CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009
Môn: TOÁN
Chuyên đề:
SỰ TƯƠNG GIAO
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
- Các bạn sẽ nắm vững phương pháp làm về sự tương giao giữa hai đường cong
- Giúp các bạn làm tốt bài tập về dạng này.
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương pháp làm bài
- Để tìm giao điểm của một đường cong y = F(x) nói chung (của lớp các hàm đa thức nói riêng)
với một đường cong y = G(x) nào đó; phương pháp chung ta quy về xét sự tồn tại nghiệm của
phương trình
F(x) = G(x) (1).
Nhìn chung (1) đều là các phương trình bậc cao (có bậc ≥ 3). Nếu có thể, các bạn tìm mọi
cách hạ bậc của (1). Ta luôn sử dụng kết quả sau:
Nếu x = a là một nghiệm đoán được của (1) thì (1) đưa được về dạng sau:
(x - a)H(x) = 0
Trong đó phương trình H(x) = 0 có bậc giảm đi 1 so với phương trình gốc (1).
- Nếu sử dụng các kết quả về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm bậc 3, ta có kết quả thông dụng
sau:
Xét phương trình sau:
F(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0, a ≠ 0 (2).
Khi đó:
1. (2) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi F(x) có cực đại, cực tiểu và
Y
max

2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1).
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1.

Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Trang 2

Đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ > 1 khi và chỉ khi phương
x
3
– 3(m+1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m+1) = 0 (1)
có 3 nghiệm phân biệt > 1.
Do x = 2 là nghiệm của (1), nên(1) có thể viết dưới dạng sau:
(x - 2)[x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1)] = 0 (2)
Để (2) có 3 nghiệm phân biệt > 1, thì điều kiện cần và đủ là phương trình
x
2
– 3(m+1)x

+ 2m(m + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 1 và khác 2.

mm
mm
m
mm
⎧
−+>
⎪
⎪
−>
⎨
+>
⎪
⎪
0
− +≠
⎩
<=>
1
2
1
m
m
⎧
>
⎪
⎨
⎪
≠
⎩


1
2
1
m
m
⎧
>
⎪
⎨
⎪
≠
⎩

Đó là cách giải trực tiếp không thông qua định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.
VD2
: Biện luận theo m số giao điểm với trục hoành của đường cong:
y = x
3
– 3x
2
+ 3(1 – m )x + 3m+1.
Bài giải:
Ta có y’ = 3x
2
– 6x + 3(1 –m ) = 3(x
2
– 2x +1 –m ).
Đường cong có cực trị <=> PT: y’ = 3(x
2
– 2x +1 –m ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

2( 1 )
ymxm
ymx
=− ++
⎧
⎨
=− ++
⎩
m
Bây giờ ta biện luận số giao điểm của đường cong với trục hoành như sau:
1. Đường cong cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi:
a. Hoặc là đường cong không có cực đại, cực tiểu.
<=>Δ
’
≤ 0
<=> m ≤ 0
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Trang 3

b. Hoặc là có cực đại, cực tiểu nhưng y
1
y
2
> 0. Điều đó xảy ra khi:
12
0
0
m

x
1
+ x
2
= 2; x
1
x
2
= 1 – m
Thay vào (4) và có:
(3),(4)
⇔
3
0
10
m
m
>
⎧
⎪
⎨
−+>
⎪
⎩
⇔
0 < m < 1
Kết hợp lại ta có: Đường cong cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi m<1
2. Đường cong cắt trục hoành tại 2 điểm khi đường cong có cực trị và y
1
y

Cho đường cong y = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m - 3.
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều
kiện: x
1
< -1 <x
2
< x
3

Bài giải:
Điều kiện cần: Giả sử m là giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán. Khi đó ta có:
F(x) = x
3
– 3x
2
+( 2m - 2 )x + m – 3= (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x

1
, x
2
, x
3
thoả mãn: x
1
< -1 <x
2
< x
3
khi và chỉ khi m < -5.
Nhận xét: Ba Vd trên cho ta các cách giải khác nhau, và đó cũng chính là các cách thường gặp
nhất:
- Hạ bậc phương trình rồi dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc 2.
- Sử dụng với mối liên hệ với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Sử dụng các kiến thức khác.
Đó chính là các lược đồ chung nhất để xét các bài toán về điểm cắt đối với các đường cong đa
thức bậc ba.
VD4:
Cho đường cong y = x
3
- 3 mx
2
+ 2m (m - 4)x + 9m
2
– m .
Tìm m để đường cong chắn trên trục hoành 2 đoạn bằng nhau.
Bài giải
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn

=> x
1
+

x
2
+ x
3
= 3 x
2

Vì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm của phương trình bậc 3
x
3
- 3mx
2
+ 2m(m - 4)x + 9m
2
- m = 0 (1)
nên theo định lý Viet với (1), và có x
1
+

x

=
⎣
Vậy điều kiện cần là: m = 0 hoặc m = 1
Điều kiện đủ:
-Nếu m = 0 => đường cong trở thành y = x
3

Rõ ràng y = x
3
chỉ cắt trục hoành tại một điểm => loại trường hợp này
- Nếu m = 1 => y = x
3
- 3x
2
- 6x + 8
Từ y = 0 <=> (x - 1) (x
2
- 2x - 8) = 0
Trang 4

<=> x
1
= 1, x
2
= -2, x
3
= 4
Rõ ràng đường cong cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ x
1,
x

