Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phơng pháp
dạy học toán, khoa Toán, trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến
đóng góp quý báu trong quá trình su tầm t liệu, soạn thảo đề cơng và hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động
viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Chu Trọng
Thanh, ngời đã trực tiếp hớng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm
luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình.
Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007
Tác giả
Chu Hơng Ly
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc và
bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo
dục và đào tạo phải đổi mới phơng pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào
tạo những con ngời có đầy đủ phẩm chất của ngời lao động trong nền sản xuất
tự động hóa nh: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức,
tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối u khi giải
quyết công việc.
Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc thể hiện trong các
Nghị quyết hội nghị nh: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải h-
ớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục
tiêu lớn của đất nớc.
Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH
những phẩm chất trí tuệ (nh : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).
* T duy thuật giải giúp học sinh hình dung đợc quá trình tự động hóa
diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con ngời, trong đó có lĩnh vực xử
lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp
phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trờng và xã hội.
1.4. Phát triển t duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt
và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển t duy thuật giải, thế nhng,
t duy thuật giải cha đợc chú ý phát triển đúng mức ở nhà trờng phổ thông. Đã
có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có
thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dơng Vơng Minh: "Phát triển t duy thuật giải
của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trờng phổ thông" (1998).
Luận án này đã xem xét việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh trong khi
3
dạy các hệ thống số chứ cha đi sâu vào việc phát triển t duy thuật giải cho học
sinh trong khi dạy học nội dung phơng trình.
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển t
duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung
lợng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh
trong khi dạy nội dung lợng giác 11.
1.5. Nội dung phơng trình là nội dung quan trọng và khó ở chơng trình
toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều
quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể
chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển t duy thuật
giải cho học sinh.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển t duy
thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội
dung phơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển t
duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phơng trình nhằm góp
sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phơng trình nói
riêng.
* Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm
và đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm t duy thuật giải
và vai trò vị trí của việc phát triển t duy thuật giải trong dạy học toán.
6.2. Xây dựng đợc các quy trình dạy học theo hớng phát triển t duy
thuật giải cho học sinh.
6.3. Xác định đợc một số định hớng s phạm phát triển t duy thuật giải
cho học sinh.
5
6.4. Khai thác đợc một số dạng phơng trình có thể giúp học sinh xây
dựng đợc thuật giải.
6.5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
trung học phổ thông.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 3
chơng.
Chơng 1. T duy thuật giải và vấn đề phát triển t duy thuật giải cho học
sinh phổ thông.
1.1. Cơ sở lý luận.
1.2. Khái niệm thuật toán.
1.3. Khái niệm t duy thuật giải.
1.4. Vấn đề phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán.
Chơng 2. Một số định hớng s phạm góp phần phát triển t duy thuật giải
cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phơng trình.
2.1. Các nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải.
2.2. Một số định hớng phát triển t duy thuật giải thông qua dạy học nội
dung phơng trình.
ơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
* Hớng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.
7
* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phơng pháp, nh phơng
tiện và kết quả của hoạt động.
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.
1.1.2. Một số quan điểm khác
Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên
cứu nhng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến
tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với
quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự
thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trờng sản sinh ra
những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng.
Một tình huống thờng liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu
tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy
trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn
thảo ra tình huống tơng ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó
một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến
hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tơng tác với môi trờng.
Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của ngời học. Do
đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự
thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo đợc kiến thức, đồng thời phát
triển đợc trí tuệ và nhân cách của mình.
Nh vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống
và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phơng pháp dạy học phát triển t
duy thuật giải cho học sinh.
1.2. Khái niệm thuật toán
Khái niệm t duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do
đó trớc khi đa ra khái niệm t duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật
toán.
b. Khái niệm thuật toán
Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trớc và Output cần tìm. Vấn
đề là làm thế nào để tìm ra Output.
Việc chỉ ra tờng minh một cách tìm Output của bài toán đợc gọi là một
thuật toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật
toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán nh sau:
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác đợc
sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,
từ Input của bài toán, ta nhận đợc Output cần tìm.
9
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.
+ Xác định bài toán.
+ Input: Số nguyên dơng N và dãy N số nguyên a
1
, a
2
, ...a
n
.
+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.
* ý tởng: - Khởi tạo giá trị Max = a
1
.
- Lần lợt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng a
i
với giá
trị Max, nếu a
i
> Max thì Max nhận giá trị mới là a
i
* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bớc của thuật toán đợc mặc định
là tuần tự nên sau bớc 1 là bớc 2, sau bớc 2 là bớc 3. Kết quả các bớc so sánh
trong bớc 3 và bớc 4 đều xác định duy nhất bớc tiếp theo cần thực hiện.
