1 Các Khái niệm về vectơ
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm
đầu và điểm cuối.
• Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu
# »
AB.
• Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết
#»
x,
#»
y , . . .
Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A, B, C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm
cuối không trùng nhau?
Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A
1
, A
2
, . . . , A
2009
?
Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu
#»
0 .
2 Hai vectơ cùng phương
2.1 Giá của một vectơ
Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của m ột vectơ.
Giá của vectơ
# »
AB là đường thẳng AB.
2.2 Hai vectơ cùng phương

4.2 Hai vectơ bằng nhau
Định nghĩa 4.3. Hai vectơ
#»
a và
#»
b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu
#»
a =
#»
b nếu chúng có cùng độ dài và
cùng hướng.
 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng
# »
OA.
 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
# »
AB =
# »
DC.
 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là
trực tâm tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng
# »
AH =
# »
DC.
2. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng
# »
AI =
# »

AB +
# »
BC =
# »
AC.
5.2 Quy tắc hình bình hành
A
B
D
#»
u
#»
v
C
#»
u +
#»
v
Cho hình bình hành ABCD, ta có
# »
AB +
# »
AD =
# »
AC.
5.3 Tính chất
Với mọi vectơ
#»
a ,
#»

#»
0 +
#»
a =
#»
a .
 5.1. Tính tổng
#»
u =
# »
AB +
# »
DE +
# »
F A +
# »
CD +
# »
EF +
# »
BC.
 5.2. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng
# »
AD +
# »
BE +
# »
CF =
# »
AE +

MD.
 5.6. Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABMN, BCPQ, CARS. Chứng
minh rằng
1.
# »
MN +
# »
P Q +
# »
RS =
#»
0 .
2.
# »
MQ +
# »
P S +
# »
RN =
#»
0 .
 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho |
# »
MA +
# »
MB| = k.
 5.8. Cho các vectơ
#»
a ,
#»

Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng.
• Nếu
#»
a và
#»
b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu
#»
a = −
#»
b hay
#»
b = −
#»
a .
• Vectơ đối của
# »
AB là −
# »
AB, và −
# »
AB =
# »
BA.
• Vectơ đối của
#»
0 là
#»
0 .
7 Tính chất
Tổng của vectơ

# »
BC.
 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ
#»
a và
#»
b cho trước.
 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector
1.
# »
CO −
# »
BA;
2.
# »
CO −
# »
OD +
# »
CB;
 7.3. Cho năm điểm A, B, C, D , E. Chứng minh rằng
# »
AC +
# »
DE −
# »
DC −
# »
CE +
# »

# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE +
# »
OF =
#»
0 .
 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD +
# »
OE =
#»
0 .
 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A

B

# »
AB +
# »
AD|, |
# »
BA −
# »
BC|, |
# »
OB −
# »
DC|.
 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính |
# »
OA−
# »
CB|, |
# »
AB +
# »
DC|,
|
# »
CD −
# »
DA|.
8 Tích của một số thực với một vectơ
Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ
#»
a . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k

#»
b ;
• (k + m) ·
#»
a = k ·
#»
a + m ·
#»
a ;
• (k − m) ·
#»
a = k ·
#»
a −m ·
#»
a ;
• k(m ·
#»
a ) = (km) ·
#»
a ;
• k ·
#»
a =
#»
0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc
#»
a =
#»
0 .

GA +
# »
GB +
# »
GC = 3
# »
MG.
 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD =
#»
0 .
 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm
bất kì, ta có
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC +
# »
MD = 4
# »
MO.

0 . Chứng minh rằng với
mọi điểm O, ta có
# »
OG =
1
4
(
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC +
# »
OD).
 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ MH, MK, MI lần lượt vuông góc với các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng
# »
MA +
# »
MB +
# »
MC = 2(
# »
MH +
# »
MK +
# »
MI).
 9.9. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho


C

có trọng tâm lần lượt là G và G

. Chứng minh rằng nếu
# »
AA

+
# »
BB

+
# »
CC

=
#»
0 , thì G trùng G

.
 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DE, EF, F A. Chứng minh rằng hai tam giác P RT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Định lí 9.1. Vectơ
#»
b cùng phương với vectơ
#»
a =

