Chuyên đề số phức ồ Văn Hoàng
1
Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
A/ Kiến thức cơ bản:
1) Các định nghĩa:
* Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i
2
= -1), khi
đó: z = a + bi được gọi là một số phức.
a: được gọi là phần thực ; b: được gọi là phần ảo
Tập các số phức được kí hiệu là 
 Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R

.
 Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.
0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
*
z
= a - bi là số phức liên hợp của z = a + bi và ngược lại
* Mô đun của số phức z = a + bi là | z | =
2 2
a b
2
2 2
zz' = z z' , zz=a +b z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z
z là số thực khi và chỉ khi z =
z
2) Các phép toán và tính chất cơ bản:
 (a + bi) = (c + di)

a c


( ; )u a b
, do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số
phức z = a + bi (a,b
 
) cũng có nghĩa là

OM
biểu diễn
số phức đó.
Ta có:Nếu
 
,u v
theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì


 
u v
biểu diễn số phức z + z',


 
u v
biểu diễn số phức z − z',
 k


 ( )u k
biểu diễn số phức kz,


1 3 1 3
2 2 2 2
i i
i
i i
 
  
  
 
  
  
  
Ví dụ 3: Tính
2 3 2009
1 i i i i    
Ta có
2010 2 3 2009
1 (1 )(1 )i i i i i i       
Mà 1 − i
2010
=2. Nên
2 3 2009
2
1
1
i i i i
i
     

= 1 + i.

z z i i         
;
Lại có
1 3
1 1 1 3
2 2
1 2 2
1 3
2 2
i
i
z
i
 
    
 
.
Suy ra
2
1
z z
z
 
. Hơn nữa ta có z
3
= z
2
.z = 1.
Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu
2

0
0 (1 ) 0
0, 1
1
0, 1
0 0
0 (do 1 0)
0, 0
(1 ) 0
0
0
x
x
x
x y
y
y y y y
x y
y
x y
y y
x x
y x
x x
x x
y






  







  
 
 








  






 

 

  2 z i z
    ( 2)z z i
hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các
điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở
phần a. Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa
váo nhận xét sau: Nếu véctơ

u
của mặt phẳng phức biểu diễn số
phức z thì độ dài của vectơ

u
là


u z
, và từ đó nếu các điểm
A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì
' 

AB z z
.
Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện
  
3
2 3
2
z i
. Tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

3
13
2
3
13
MH OM
OI

 
9 6 13 9
13 3 13
2 2
MH

   
 
  
6 13 9 78 9 13
26
2 13
MH
.
Lại có

 
   
3
13
2 13 3 26 3 13
2

có nghĩa là có số k

0 để

 
AC kOA
tức là w = kz.
(Còn khi z = 0, rõ ràng
  z w z w
).
Vậy
  z w z w
khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z

0 thì
tồn tại

k R
để w = kz.
Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ Phức
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Căn bậc hai của số thực âm:
Mỗi số thực âm a có 2 căn bậc hai là i
| |a
và - i
| |a
Ví dụ: số -7 có 2 căn bậc hai là i
7
và - i
7


Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được
2 2 2 2
x y a b  
. Ta có hệ:
2 2
2 2 2 2
(1)
(2')
x y a
x y a b

 


  


Giải hệ tìm được
2
x
và
2
y
suy ra x và y để tìm z.
Chú ý: Theo (2) ta có : nếu b > 0 thì x, y cùng dấu.
nếu b < 0 thì x, y trái dấu.
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực:
ax
2

x
a
  

,
2
| |
2
b i
x
a
  

4.Công thức nghiệm của ph trình bậc hai hệ số phức
Cho phương trình :
2
0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a    
và có
2
4b ac  
 Nếu
0 
pt có hai nghiệm
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
 

i
z i
i i
  
    
.
2.Tính căn bậc hai và giải phương trình bậc hai
Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
) 5 12 ) 8 6 ) 33 56 ) 3 4a i b i c i d i     
a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là
 
2
2 2
5 12 2 5 12x iy i x y ixy i         
2 2 2
2 2
2 2 2
5 4
5
2 12
13 9
x y x
x y
xy
x y y
 
   

  
 

x
y
 


 

Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z
1
=2+3i và z
2
= -2-3i.
b) Tương tự gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức
là
 
2
2 2
8 6 2 8 6x iy i x y ixy i       
2 2 2
2 2
2 2 2
8 9
8
2 6
10 1
x y x
x y
xy
x y y
 


hoặc
3
1
x
y
 


 

Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i.
c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là
 
2
2 2
33 56 2 33 56x iy i x y ixy i       
2 2 2
2 2
2 2 2
33 49
33
2 56
65 16
x y x
x y
xy
x y y
 
  

hoặc
7
4
x
y
 




Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4.
d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là
 
2
2 2
3 4 2 3 4x iy i x y ixy i         
2 2 2
2 2
2 2 2
3 1
3
2 4
5 4
x y x
x y
xy
x y y
 
   


1
2
x
y
 


 

Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i.
x
y
O
H
2
M
I
- 3
Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng
3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
 
 
2
2
) 3 4 5 1 0; (1)
) 1 2 0; (2)
a x i x i
b x i x i
    

x x i
       
     
Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0
Ví dụ 3: Giải các phương trình :
2
) 3 2 0 (1);a x x  
2 3
) 1 0 (2); ) 1 0 (3)b x x c x    
a) Ta có

= 1
2
- 4.3.2 = −23 = − 23 i
2
< 0 nên ta có hai căn
bậc hai của

là:
23 & 23i i
. Từ đó nghiệm của pt (1)
là:
1 2
1 23 1 23
;
6 6
i i
x x
   
 

