120BA C =
, độ dài các cạnh
A B a=
và
2 3BC a=
.
Tính
cosC
và độ dài cạnh
A C
của tam giác.
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1.a)
1,5 điểm
Tập xác định:
D = R
.
Trục đối xứng
1x =
.
Hàm số nghịch biến trên khoảng
; ( 1)−∞

Đường thẳng cắt đồ thị
( )C
tại hai điểm
, A B
khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
4 0b
′
⇔ ∆ = + >
4b
⇔ > −
.
(Học sinh có thể vẽ đường thẳng
y b=
và sử dụng đồ thị để chỉ ra
4b > −
).
Khi đó:
. ( 3)
A B
x x b= − +
và
A B
y y b= =
.
Vậy
OA OB⊥
khi
. 0OA OB =
uuur uuur

D = = −
, 2 1 2
4 3
3
x
m
D m
m
+
= = +
, 1 2 1
3 2
2
y
m
D m
m
+
= = − −
.
Vậy với mọi
m ∈ R
, hệ phương trình (1) có nghiệm
0

0,25
0,25

19
x
y

1
O
x
y
1
-1
2
3
-3
-4
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
Vậy
max 6
m
S
∈
=
R
khi



− + =

hoaëc
1
2
1
2
3
x
x x

≤


⇔


= =


1
3
x⇔ =
.
0,5
0,5
3.b)
1,5 điểm

=


Suy ra
, x y
là các nghiệm của phương trình
2
3 2 0t t− + =
1t⇔ =
;
2t =
.
Nghiệm của hệ phương trình là:
; (1 2)
hoặc
; (2 1)
.
0,25
0,5
0,25
0,5
4.a)
1,0 điểm
;(5 1)MN = −
uuuur
,
; (1 1)ME =
uuuur
.
Vì

4.
F
F
x
y

= −

⇔

=



Điểm cần tìm là
; ( 3 4)F −
.
0,25
0,25
0,25
0,25
4.b)
1,5 điểm
Giả sử
; ( )
H H
H x y

⇒
; ( 6 1)

1 1
H H
x y− −
⇔ =
1 0
H H
x y⇔ − + =
.
Vậy ta có hệ
7 0
1 0
H H
H H
x y
x y

+ − =


+ + =



3
4.
H
H
x
y


Vì
C
là góc nhọn, nên suy ra
2
15
cos 1 sin
4
C C= − =
.
Theo định lí Cô-sin, ta có:
2 2 2 0
12 2 . . cos120a a A C a A C= + −
2 2
. 11 0A C a A C a⇔ + − =
Vậy
3 5
2
a a
A C
− +
=
.
0,25
0,25
0,25
0,25
 

20
A

bậc nhất, bậc hai.
4 120
Câu 1.a
1,50
Câu 1.b
1,50
Câu 5
1,0
3
4,00
Giá trị lượng giác
của góc (cung). Công
thức lượng giác.
2 64
Câu 2.a
1,50
Câu 2.b
1,00
2
2,50
Đường thẳng và
đường tròn trên hệ
trục tọa độ.
3 76
Câu 3.a
1,00
Câu 3.b
1,50
Câu 4
1,00

Câu 3.a: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn.
Câu 3.b: Viết phương trình của đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và cắt
đường tròn đã cho theo một dây cung có độ dài cho trước.
Câu 4: Tìm tọa độ đỉnh của một tam giác thỏa mãn điều kiện cho trước.
Câu 5: Giải bất phương trình chứa hai căn bậc hai nhờ phép biến đổi đưa về tích của một biểu
thức dương (hoặc âm) với một nhị thức.
B. NỘI DUNG ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1 (3,0 điểm). Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3
0
1
x
x
x
−
+ ≥
−
; b)
2
2 2x x x+ < +
.
Câu 2 (2,5 điểm).
a) Cho biết
4
sin
5
a
= −

.
Câu 3 (2,5 điểm). Trên mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
( )C
có phương trình
2 2
( 2) ( 1) 18x y− + + =
.

21
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
a) Chứng tỏ rằng điểm
; ( 1 2)M −
nằm trên đường tròn
( )C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường tròn
( )C
, biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm
M
.
b)Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
∆
song song với đường thẳng
: 3 0d x y+ + =

biết rằng
∆

; (3 2)C −
và đỉnh
B
thuộc đường
thẳng
: 2 0x y∆ + =
. Tìm tọa độ đỉnh
A
của tam giác.
Câu 5 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
2
2 1 2 2x x x− ≥ + −
.
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1a)
(1,5 điểm)
Đưa về
2
2 3
0
1
x x
x
− −
≥
−
(1).
Tìm được nghiệm của tam thức và nhị thức:
, ,

hoaëc
3
1
2
x x⇔ ≤ − ≥
.
Ta nhận được
3
2
x ≥
.
+ Nếu
1x <
, (1) trở thành
2
2 3 0x x− − ≤