1. Tìm điểm I thoả mãn 2
# »
IA + 3
# »
IB −
# »
IC =
#»
0 .
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
5
 9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
1. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh
# »
AH = 2
# »
OI.
2. Chứng minh
# »
OH =
# »
OA +
# »
OB +
# »
OC.
3. Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.
 9.15. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi
# »
IA = 2

# »
IG.
 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả 3
# »
MA + 4
# »
MB =
#»
0 và
# »
CN =
1
2
# »
BC.
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
 9.17. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho
# »
BD =
3
5
# »
BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức
10
# »
EA + 2
# »
EB + 3
# »
EC =

# »
AD = 2
# »
AI.
 9.19. Cho tam giác ABC, gọi M, N là các điểm xác định bởi
# »
MA+3
# »
MC =
#»
0 và
# »
NA+2
# »
NB +3
# »
NC =
#»
0 .
Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc {
# »
BA,
# »
BC};
# »
BM =
3
2
# »

#»
a và
#»
b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho
#»
x = m
#»
a + n
#»
b .
 9.20. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh
# »
AM =
1
3
# »
AB +
2
3
# »
AC.
 9.21. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho
# »
BD =
3
5
. Gọi E là điểm thoả
4
# »
EA + 2

4
# »
ED.
Bài toán. Cho n điểm A
1
, A
2
, . . . , A
n
và tập hợp các số thực x
1
, x
2
, . . . , x
n
sao cho x
1
+x
2
+···+x
n
= 0.
Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện
|x
1
# »
MA
1
+ x
2

1
# »
MA
1
+ x
2
# »
MA
2
+ ···+ x
n
# »
MA
n
| = |(x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
)
# »
MI|.
• Bước 2. Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính
là một hằng số xác định.
 9.22. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho |
# »
MA + 2
# »
MB| = 3.

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= 0. Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều
kiện
x
1
# »
NA
1
+ x
2
# »
NA
2
+ ···+ x
n
# »
NA
n
=
# »
NM.
Tìm tập hợp các điểm M.
• Bước 1. Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho
x
1
# »

• Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có).
 9.24. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả
# »
NM =
2
# »
NA + 3
# »
NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).
 9.25. Cho hai điểm A, B và đường tròn (O; R). Với mỗi điểm N trên (O; R) ta dựng điểm M thoả
# »
NM = 2
# »
NA + 3
# »
NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d).
7
9.4 Tìm tập hợp điểm
Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau:
• Nếu |
# »
OM| = |
#»
v | với O cố định,
#»
v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính
|
#»
v |.
• Nếu |

# »
MB + (1 + k)
# »
MC =
#»
0 (k ∈ R).
3.
# »
MA + (1 − k)
# »
MB + k
# »
MC =
#»
0 (k ∈ R).
 9.27. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1. |
# »
MA +
# »
MB| = |
# »
MB −
# »
MC|;
2. |2
# »
MA +
# »
MB| = |

1. Chứng minh rằng
# »
MD +
# »
ME +
# »
MF =
3
2
# »
MO;
2. Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF khi M chuyển động sao cho |
# »
MD +
# »
ME +
# »
MF| có giá trị
không đổi.
10 Trục toạ độ
Định nghĩa 10.1. Trục toạ độ là một đường thẳng mà trên đó ta đã chọn một điểm làm gốc và một vectơ
đơn vị.
Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ
#»
i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O;
#»
i ). Hướng
dương của trục là hướng của vectơ
#»
i . Hướng ngược lại là hướng âm.

• Trục Oy gọi là trục tung.
• Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ.
13 Toạ độ của một vectơ
13.1 Toạ độ của một vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho
# »
OM =
x
#»
i + y
#»
j . Bộ hai số thực (x; y) được gọi là toạ độ của vectơ
# »
OM, kí hiệu
# »
OM = (x; y) hay
# »
OM(x; y)
# »
OM = (x; y) ⇔
# »
OM = x
#»
i + y
#»
j .
• Toạ độ của vectơ đơn vị
#»
i là (1; 0), tức là
#»

3), thì
# »
OM =
#»
i +
#»
j .
13.2 Toạ độ của một điểm
Định nghĩa 13.1. Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ
# »
OM.
13.3 Các phép toán về vectơ
Cho các vectơ
#»
a = (a
1
; a
2
),
#»
b = (b
1
; b
2
) và số k. Ta có
1.
#»
a +
#»
b = (a