10
* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số
và thực hiện Max: = a
i
nếu a
i
> Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy
thì Max là giá trị lớn nhất.
Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dơng lẻ trong khoảng từ 1 đến n.
- Xác định bài toán:
+ Input: N là số nguyên dơng lẻ.
+ Output: Tổng các số nguyên dơng lẻ từ 1 đến n.
* Thuật toán tính tổng các số nguyên dơng lẻ từ 1 đến N nh sau:
Bớc 1: Hỏi giá trị của N.
Bớc 2: S: = 0
Bớc 3: i = 1.
Bớc 4: Nếu i = N+1 thì sang bớc 8, ngợc lại sang bớc 5.
Bớc 5: Cộng thêm i vào S.
Bớc 6: Cộng thêm 2 vào i.
Bớc 7: Quay lại bớc 4.
Bớc 8: Tổng cần tìm chính là S.
Ta chú ý đến bớc 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i
vợt quá N. Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1" không
phải lúc nào cũng đạt đợc. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bớc i lại đợc tăng
thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số lẻ nên sau
một số bớc nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là số lẻ thì N + 1 là số
chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bớc đi chăng nữa, i vẫn khác N + 1.
cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phơng pháp để đánh
giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn
đợc dùng rộng rãi.
3. Tính tổng quát
Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng đợc cho mọi tr-
ờng hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng đợc cho một số trờng hợp
riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn thuật toán giải phơng trình bậc hai sau đây bằng
Delta đảm bảo đợc tính chất này vì nó luôn luôn giải đợc với mọi giá trị số
12
thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo đợc
tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc ngời ta chỉ xây dựng thuật toán cho một
dạng đặc trng của bài toán mà thôi.
Ví dụ: Thuật toán giải phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
0)
1. Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c.
2. Nếu a = 0 thì:
2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo.
2.2. Kết thúc thuật toán.
3. Nếu a
0 thì:
3.1. Tính giá trị = b
2
- 4ac
3.2. Nếu > 0 thì:
3.2.1. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
3.3.3. Kết thúc thuật toán.
3.4. Nếu < 0 thì:
3.4.1. Phơng trình vô nghiệm.
3.4.2. Kết thúc thuật toán.
1.2.3. Các phơng pháp biểu diễn thuật toán
Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thờng dùng
những ngôn ngữ toán học nh: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",... và
sử dụng các phép suy luận toán học nh phép kéo theo, phép tơng đơng,...
Thuật toán là một phơng pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng
phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho
13
ngời khác hay chuyển thuật toán thành chơng trình máy tính, ta phải có phơng
pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phơng pháp biểu diễn thuật toán.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
2. Dùng lu đồ - sơ đồ khối.
3. Dùng ngôn ngữ phỏng trình.
4. Dùng ngôn ngữ lập trình.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học, ngời ta sử dụng ngôn ngữ thờng ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê
các bớc của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều đợc viết dới dạng ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Phơng pháp biểu diễn này không yêu cầu ngời
viết thuật toán cũng nh ngời đọc thuật toán phải nắm các quy tắc. Tuy vậy,
cách biểu diễn này thờng dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật toán, đôi
lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho ngời đọc. Ta xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0 (với giả thiết abc
Bớc 12. Kết luận: phơng trình có nghiệm kép âm.
Chuyển sang bớc 14.
Bớc 13: Kết luận: phơng trình vô nghiệm.
Bớc 14: Kết thúc.
2. Lu đồ - Sơ đồ khối.
Lu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật
toán. Biểu diễn thuật toán bằng lu đồ sẽ giúp ngời đọc theo dõi đợc sự phân
cấp các trờng hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phơng pháp lu đồ thờng đ-
ợc dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi đợc quá trình xử
lý.
Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao
tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động.
* Thao tác lựa chọn.
Thao tác lựa chọn đợc biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa biểu
thức điều kiện:
15
* Thao tác xử lý đợc biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa
nội dung xử lý.
* Đờng đi.
Trong ngôn ngữ lu đồ, do thể hiện các bớc bằng hình vẽ và có thể đặt
các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phơng pháp để hiện trình tự thực
hiện các thao tác.
Hai bớc kế tiếp nhau đợc nối bằng một mũi tên chỉ hớng thực hiện.
Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hớng đi, một hớng ứng với điều kiện
đúng, một hớng ứng với điều kiện sai.