3
1
2
x⇔ − ≤ ≤
.
Ta nhận được
1 1x− ≤ <
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là:
1 1x− ≤ <
hoặc
3
2

+ ≥


+ < +



2
2
3 4 0
x
x x

≥ −

⇔

− − <



2
1 4
x
x

≥ −

⇔


0,25
0,25

22
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
Ta thấy
2
2 2 0x x x+ − + =

2 2
2 0
( 2) 2
x
x x x

+ ≥

⇔

+ = +



2
2
3 4 0
x
x x


cos 1 sin
25
a a
= − =
và
3
2
p
p a
< <
, nên
3
cos
5
a
= −
.
Vì
sin 4
t an
cos 3
a
a
a
= =
, nên
2
2 t an 24
t an 2
7

< <
, nên
2 5
sin
2 5
a
=
.
0,5
0,5
0,5
2b)
(1,0 điểm)
VT
cos . sin cos 3 . sin
15 15 5 15
x x x x
p p p p
       
= + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

1 2 1 4 2
sin 2 sin 4 sin 2
2 15 2 15 15
x x x
p p p
 
     

.
Vậy
; (3 3)MI = −
uuur
là một vec-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến đi qua
M
.
Phương trình của tiếp tuyến là
3( 1) 3(y 2) 0x + − − =

3 0x y⇔ − + =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
3b)
(1,5 điểm)
Vì
/ / d∆
nên
: 0x y m∆ + + =
,
3m ≠
.
Gọi
E
là trung điểm của
A B
, ta có

Do đó đường thẳng cần tìm là
: 5 0x y∆ + − =
.
(Nếu HS không loại đường thẳng trùng với đường thẳng d thì chỉ cho
1,25 điểm của câu này).
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
4.
(1,0 điểm)
Đường cao
A H
có một vec-tơ chỉ phương là
; (1 3)a =
ur
, nên đường
thẳng
( )BC
nhận
; (1 3)a =
ur
làm một vec-tơ pháp tuyến. Do đó
( )BC

có phương trình là
( 3) 3( 2) 0x y− + + =

3 3 0x y⇔ + + =

+ + =


suy ra
; (6 3)B −
.
Vì
A A H∈
nên
; ( 5 3 )A t t− +
.
Vậy
CA CB=

2 2
( 3) (3 3) 10t t⇔ − + − =
2
10 24 8 0t t⇔ − + =

2t⇔ =
hoặc
2
5
t =
.
Do đó
; (2 1)A
hoặc
;
2 19

( 1)( 3)
2 1 1
x
x x
x
−
⇔ ≥ − +
− +
2
( 1) 3 0
2 1 1
x x
x
 
⇔ − + − ≤
 ÷
− +
 
(*)
Vì
1
2
x ≥
, nên
7
3
2
x + ≥
và
2

2
x≤ ≤
.
Cách khác.
Đặt
, 2 1 0t x t= − ≥

2
1
2
t
x
+
⇒ =
.
Bất phương trình đã cho trở thành
4 2
6 4 3 0t t t+ − − ≤
3 2
( 1)( 7 3) 0t t t t⇔ − + + + ≤
(**).
Vì
3 2
7 3 0t t t+ + + >

0t∀ ≥
, nên (**)
1t
⇔ ≤
.

 
 Đối với bài kiểm tra 45 phút, vì thời lượng thực hành ít nên việc phân chia mức độ nhận thức 3
và 4 riêng rẽ là thực sự không cần thiết mà nên ghép chung hai mức độ này lại trong cột vận dụng.
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
CHƯƠNG II & GIỮA CHƯƠNG III. ĐẠI SỐ 10
Chương trình Chuẩn và Nâng cao
(Thời gian làm bài 45 phút)
A. MA TRẬN ĐỀ

24
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề KTTL môn Toán Năm học 2013-
2014
CÁC MỨC ĐỘ ĐÁNH GIÁ
TỔNG
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng
Hàm số và tính chất. Hàm
số nhất, bậc hai.
Câu 1b, 2a
2,5
Câu 1a
1,5
Câu 5
1,0
4
5,0
Phương trình quy về bậc
nhất, bậc hai một ẩn.
Câu 3a
1,5
Câu 3b, 2b

( )
1
x x
f x
x
+ − −
=
−
.
a) Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )f x
.
b) Chứng minh rằng
( )f x
là hàm số lẻ trên
D
.
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
2
2 3y x x= + −
.
b) Tìm các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
( )d

1 5x x+ + =
.
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số
1
2
y
x x
=
− +
.
C. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1a.
1,5 điểm
Hàm số xác định
2
3 0
3 0
1 0.
x
x
x

+ ≥

⇔ − ≥


− ≠