#»
a =
#»
b ⇔



a
1
= b
1
,
a
2
= b
2
.
5. Cho
#»
a =
#»
0 , vectơ
#»
b cùng phương với
#»
a khi và chỉ khi tồn tại số thực k thoả mãn



b

− x
A
; y
B
− y
A
)
13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng
Cho A(x
A
; y
A
) và B(x
B
; y
B
). Gọi I(x
I
; y
I
) là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì



x
I
=
x
A
+ x

ta có



x
I
=
x
A
+ x
B
+ x
C
3
,
y
G
=
y
A
+ y
B
+ y
C
3
.
 13.1. Cho
#»
u = (−1; 2),
#»

i và
# »
AD cùng
hướng,
#»
j và
# »
AB cùng hướng. Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo
hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm Ncủa cạnh CD.
 13.3. Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4; −1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành.
 13.4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm toạ độ các
đỉnh của tam giác ABC.
 13.5. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem
chúng cùng hướng hay ngược hướng.
1.
#»
a = (2; 3) và
#»
b = (−10; −15);
2.
#»
u = (0; 7) và
#»
v = (0; 8);
10
3.
#»
c = (3; 4) và
#»

2. Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC;
3. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0
◦
đến 180
◦
14.1 Nửa đường tròn đơn vị
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành. Ta
gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.
14.2 Định nghĩa
Với mỗi góc α (0
◦
 α  180
◦
), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

MOx = α. Giả sử
điểm M có toạ độ (x; y). Khi đó,
• tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α.
• tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α.
11
• Với x = 0, tỉ số
y
x
gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α.
tan α =
sin α
cos α
, α = 90
◦

 14.2. Tính P = tan 5
◦
· tan 10
◦
· tan 15
◦
···tan 80
◦
· tan 85
◦
.
14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.
Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau.
1) sin(180
◦
− α) = sin α;
2) cos(180
◦
− α) = −cos α;
3) tan(180
◦
− α) = −tan α với α = 90
◦
;
4) cot(180
◦
−α) = −cot α với 0
◦
< α < 180
◦

−α) · cot α − cos(180
◦
− α) · tan α ·cot(180
◦
− α) với 0
◦
< α < 90
◦
.
 14.5. Chứng minh các hệ thức sau
1. sin
2
α + cos
2
α = 1;
2. 1 + tan
2
α =
1
cos
2
α
(α = 90
◦
);
3. 1 + cot
2
α =
1
sin

4 sin
2
a + 2 cos a · sin a + 3 cos
2
a
5 + cos
2
a
.
 14.10. Biết sin x + cos x = m. Tính theo m
1. sin x ·cos x;
2. sin
4
x + cos
4
x;
3. sin
6
x + cos
6
x.
 14.11. Cho tan x + cot x = k. Tính các tổng sau theo k:
1. tan
2
x + cot
2
x;
2. tan
4
x + cot

a và
#»
b .
Góc giữa hai vectơ
#»
a và
#»
b kí hiệu là (
#»
a ,
#»
b ).
Chú ý.
• 0
◦
 (
#»
a ,
#»
b )  180
◦
.
• Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ
#»
a hoặc
#»
b là vectơ
#»
0 , thì góc giữa hai vectơ đó là tuỳ
ý.

#»
a | · |
#»
b | · cos(
#»
a ,
#»
b ).
Từ định nghĩa trên, ta suy ra
#»
a ·
#»
b = 0 ⇔
#»
a ⊥
#»
b .
 15.1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau.
13
1.
# »
AB ·
# »
AC;
# »
AC ·
# »
CB;
# »
AG ·

2 và AC =
√
3. Tính
# »
AB ·
# »
AC.
 15.4. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5. Tính
# »
AB ·
# »
AC.
15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ
Định nghĩa 15.3. Với vectơ
#»
a tuỳ ý, tích vô hướng
#»
a ·
#»
a được kí kiệu (
#»
a )
2
hay
#»
a
2
và gọi là bình phương
vô hướng của vectơ của vectơ
#»

#»
b ·
#»
a ;
2) (k
#»
a ) ·
#»
b = a · (k
#»
b ) = k(
#»
a ·
#»
b );
3) a · (
#»
b +
#»
c ) =
#»
a ·
#»
b +
#»
a ·
#»
c ;
4) a · (
#»

v ) = 30
◦
, (
#»
v ,
#»
w) = 60
◦
, (
#»
w,
#»
u ) = 120
◦
. T ính
P = (
#»
u +
#»
v +
#»
w)
2
.
 15.7. Cho các vectơ
#»
a ,
#»
b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |
#»