  

Theo b) (*) có hai nghiệm là
1 2
1 3 1 3
;
2 2
i i
x x
   
 
.
Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là:
1 2 3
1 3 1 3
1; ;
2 2
i i
x x x
   
  
( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1).
Ví dụ 4 : Lập phương trình bậc hai có các
nghiệm là:
4 3 ; 2 5i i
 
    
Theo bài ra ta có:
2 8i
 



Thay vào (1) ta được
2 2
6 8 8 6m i m i    
m là một căn bậc hai của 8+6i.
Theo kết quả VD1b/ có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
2 2
1 2
1 2
5 2 (1)
4 (2)
z z i
z z i

  


  


Từ (2) ta có
2 2
1 2 1 2
2 15 8 .z z z z i   
Kết hợp với (1) ta có
1 2
5 5z z i 
vậy ta có hệ phương

2
4 2 3
1 2
2
i i
z i
i i
z i
  

  



  

  


hoặc
1
2
1 2
3
z i
z i
 


 

i
z z i
i
i
z z i
i

  
   

 

  

  



a) Ta có
 
2
1 2 1 2
2A z z z z  
=
2
3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2
2
3 3 3 3 9 9
i i i
   

i

 
  
 

.
Ví dụ 9: Giải pt:
4 2
6 25 0z z  
(1)
Đặt
2
.z t
Khi đó (1) có dạng:
2
6 25 0t t  
(2).
Ta có:
' 16  
= 16.i
2
có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên
pt (2) có hai nghiệm là
1
3 4t i 
và
2
3 4t i 
.


ĐS:
1 2
1 1
a a
i
a a


 
e)
3
(1 2 )(1 )
i
i i

 
ĐS:
4 3
5 5
i
f)
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
i i
  
  

1 2
1 2 1 2 1 2
2 1
3 3 3 3
1 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2
) ) )
1 2 1 2
) ) )
z z
a A z z b B z z z z c C
z z
d D z z e E z z z z f F z z
z z z z
     
   
       
   
   
Bài 4: Giải các hệ phương trình:
a)
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
  


Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận 2 số phức z và
z
làm nghiệm
Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z = a + bi , thoả mãn điều kiện:
a) Phần thực bằng phần ảo. b) phần thực 1 < a < 2. c) |z| = 4
Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình z
2
=
z
, ở đây
z
là số phức liên hợp
của số phức z.
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i),
(-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng
4
Chủ đề 3 : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ
PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Số phức dưới dạng lượng giác.
1. Acgumen của số phức z

0
Cho số phức z

0. Gọi M là điểm
trong mặt phẳng phức biểu diễn số
phức z. Khi đó số đo (radian) của


+isin

) được gọi là dạng lượng giác của
số phức z

0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số
của số phức z.
II. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z=r(cos

+isin

), z'=r'(cos

'+isin

')(r
0
& r'
0
) thì
zz' = rr ( cos (
') sin( 'i
   
  
))
 
cos( ') sin( ')
' '

r i
 

;

(cos sin ) (cos( ) sin( ))
2 2 2 2
r i r i
   
 
     
.
1. Viết số phức dưới dạng lượng giác
Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
)(1 3)(1 ); ) ; ) sin cos
1
i
a i i b c z i
i
 

   

a)
1 3 2 cos( ) sin( )
3 3
i i
 
 

 
 

   
   
   
 

   
 
.
c) Ta có
sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i
 
   
     
.
Vậy
cos( ) sin( )
2 2
z i
 
 
   
.
Ví dụ 2: Tuỳ theo góc

, hãy viết số phức sau dưới

 
hay z = 2sin

(sin

- icos

) (*)
 Nếu
sin 0


, thì từ (*) có z = 2sin

cos( ) .sin( )
2 2
i
 
 
 
  
 
 
là
dạng số phức cần tìm.
 Nếu sin

< 0, thì từ (*) ta có
2sin ( sin cos )z i
  

 
 
 

 
;
2009
2009
1
)c z
z

,nếu
1
1z
z
 
a)
10
5
10
9
9
9
4
5 5
2(cos sin )
2 (cos sin )
(1 )
4 4

 


 
 
   
b)
7
5 7
cos sin (1 3 ) = cos( ) sin( ) 2(cos sin )
3 3 3 3 3 3
i i i i i i
     
     
     
 
   
     
 
7 7 7
7 7
2 cos( ) sin( ) (cos sin ) 2 cos2 sin2 2 .
3 3 3 3
i i i i i i
   
 
 
       
 
 

cos sin
3 3
z i
 
 
, ta có
2009
2009
1
z
z

2009 2009
2009 2009
1
(cos sin ) ( )
3 3
cos sin
3 3
(cos sin ) (cos( ) sin( ))
3 3 3 3
2009 2009 2009 2009
(cos sin )(cos sin )
3 3 3 3
2 2
2cos(669 ) 2cos 1.
3 3
i
i
i i

      
      
     
Do đó
1005 1005
2 cos(502 ) 2S

 
.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn
bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều.
Xét phương trình
3
1z 
trên

, có nghiệm dạng
(cos sin )z r i
 
 
.
Khi đó
3 3
1
1 (cos3 sin3 ) 1
3 2 , .
r
z r i
k k
 

.
Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng
5
Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên.
Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
z
0
, z
1
, z
2
. Khi đó


1;
2
;
3
2
3
OA OB OC
AOB
BOC
  




  
Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.