Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất
nước và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin,
ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách
mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao
động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ
luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy
nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc.
Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện
trong các Nghị quyết hội nghị như: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH
trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo
dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ,
sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp
phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước.
Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II
BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới
phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp
tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và
thời gian tự học, tự nghiên cứu".
Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, , bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học
tập cho học sinh".
1
Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện
trong quá trình dạy học là phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
1.2. Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin
học được dạy tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như

vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung
phương trình.
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển
tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội
dung lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải
cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11.
1.5. Nội dung phương trình là nội dung quan trọng và khó ở chương
trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán,
nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có
thể chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển tư
duy thuật giải cho học sinh.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển tư
duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một
số nội dung phương trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển
tư duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình nhằm
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy
học nội dung phương trình, bất phương trình nói riêng, giáo viên thực hiện
theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải thì sẽ góp
phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông.
3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu
hỏi khoa học sau:
4.1. Tư duy thuật giải là gì và vì sao nó cần được phát triển ở học sinh
trong môn Toán?
4.2. Tiến hành phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong môn toán

xây dựng được thuật giải.
6.5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
trung học phổ thông.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 3
chương.
Chương 1. Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho
học sinh phổ thông.
1.1. Cơ sở lý luận.
1.2. Khái niệm thuật toán.
1.3. Khái niệm tư duy thuật giải.
1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán.
Chương 2. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật
giải cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phương trình.
2.1. Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải.
2.2. Một số định hướng phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy học
nội dung phương trình.
2.3. Hướng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng
phương trình.
5
Chương 1
Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt
động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn
học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa
thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều
phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình.

sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng.
Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một
yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi
quy trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta
cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho
tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh.
Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi
trường.
Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học.
Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi
7
sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng
thời phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình.
Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình
huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát
triển tư duy thuật giải cho học sinh.
1.2. Khái niệm thuật toán
Khái niệm tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán.
Do đó trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái
niệm thuật toán.
1.2.1. Nghiên cứu khái niệm thuật toán
a. Khái niệm bài toán
Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn
máy tính thực hiện. Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải
phương trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ về bài
toán.
Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào
máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu
một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối
quan hệ giữa Input và Output.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.
+ Xác định bài toán.
+ Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a
1
, a
2
, a
n
.
+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.
* ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a
1
.
- Lần lượt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng a
i
với
giá trị Max, nếu a
i
> Max thì Max nhận giá trị mới là a
i
.
* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách
liệt kê như sau:
Bước 1: Nhập N và dãy a
1
, a
2
, ,a
n
.

> Max nên sau khi so sánh hết N số hạng
của dãy thì Max là giá trị lớn nhất.
Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n.
- Xác định bài toán:
+ Input: N là số nguyên dương lẻ.
+ Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n.
* Thuật toán tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến N như sau:
Bước 1: Hỏi giá trị của N.
Bước 2: S: = 0
Bước 3: i = 1.
Bước 4: Nếu i = N+1 thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5.
Bước 5: Cộng thêm i vào S.
Bước 6: Cộng thêm 2 vào i.
10
Bước 7: Quay lại bước 4.
Bước 8: Tổng cần tìm chính là S.
Ta chú ý đến bước 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i
vượt quá N. Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1"
không phải lúc nào cũng đạt được. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bước i
lại được tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1
là số lẻ nên sau một số bước nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là
số lẻ thì N + 1 là số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi
chăng nữa, i vẫn khác N + 1. Trong trường hợp đó, thuật toán trên bị quẩn
(hay vi phạm tính dừng).
Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt
tới nhất. Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn
lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt
được. Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp
số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có
khả năng đưa ra lời giải đúng.

bằng Delta đảm bảo được tính chất này vì nó luôn luôn giải được với mọi giá
trị số thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo
được tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán
cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi.
Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
1. Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c.
2. Nếu a = 0 thì:
2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo.
2.2. Kết thúc thuật toán.
3. Nếu a
≠
0 thì:
3.1. Tính giá trị ∆ = b
2
- 4ac
3.2. Nếu ∆ > 0 thì:
12
3.2.1. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức:
a
b
x

những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",
và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương
đương,
Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng
phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho
người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có
phương pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
2. Dùng lưu đồ - sơ đồ khối.
3. Dùng ngôn ngữ phỏng trình.
4. Dùng ngôn ngữ lập trình.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
13
Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học, người ta sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để
liệt kê các bước của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều được viết dưới
dạng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Phương pháp biểu diễn này
không yêu cầu người viết thuật toán cũng như người đọc thuật toán phải nắm
các quy tắc. Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện rõ
cấu trúc thuật toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho người đọc. Ta
xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0 (với giả thiết abc
≠
0)
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0.
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bước 3.