+ BD
2
+ 4MN
2
.
 15.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
 15.11. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
1. M A
2
+ M C
2
= MB
2
+ MD
2

# »
AC và
# »
AB ·
# »
BC;
2. Tính độ dài đườn trung tuyến AM của tam giác.
 15.13. Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý, thì MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
là một số không đổi.
 15.14. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Chứng minh rằng với M
là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn, thì các tổng sau là một số không đổi
1. M A
2
+ M B
2
+ MC
2
;
2. M A
4
+ M B
4

+ ··· + MA
2
n
có giá trị không đổi.
 15.16. Cho tam giác ABC với các trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng
# »
BC ·
# »
AD +
# »
CA ·
# »
BE +
# »
AB ·
# »
CF = 0.
 15.17. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng
# »
DA ·
# »
BC +
# »
DB ·
# »
CA +
# »
DC ·
# »
AB = 0.

k
AB
.
Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại H.
 15.19. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM
2
−BM
2
= k.
 15.20. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức AM
2
+BM
2
= k.
 15.21. Cho đoạn thẳng AB và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện
# »
MA·
# »
MB = k.
 15.22. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn hệ thức MA
2
+ MB
2
= 2MC
2
.
15
15.6 Phương tích của một điểm đối với một đường tr òn
 15.23. Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng ∆ thay đổi, luôn đi qua M, cắt
đường tròn (O; R) tại hai điểm A và B. C hứng minh rằng

P
M/(O)
=
# »
MA ·
# »
MB = MO
2
− R
2
= d
2
− R
2
.
Khi điểm M ở ngoài (O), MT là tiếp tuyến của (O) (T là tiếp điểm), thì
P
M/(O)
=
# »
MT
2
= MT
2
.
 15.24. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng
nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi
# »
MA ·
# »

2
+ y
1
y
2
;
2) |
#»
a | =

x
2
1
+ y
2
1
;
3) cos(
#»
a ,
#»
b ) =
x
1
x
2
+ y
1
y
2

N
) là
MN = |
# »
MN| =

(x
N
− x
M
)
2
+ (y
N
− y
M
)
2
.
 15.26. Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 3), C(5; −1).
• Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông.
• Tính diện tích và chu vi tam giác ABC.
• Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.
 15.27. (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−
√
3; −1). Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác OAB (O là gốc toạ độ).
Đáp số. H(
√
3; −1) và I(−

(2; 2) R
1
= 2; và C
1
(10; 10) R
1
= 10.
 15.33. Cho hình vuông ABCD với A(3; 0) và C(−4; 1). Xác định toạ độ của hai đỉnh B và D.
Đáp số. B(0; 4) và D(−1; −3).
 15.34. Cho tam giác ABC, với A(−3; 6), B(9; −10), C(−5; 4).
1. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp số. I(3; −2) và R = 10.
2. Xác định toạ độ trực tâm của tam giác ABC.
3. Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
 15.35. Xác định độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC biết A(3; −5), B(−3; 3),
C(−1; −2)
Đáp số.
14
√
3
2
.
 15.36. Xác định độ dài đường phân giác ngoài kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC biết A(3; −5), B(1; −3),
C(2; −2)
Đáp số. 4.
 15.37. Cho điểm A(7; −3) và B(23; −6). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục hoành.
Đáp số. C(−9; 0).
 15.38. Cho điểm A(5; 2) và B(−4; −7). Xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng AB và trục tung.
Đáp số. C(0; −3).
 15.39. Cho hai điểm A, B và một số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho

AB + BC + CA
2
là nửa chu vi của tam giác ABC.
16.1 Định lí côsin trong tam giác
Trong tam giác ABC, ta có
• a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A;
• b
2
= a
2
+ c
2
− 2ac cos B;
• c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab cos A.
Hệ quả
Trong tam giác ABC, ta có
• cos A =
b

b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
16.3 Công thức trung tuyến
Trong tam giác ABC, ta có
• m
2
a
=
b
2
+ c
2
2
−
a
2
4
;
• m
2
b
=
a
2
+ c
2