* Điểm cuối.
a =
b
= 0
KÕt thóc
S
S
§ §
∆ = b
2
- 4ac
a
b
x
2
2,1
∆±
=
18
Lu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhng lại rất cồng kềnh khi
phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một phơng pháp khác để biểu diễn thuật
toán khắc phục nhợc điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.
3. Ngôn ngữ phỏng trình
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trờng hợp
của thuật toán nhng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một
không gian rất lớn. Hơn nữa, lu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa
chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp.
Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vay
mợn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++,...)
để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi ngời,
dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và cha quá sa đà vào những quy ớc chi
tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử
vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.
Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phơng trình bậc hai bằng ngôn ngữ
Có nhiều ngôn ngữ lập trình nh Pascal, Basic, C, C++,.... Sau đây là ví
dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phơng trình bậc
hai:
Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phơng trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0, (a
0)
Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím.
Outpt: Đa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo Phơng trình vô
nghiệm.
Thuật toán: Thuật toán giải phơng trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập trình
Pascal.
Program Giai-pt bậc hai;
Uses Crt;
Var a , b, c : real;
, x
1
, x
2
: real;
Begin
Clrscr;
Write (a, b, c: );
Readln (a, b, c) ;
= b * b 4 * a * c ;
if < 0 then Writeln (Phơng trình vô nghiệm)
Else
Begin
1.3.1. Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, ngời ta đã
đa ra nhận xét sau:
+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn cha tìm ra một cách giải theo kiểu
thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không.
+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhng không chấp nhận đợc
vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật toán
đó khó đáp ứng.
+ Có những bài toán đợc giải theo những cách giải vi phạm thuật toán
nhng vẫn chấp nhận đợc.
Từ những nhận định trên, ngời ta thấy rằng cần phải có những đổi mới
cho khái niệm thuật toán. Ngời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán:
tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán
đợc thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật toán
không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải gần
21
đúng. Trong thực tế, có nhiều trờng hợp ngời ta chấp nhận các cách giải thờng
cho kết quả tốt (nhng không phải lúc nào cũng tốt) nhng ít phức tạp và hiệu
quả. Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối u đòi hỏi máy tính
thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thể chấp nhận một giải pháp
gần tối u mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặc vài giờ.
Các cách giải chấp nhận đợc nhng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ
các tiêu chuẩn của thuật toán thờng đợc gọi là các thuật giải. Khái niệm mở
rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phơng
pháp để giải quyết các bài toán đợc đặt ra. Ngoài việc mở rộng tính đúng của
thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán. Nó cũng có
các hình thức biểu diễn phong phú nh thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ
cấu nhất định chỉ tơng ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt
trong dạy học cần chú ý lựa chọn phơng tiện biểu diễn phù hợp với trình độ và
kiến thức hiện có của học sinh. Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và ph-
2
- T
5
) thể hiện
năng lực xây dựng thuật giải.
Khái niệm t duy thuật giải đợc xác định nh trên là hoàn toàn phù hợp với
những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong [38] tác giả
Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất
ngôn ngữ là phơng tiện biểu diễn thuật giải.
- Nắm vững các phơng pháp và các phơng tiện biểu diễn thuật giải.
- Hiểu tính chất thuật giải của các phơng pháp toán học và các ứng dụng
của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông.
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Nh vậy, phát triển t duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần
hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh.
Từ khái niệm về t duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển t duy thuật
giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các
hoạt động t duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững,
củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t duy thuật giải cho học sinh. Sau đây
là một số ví dụ về phát triển t duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội dung
phơng trình ở trờng phổ thông.
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển t duy thuật giải khi dạy nội
dung phơng trình
Ví dụ 1.
ở chơng trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải phơng
trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0, (a
a
b
x
a
b
x
2
2
2
1
Bớc 4: Trả lời.
Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T
2
) và (T
4
) của
t duy thuật giải cho học sinh.
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau.
Bài tập: áp dụng quy tắc giải phơng trình bậc hai, hãy giải các phơng
trình sau:
a. 2x
2
- 3x + 5 = 0
b. - 4x
2
+ 20x - 25 = 0
c.
064
2
2
2cos1
sin
2
x
x
=
,
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
và sinxcosx theo sin2x.
sinxcosx=
x2sin
2
1
Bớc 2. Biến đổi đa phơng trình về phơng trình bậc nhất đối với sin 2x và
cos2x dạng: Asin2x + Bcos2x = C
Bớc 3. Giải phơng trình: Asin2x + Bcos2x = C
Bài tập 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
1cos2sin
++
++
Để hình thành quy tắc giải phơng trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu
cầu học sinh giải bài tập sau:
Bài tập 1:
a. Giải các phơng trình sau:
25
Copyright: Tài liệu đại học ©