Lưu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật
toán. Biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự
phân cấp các trường hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phương pháp lưu
đồ thường được dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi
được quá trình xử lý.
Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao
tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động.
* Thao tác lựa chọn.
Thao tác lựa chọn được biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa
biểu thức điều kiện:
* Thao tác xử lý được biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong
chứa nội dung xử lý.
a =
b
∆ = 0
15
* Đường đi.
Trong ngôn ngữ lưu đồ, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể
đặt các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp để hiện trình
tự thực hiện các thao tác.

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực
hiện.
Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều
kiện đúng, một hướng ứng với điều kiện sai.
* Điểm cuối.
Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán, được biểu diễn
như sau:
Tăng i lên
Chọn 1 hộp bất kỳ

Kết thúc
S
S
Đ Đ
∆ = b
2
- 4ac
a
b
x
2
2,1
∆±
=
18
Lưu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh
khi phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một phương pháp khác để biểu
diễn thuật toán khắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.
3. Ngôn ngữ phỏng trình
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường
hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải
dùng một không gian rất lớn. Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ
nhánh (lựa chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn
có các lặp.
Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự
vay mượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C,
C++, ) để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với
mọi người, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào
những quy ước chi tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ
cho máy tính điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.

4. Ngôn ngữ lập trình.
Có nhiều ngôn ngữ lập trình như Pascal, Basic, C, C++, Sau đây là
ví dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phương
trình bậc hai:
Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phương trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0, (a
≠
0)
Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím.
Outpt: Đưa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo “Phương
trình vô nghiệm”.
Thuật toán: Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập
trình Pascal.
Program Giai-pt bậc hai;
Uses Crt;
Var a , b, c : real;
∆, x
1
, x
2
: real;
Begin
Clrscr;
Write (‘a, b, c: ’);
Readln (a, b, c) ;
∆ = b * b – 4 * a * c ;
if ∆ < 0 then Writeln (‘Phương trình vô nghiệm’)
Else

1.3. Khái niệm tư duy thuật giải
1.3.1. Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, người ta
đã đưa ra nhận xét sau:
+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn chưa tìm ra một cách giải theo
kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không.
+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhưng không chấp nhận
được vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật
toán đó khó đáp ứng.
+ Có những bài toán được giải theo những cách giải vi phạm thuật
toán nhưng vẫn chấp nhận được.
21
Từ những nhận định trên, người ta thấy rằng cần phải có những đổi
mới cho khái niệm thuật toán. Người ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật
toán: tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với
thuật toán được thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng
của thuật toán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là
cách giải gần đúng. Trong thực tế, có nhiều trường hợp người ta chấp nhận
các cách giải thường cho kết quả tốt (nhưng không phải lúc nào cũng tốt)
nhưng ít phức tạp và hiệu quả. Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật
toán tối ưu đòi hỏi máy tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có
thể chấp nhận một giải pháp gần tối ưu mà chỉ cần máy tính chạy trong vài
ngày hoặc vài giờ.
Các cách giải chấp nhận được nhưng không hoàn toàn đáp ứng đầy
đủ các tiêu chuẩn của thuật toán thường được gọi là các thuật giải. Khái
niệm mở rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm
kiếm phương pháp để giải quyết các bài toán được đặt ra. Ngoài việc mở
rộng tính đúng của thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật
toán. Nó cũng có các hình thức biểu diễn phong phú như thuật toán. Tuy
nhiên, đối với một cơ cấu nhất định chỉ tương ứng với một hình thức biểu

: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán.
Trong đó, (T
1
) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T
2
- T
5
) thể hiện
năng lực xây dựng thuật giải.
Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù
hợp với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong
[38] tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải
bao gồm:
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất
ngôn ngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải.
- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải.
- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng
dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông.
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp
phần hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh.
Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy
thuật giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển
các hoạt động tư duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm
vững, củng cố các quy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.
23
Sau đây là một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn toán khi
dạy nội dung phương trình ở trường phổ thông.
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển tư duy thuật giải khi dạy nội
dung phương trình


∆+−
=
∆−−
=
a
b
x
a
b
x
2
2
2
1

Bước 4: Trả lời.
Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T
2
) và (T
4
)
của tư duy thuật giải cho học sinh.
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau.
Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các
phương trình sau:
a. 2x
2
- 3x + 5 = 0
b. - 4x

Bước 1. Tính sin
2
x, cos
2
x theo cos2x.
2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
,
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
và sinxcosx theo sin2x.
sinxcosx=
x2sin
2
1
Bước 2. Biến đổi đưa phương trình về phương trình bậc nhất đối với
sin 2x và cos2x dạng: Asin2x + Bcos2x = C
Bước 3. Giải phương trình: Asin2x + Bcos2x = C