2
bh
b
=
1
2
ch
c
;
• S =
1
2
ab sin C =
1
2
acb sin B =
1
2
bc sin A;
• S =
abc
4R
;
• S = pr;
• S =

p(p −a)(p − b)(p −c) (công thức Hê - rông).
 16.1. (Biết hai cạnh và góc xen giữa)
Cho tam giác ABC có b = 4, c = 5 và


◦
. Tính cạnh BC, S
ABC
, m
a
, h
a
, R và r.
 16.3. (Biết một cạnh và hai góc)
Cho tam giác ABC có BC = 8,

B = 60
◦
và

C = 45
◦
. Tính các cạnh và góc còn lại. Tính S
ABC
, m
b
, h
b
,
R và r.
 16.4. (Biết ba cạnh)
Cho tam giác ABC có a =
√
6, b = 2, c = 1 +
√


B = 60
◦
. Tính độ dài
cạnh c và R, r.
Đáp số. c = 4, R =
2
√
21
3
, r =
√
3(5 −
√
7)
3
.
 16.6. Tính góc A của tam giác ABC, biết b(b
2
−a
2
) = c(c
2
− a
2
), b = c.
Đáp số.

A = 120
◦

= AC
2
+ BD
2
+ 4MN
2
.
19
 16.9. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương
của hai đường chéo.
 16.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng
1. GA
2
+ GB
2
+ GC
2
=
1
3
(a
2
+ b
2
+ c
2
).
2. với mọi điểm M , ta luôn có MA
2
+ MB

3
5
.
Hướng dẫn.
• S =
1
2
ah
a
=
1
2
bc sin A ⇒ bc =
5
4
a
• a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc cos A. Từ sin A =
3
5
⇒ cos A = ±
4
5
• Xét hai trường hợp của cos A, cùng với giả thiết suy ra được a
2


A = 45
◦
,

B = 60
◦
, h
c
= 2
√
2.
Đáp số.
2
√
3
.
 16.15. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện sin B = 2 sin A · cos C, thì
tam giác đó cân.
 16.16. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện
a
cos B
+
c
cos C
=
a
sin B · sin C
,
thì tam giác đó vuông.

) và nhận vectơ
#»
a = (a
1
; a
2
) làm một vectơ chỉ phương. Hệ phương
trình



x = x
o
+ a
1
· t,
y = y
o
+ a
2
· t,
(t ∈ R) (1)
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆.
Ngược lại, mỗi hệ phương trình có dạng (1) là phương trình của một đường thẳng đi qua điểm M(x
o
; y
o
)
và nhận vectơ
#»

#»
n = (a
2
; −a
1
) hay
#»
n = (−a
2
; a
1
), và ngược lại.
Định lí 18.1. Phương trình của đường thẳng ∆ đi qu a điểm M (x
o
; y
o
) và nhận vectơ
#»
n = (A; B) làm một
vectơ pháp tuyến là
A(x − x
o
) + B(y −y
o
) = 0. (2)
Ta có thể viết (2) về dạng
Ax + By + C = 0
(3)
Định nghĩa 18.2. Mỗi phương trình có dạng (3), trong đó A, B không đồng thời bằng 0, được gọi là
phương trình tổng quát của đường thẳng nhận vectơ

 18.6. Tìm toạ độ điểm Q đối xứng với điểm P (−5; 13) qua đường thẳng ∆ : 2x − 3y − 3 = 0.
Đáp số. Q(11; −11).
 18.7. Cho các điểm A(−7; 1) và B(−5; 5) và đường thẳng ∆ : 2x −y −5 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆
sao cho MA + M B nhỏ nhất.
Đáp số. P (2; −1).
 18.8. Cho các điểm A(4; 1) và B(0; 4) và đường thẳng ∆ : 3x −y −1 = 0. Tìm toạ độ điểm P trên ∆ sao
cho |MA −M B| lớn nhất.
Đáp số. P (2; 5).
 18.9. Cho hai điểm A(2; 5) và B(4; −1). Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng ∆ : 3x + 4y + 5 = 0 sao
cho 2MA
2
+ 3MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Ta có
•
2MA
2
+ 3MB
2
= 2
# »
MA
2
+ 3
# »
MB
2
= 2(
# »