Giải: Xét phương trình
2
2
1
x x
x
+
+
= - x - 3 với điều kiện x
1≠ −
Ù
x
2
+ 2x = - x
2
- 4x = 3
Ù
2x
2
+ 6x + 3 = 0 (1)
Rõ ràng (1) có hai nghiệm phân biệt (vì
'Δ
= 3 > 0)
Gọi M
1
(x
1
, -x
1
- 3) và M

Trang 5

Vì vậy, M
1
M
2
nằm trên đường thẳng vuông góc với y = x
Gọi I là trung điểm M
1
M
2
, thì toạ độ (x
0
, y
0
) của I là
x
0
=
12
2
x x+
y
0
=
12
21

1
x
x
+
+
(C)
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2,
2
5
) sao cho (d) và (C) cắt nhau tại hai
điểm phân biệt A và B, sao cho M là trung điểm của AB.
Giải : Vì y =
2
3
1
x
x
+
+
là đường cong thuần tuý (ứng vưói một x chỉ có một y tương ứng),
nên đường thẳng x = 2 không thể cắt (C) tại hai điểm phân biệt, cho nên đường thẳng cần tìm
phải có dạng y = k(x - 2) +
2
5
(d)
Trước hết ta tìm k để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Muốn vậy xét phương
trình:
2
3
1

5
) và J(x
2
, k(x
2
- 2) +
2
5
Rõ ràng M, I, J cùng nằm trên (d), do đó M là trung điểm của IJ nếu như
2x
M
= x
I
+ x
J
Ù
4 = x
1
+ x
2

Ù
4 =
52
5( 1)
k
k
−
−
Ù
Trang 6

Tìm m để (C) cắt y = -x + m tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi ấy A, B
thuộc cùng 1 nhánh của đồ thị (C).
Giải : Để y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt, điều kiện là phương trình:
2
1
1
x
x
x
+−
−
= -x + m có hai nghiệm phân biệt
≠
1. Vì x = 1 không phải là nghiệm của x
2
+
x - 1, nên điều đó xảy ra khi phương trình
x
2
+ x - 1 = (x - 1)(-x + m) (1) có hai nghiệm phân biệt. Ta có thể viết lại (1) dưới dạng
sau :
f(x) = 2x
2
- mx + m - 1 = 0 (2) .
(1)
có hai nghiệm phân biệt khi

8xmx
xm
+ −
−
(C
m
)
Tìm m để C
m
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến với (C
m
)
tại A và B vuông góc với nhau.
Giải : Đường cong (C
m
) và trục hoành Ox cắt nhau tại hai điểm phân biệt (mà ta sẽ gọi là
A, B) khi và chỉ khi hệ sau
2
8xmx
x
m
+−
−
= 0
x m
≠
có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi hệ
f(x) = x
2
+ mx - 8 = 0

−
= 1 +
2
2
82
()
m
x
m
−
−
.
Tiếp tuyến với (C
m
) tại A, B tương ứng có hệ số góc là
k
1
= 1 +
2
2
1
82
()
m
x
m
−
−
k
2

= - 8, suy ra
2
1
x
+
2
2
x
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= m
2
+ 16 ,
(x
1
- m) (x
2
- m) = x
1
x
2
- m (x

m
m
−
−
2
= -1
⇔
3 -
2
2
51
28
m
m
+
−
6
= 0 m =
⇔ ±
40 .
Vậy có hai giá trị cần tìm của tham số m là m =
±
2 10 .
Bài tập 2
: (Đại học, Cao đẳng khối D năm 2003)
Tìm m để

đường thẳng y = mx + 2 - 2m cắt đường cong y =
2
24

x
2
- 2x + 4 = (m - 2) (mx + 2 - m)
Ù
(m - 1) (x - 2)
2
= 4 có hai nghiệm phân biệt
≠
2
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi m - 1 > 0
Ù m > 1
Bài tập 3
: (Đại học, Cao đẳng khối A - 2004)
Cho y =
2
33
2( 1)
x
x
x
−+−
−
(C)
Tìm m để

đường thẳng y = m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1
Bài giải
Xét phương trình
2
33

2
- 4m - 3 > 0
Ù
3
2

hoặ
1
2
(3)
c
m >
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau, ta cần có
k
1
, k
2
= - 1 1 + (8 - 2m
2
)
⇔
22
12
11
()()xm x m
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−−
⎢ ⎥

2
12
(8 2 )
()( )
m
xmx m
−
⎡ ⎤
−−
⎣ ⎦
.
Giaùo vieân Leâ Hoàng Sôn
www.hsmath.net
www.hsmath.net

Trang 8

Ta có giao điểm A, B là A (x
1
, m) . B (x
2
, m)
Từ

đó AB = 1
Ù

21
1xx−=


(3 - 2m)
2
- 4 (3 - 2m) = 1
Ù
m
2
- m - 1 = 0
Ù
m =
15
2
±
(5)
Kết hợp (3), (5) suy ra m =
15
2
±

Vậy có hai giá trị của tham số m thoả mãn đầu bài .
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài tập 1
. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y =
1
2
x - m luôn cắt (c) tại hai điểm phân
biệt A và B. Tìm m sao cho AB là nhỏ nhất.
Đáp số:
nên AB = 10 khi m = -2
Bài tập 2
. Tìm m để (C) : y =

15
2
−±

Bài tập 4:
Cho đường cong y = x
3
- x
2
+ 18mx - 2m
Tìm m để đường cong cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
,x
3
,sao cho x
1
< 0
< x
2
< x
3.
Đáp số: m < 0
Bài tập 5
: Cho hàm số . Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ
số góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tạo 3 điểm phân biệt.
32
23yx x
=−−