+ 3IB
2
không đổi.
• 2MA
2
+ 3MB
2
= 5MI
2
+ 2IA
2
+ 3IB
2
nhỏ nhất khi và chỉ khi IM nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi và
chỉ khi M là hình chiếu của I trên ∆.
Có thể làm trực tiếp.
22
 18.10. (269) Trong tam giác ABC, phương trình cạnh AB, phương trình đường cao AN và phương trình
đường cao BN lần lượt là 5x − 3y + 2 = 0, 4x −3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0. Viết phương trình của các
cạnh còn lại và viết phương trình đường cao thứ ba.
In a triangle ABC, the equations of the side AB, of the altitude AN and of the altitude BN are
5x −3y + 2 = 0, 4x − 3y + 1 = 0, 7x + 2y − 22 = 0, respectively. Write the equations of the other two sides
and of the third altitude of the triangle.
Đáp số. BC : 3x + 4y − 22 = 0, CA : 2x −7y −5 = 0, CN : 3x + 5y −23 = 0
 18.11. (270) Viết phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(1; 3) và phương trình hai đường trung
tuyến là x − 2y + 1 = 0 và y −1 = 0.
Find the equations of the sides of a triangle ABC with A(1; 3) as a vertex, if x −2y + 1 = 0 and y −1 = 0
are the equations of two of its medians. ĐS. x + 2y −7 = 0, x −4y −1 = 0, x −y + 2 = 0.
 18.12. (271) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng B(−4; −5) và phương trình hai
đường cao của tam giác là5x + 3y −4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0.

23
Đáp số. x −3y −23 = 0,7x + 9y + 19 = 0,4x + 3y + 13 = 0.
 18.18. (277) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng C(4; 3) và nếu x + 2y − 5 = 0 và
4x + 13y −10 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ từ
một đỉnh.
Find the equations of the sides of a triangle having C(4; 3) as a vertex, if x+2y−5 = 0and 4x+13y−10 = 0
are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from one and the same vertex.
Đáp số. x + y −7 = 0, x + 7y −5 = 0, x − 8y + 20 = 0.
 18.19. (278). Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết rằng A(3; −1) và nếu x − 4y + 10 = 0
và 6x + 10y −59 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác trong và đường trung tuyến của tam giác kẻ
từ các đỉnh khác nhau.
Find the equations of the sides of a triangle having A(3; −1) as a vertex, if x − 4y + 10 = 0and 6x +
10y −59 = 0 are the respective equations of an angle bisector and a median drawn from diferrent vertices.
Đáp số. 2x + 9y −65 = 0, 6x −7y − 25 = 0, 18x + 13y −41 = 0.
 18.20. (279). Viết phương trình của đường thẳng qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳng x−y+12 = 0
và 2x + y + 9 = 0 một tam giác có diện tích là 1.5 đơn vị diện tích.
Write the equations of the line passing through the origin and forming, together with the line x−y+12 = 0
and 2x + y + 9 = 0 a triangle of an equal to 1.5 square units.
Đáp số. x + 2y = 0, 23x + 25y = 0.
 18.21. Cho P (3; 0) và hai đường thẳng : (d
1
) : 2x − y2 = 0, (d
2
) : x + y + 3 = 0. L ập phương trình của
đường thẳng qua P cắt(d
1
) và (d
2
) lần lượt tại A và B sao choP là trung điểm của AB.
From lines passing through the point P (3; 0) select the line whose segment intercepted by the lines

;
3
2

và C
1

3
2
; −
5
2

hay B
2

3
2
; −
5
2

và C
2

11
2
;
3
2

;
4
5

.
 18.27. (A, 2009, chương trình Chuẩn) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD
có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung
điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Đáp số. AB : y − 5 = 0 hoặc AB : x −4y + 19 = 0.
 18.28. (A, 2009, Nâng cao) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x
2
+y
2
+4x+4y+6 =
0 và đường thẳng ∆ : x + my − 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm
m để đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích của tam giác IAB lớn nhất.
Đáp số. m = 0 hoặc m =
8
15
.
 18.29. (B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác ABC
biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường phân giác trong của
gó c A có phương trình x −y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0.
Đáp số.

−
10
3
;
3


8
3
;
8
3

.
 18.34. (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với
A(1; −1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0. Viết phương trình các đường thẳng
AB, BC.
Đáp số. AB : 23x − y − 24 = 0 và BC : 19x − 13y + 8 = 0.
25